積分によって定義される特殊関数
Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、n=2 の指数積分関数 E n(z) の -2-2i から 2+2i までの複素平面における色付きプロット 数学において、 指数積分 Ei は 複素平面 上の 特殊関数 です。
これは、指数関数 とその 引数の 比の特定の 定積分 として定義されます 。
定義 x が非ゼロの実数値の場合 、指数積分Ei( x )は次のように定義されます。
エイ （ x ） = −
∫
− x
∞
e
− t
t
d t =
∫
− ∞
x
e
t
t
d t 。
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}
[1]
リム
δ → 0 +
え
1
（ − x ± 私 δ ） = − エイ （ x ） ∓ 私 π 、 x > 0.
{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}
プロパティ 以下の指数積分のいくつかの特性により、場合によっては上記の定義による明示的な評価を回避できます。
収束級数 関数（上）と関数（下） のプロット 。
え
1
{\displaystyle E_{1}}
エイ
{\displaystyle \operatorname {エイ} }
負の実軸から外れた実数または複素数の引数については、 [2] のように表される。
え
1
（ ず ）
{\displaystyle E_{1}(z)}
え
1
（ ず ） = − γ − 行 ず −
∑
け = 1
∞
（ − ず
）
け
け け ！
（
|
アーグ （ ず ）
|
< π ）
{\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}
ここで、は オイラー・マスケロニ定数 です 。この和はすべての複素数 に対して収束し 、 負の実軸に沿って
分岐を 持つ 複素対数の通常の値を取ります。
γ
{\displaystyle \gamma}
ず
{\displaystyle z}
この式は、0 から 2.5 までの 実数に対する浮動小数点 演算の計算に使用できます。 の場合、 キャンセル のため結果は不正確になります 。
え
1
（ x ）
{\displaystyle E_{1}(x)}
x
{\displaystyle x}
x > 2.5
{\displaystyle x>2.5}
より速く収束する級数は ラマヌジャン によって発見されました。
え 私
（ x ） = γ + 行 x + 経験
（ x
/
2 ）
∑
ん = 1
∞
（ − 1
）
ん − 1
x
ん
ん ！
2
ん − 1
∑
け = 0
⌊ （ ん − 1 ）
/
2 ⌋
1
2 け + 1
{\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}
漸近（発散）級数 切り捨て和の項数の 違いによる漸近近似の相対誤差
N
{\displaystyle ~N~}
残念ながら、上記の級数の収束は、より大きな係数の引数に対しては遅くなります。例えば、 に対して3桁の有効数字で正しい答えを得るには、40以上の項が必要です 。 [3] しかし、xの値が正の場合、部分積分によって得られる発散級数の近似値があります 。 [4]
E
1
(
10
)
{\displaystyle E_{1}(10)}
x
e
x
E
1
(
x
)
{\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}
E
1
(
x
)
=
exp
(
−
x
)
x
(
∑
n
=
0
N
−
1
n
!
(
−
x
)
n
+
O
(
N
!
x
−
N
)
)
{\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}
上記の近似値の相対誤差は、 のさまざまな値に対して右の図にプロットされています。 、切り捨てられた合計の項の数（ 赤、 ピンク）です。
N
{\displaystyle N}
N
=
1
{\displaystyle N=1}
N
=
5
{\displaystyle N=5}
すべての順序を超えた漸近 部分積分を使用すると、明示的な式を得ることができます [5] 任意の固定 に対して 、誤差項の絶対値は 減少し、その後増加します。最小値は で発生し 、その点 です 。この境界は「すべての順序を超えた漸近的」であると言われています。
Ei
(
z
)
=
e
z
z
(
∑
k
=
0
n
k
!
z
k
+
e
n
(
z
)
)
,
e
n
(
z
)
≡
(
n
+
1
)
!
z
e
−
z
∫
−
∞
z
e
t
t
n
+
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}
z
{\displaystyle z}
|
e
n
(
z
)
|
{\displaystyle |e_{n}(z)|}
n
∼
|
z
|
{\displaystyle n\sim |z|}
|
e
n
(
z
)
|
≤
2
π
|
z
|
e
−
|
z
|
{\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}
指数関数と対数関数の挙動: 括弧 基本関数による 括弧
E
1
{\displaystyle E_{1}}
前の節で示した2つの級数から、 引数の値が大きければ負の指数関数のように振る舞い、引数の値が小さければ対数関数のように振る舞うことがわかります。引数の実数値が正であれば、 次のように基本関数で囲むことができます。 [6]
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
1
2
e
−
x
ln
(
1
+
2
x
)
<
E
1
(
x
)
<
e
−
x
ln
(
1
+
1
x
)
x
>
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}
この不等式の左側はグラフの左側に青で示され、中央部分 は黒で、右側は赤で示されています。
E
1
(
x
)
{\displaystyle E_{1}(x)}
アインによる定義 と は 、 次のように定義される
関数全体 [7] を使用して、より簡単に記述することができる。
Ei
{\displaystyle \operatorname {Ei} }
E
1
{\displaystyle E_{1}}
Ein
{\displaystyle \operatorname {Ein} }
Ein
(
z
)
=
∫
0
z
(
1
−
e
−
t
)
d
t
t
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
z
k
k
k
!
{\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}
（これは単に上記の の定義における交代級数であることに注意してください ）。すると、
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
E
i
n
(
z
)
|
Arg
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi }
Ei
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
Ein
(
−
x
)
x
≠
0
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0}
他の機能との関係 クンマーの方程式
z
d
2
w
d
z
2
+
(
b
−
z
)
d
w
d
z
−
a
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}
は通常、合流型超幾何関数 とによって解かれます が、と の場合 に は 、
M
(
a
,
b
,
z
)
{\displaystyle M(a,b,z)}
U
(
a
,
b
,
z
)
.
{\displaystyle U(a,b,z).}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
1
,
{\displaystyle b=1,}
z
d
2
w
d
z
2
+
(
1
−
z
)
d
w
d
z
=
0
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}
我々は持っています
M
(
0
,
1
,
z
)
=
U
(
0
,
1
,
z
)
=
1
{\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}
全てのz に対して、2番目の解はE 1 (− z )で与えられる 。実際、
E
1
(
−
z
)
=
−
γ
−
i
π
+
∂
[
U
(
a
,
1
,
z
)
−
M
(
a
,
1
,
z
)
]
∂
a
,
0
<
A
r
g
(
z
)
<
2
π
{\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }
導関数は次のように評価されます。 合流型超幾何関数とのもう一つの関連は、 E 1 が関数 U (1,1, z ) の指数倍であることです。
a
=
0.
{\displaystyle a=0.}
E
1
(
z
)
=
e
−
z
U
(
1
,
1
,
z
)
{\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}
指数積分は 、次の式によって
対数積分関数 li( x )と密接に関係している。
li
(
e
x
)
=
Ei
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}
の非ゼロ実数値の場合 。
x
{\displaystyle x}
一般化 指数積分は次のように一般化することもできる。
E
n
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
x
t
t
n
d
t
,
{\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}
これは上不完全ガンマ関数 の特別な場合として書くことができる ： [8]
E
n
(
x
)
=
x
n
−
1
Γ
(
1
−
n
,
x
)
.
{\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}
一般化された形式はミスラ関数 [9] と呼ばれることもあり、次のように定義される。
φ
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{m}(x)}
φ
m
(
x
)
=
E
−
m
(
x
)
.
{\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}
この一般化された形式の多くの特性は、NIST 数学関数デジタルライブラリで見つけることができます。
対数を含めると一般化積分指数関数が定義される [10]
E
s
j
(
z
)
=
1
Γ
(
j
+
1
)
∫
1
∞
(
log
t
)
j
e
−
z
t
t
s
d
t
.
{\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}
デリバティブ 一般化関数の導関数は式 [11] で計算できる。
E
n
{\displaystyle E_{n}}
E
n
′
(
z
)
=
−
E
n
−
1
(
z
)
(
n
=
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}
関数 は なので評価が容易である（この再帰が有用である）ことに注意されたい 。 [12]
E
0
{\displaystyle E_{0}}
e
−
z
/
z
{\displaystyle e^{-z}/z}
虚数引数の指数積分
E
1
(
i
x
)
{\displaystyle E_{1}(ix)}
反対 ；実部は黒、虚部は赤。
x
{\displaystyle x}
が虚数の場合 、実部は非負なので、次の式を使うことができる。
z
{\displaystyle z}
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
e
−
t
z
t
d
t
{\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}
三角関数の積分 と の関係を得るには ：
Si
{\displaystyle \operatorname {Si} }
Ci
{\displaystyle \operatorname {Ci} }
E
1
(
i
x
)
=
i
[
−
1
2
π
+
Si
(
x
)
]
−
Ci
(
x
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}
の実数部と虚数部は、 右の図に黒と赤の曲線でプロットされています。
E
1
(
i
x
)
{\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}
近似値 指数積分関数には、次のような近似値が数多く存在します。
スワミーとオヒジャの近似 [13] では、
E
1
(
x
)
=
(
A
−
7.7
+
B
)
−
0.13
,
{\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}
A
=
ln
[
(
0.56146
x
+
0.65
)
(
1
+
x
)
]
B
=
x
4
e
7.7
x
(
2
+
x
)
3.7
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}
アレンとヘイスティングスの近似 [13] [14] では、
E
1
(
x
)
=
{
−
ln
x
+
a
T
x
5
,
x
≤
1
e
−
x
x
b
T
x
3
c
T
x
3
,
x
≥
1
{\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}
a
≜
[
−
0.57722
,
0.99999
,
−
0.24991
,
0.05519
,
−
0.00976
,
0.00108
]
T
b
≜
[
0.26777
,
8.63476
,
18.05902
,
8.57333
]
T
c
≜
[
3.95850
,
21.09965
,
25.63296
,
9.57332
]
T
x
k
≜
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
]
T
{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}
連分数展開 [14]
E
1
(
x
)
=
e
−
x
x
+
1
1
+
1
x
+
2
1
+
2
x
+
3
⋱
.
{\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}
バリーら による近似値 [15] は、 オイラー ・マスケローニ定数 である 。
E
1
(
x
)
=
e
−
x
G
+
(
1
−
G
)
e
−
x
1
−
G
ln
[
1
+
G
x
−
1
−
G
(
h
+
b
x
)
2
]
,
{\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}
h
=
1
1
+
x
x
+
h
∞
q
1
+
q
q
=
20
47
x
31
26
h
∞
=
(
1
−
G
)
(
G
2
−
6
G
+
12
)
3
G
(
2
−
G
)
2
b
b
=
2
(
1
−
G
)
G
(
2
−
G
)
G
=
e
−
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}
γ
{\displaystyle \gamma }
指数積分の逆関数 指数積分の 逆関数はべき 級数 形式で表すことができる 。 [16]
∀
|
x
|
<
μ
ln
(
μ
)
,
E
i
−
1
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
P
n
(
ln
(
μ
)
)
μ
n
{\displaystyle \forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}}
ここで は ラマヌジャン・ゾルトナー定数 であり 、 は 次の 再帰関係によって定義される 多項式 列です 。
μ
{\displaystyle \mu }
(
P
n
)
{\displaystyle (P_{n})}
P
0
(
x
)
=
x
,
P
n
+
1
(
x
)
=
x
(
P
n
′
(
x
)
−
n
P
n
(
x
)
)
.
{\displaystyle P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).}
については 、 次の式が得られます。
n
>
0
{\displaystyle n>0}
deg
P
n
=
n
{\displaystyle \deg P_{n}=n}
P
n
(
x
)
=
(
d
d
t
)
n
−
1
(
t
e
x
E
i
(
t
+
x
)
−
E
i
(
x
)
)
n
|
t
=
0
.
{\displaystyle P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.}
アプリケーション 時間依存の 熱伝達 タイス溶液 中の非平衡 地下水の 流れ （ 井戸関数 と呼ばれる） 恒星と惑星の大気における放射伝達 線状ソースとシンクを持つ過渡的または非定常状態の流れに対する放射状拡散方程式 単純化された1次元形状における 中性子輸送 方程式の解 [17]
参照
注記
^ アブラモウィッツとステグン、228ページ、5.1.7 ^ アブラモウィッツとステグン、p. 229、5.1.11 ^ ブライシュタインとハンデルスマン、p. 2 ^ ブライシュタインとハンデルスマン、p. 3 ^ O'Malley, Robert E. (2014)、O'Malley, Robert E. (編)、「漸近近似」、特異摂動 の歴史的発展 、Cham: Springer International Publishing、pp. 27–51、 doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2、 ISBN 978-3-319-11924-3 、 2023-05-04 取得 ^ アブラモウィッツとステグン、p. 229、5.1.20 ^ AbramowitzとStegun、228ページ、脚注3を参照。 ^ アブラモウィッツとステグン、p. 230、5.1.45 ^ ミスラ（1940年）178ページより ^ ミルグラム（1985） ^ アブラモウィッツとステグン、p. 230、5.1.26 ^ アブラモウィッツとステグン、p. 229、5.1.24 ^ ab Giao, Pham Huy (2003-05-01). 「Theis の解に対する Well Function 近似の再検討と簡単なグラフィカル曲線マッチング手法」. Ground Water . 41 (3): 387–390. Bibcode :2003GrWat..41..387G. doi :10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN 1745-6584. PMID 12772832. S2CID 31982931. ^ ab Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (1998-02-26). 「指数積分の数値評価：Theiswell関数近似」 Journal of Hydrology . 205 (1–2): 38–51. Bibcode :1998JHyd..205...38T. doi :10.1016/S0022-1694(97)00134-0. ^ Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (2000-01-31). 「指数積分（Theis well function）の近似値」. Journal of Hydrology . 227 (1–4): 287–291. Bibcode :2000JHyd..227..287B. doi :10.1016/S0022-1694(99)00184-5. ^ 「指数積分Ei-1(x)の逆関数」。Mathematics Stack Exchange 。 2024年4月24日 閲覧。 ^ George I. Bell、Samuel Glasstone (1970)。 原子炉理論 。Van Nostrand Reinhold Company。
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン、アイリーン・ステガン (1964)。『 数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。 アブラモウィッツとステガン 。ニューヨーク: ドーバー 。ISBN 978-0-486-61272-0 。 、第5章。 ベンダー、カール M.、スティーブン A. オルザグ (1978)。 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 。マグロウヒル 。ISBN 978-0-07-004452-4 。 ブライスタイン、ノーマン、リチャード A. ハンデルスマン (1986)。 積分の漸近展開 。ドーバー 。ISBN 978-0-486-65082-1 。 Busbridge, Ida W. (1950). 「積分指数関数とそれを含む積分の評価について」. Quart. J. Math. (オックスフォード) . 1 (1): 176–184. Bibcode :1950QJMat...1..176B. doi :10.1093/qmath/1.1.176. Stankiewicz, A. (1968). 「積分指数関数の表」. Acta Astronomica . 18 : 289. 書誌コード :1968AcA....18..289S. Sharma, RR; Zohuri, Bahman (1977). 「指数積分E 1 (x), x>0 を正確に評価するための一般的な方法」 J. Comput. Phys . 25 (2): 199–204. Bibcode :1977JCoPh..25..199S. doi :10.1016/0021-9991(77)90022-5. Kölbig, KS (1983). 「積分exp(−μt)tν−1logmt dtについて」. Math. Comput . 41 (163): 171–182. doi : 10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1 . Milgram, MS (1985). 「一般化積分指数関数」. 計算数学 . 44 (170): 443–458. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR 2007964. MR 0777276. ミスラ、ラマ・ダール; ボルン、M. (1940)。「結晶格子の安定性について。II」。ケンブリッジ哲学協会数学紀要。36 ( 2 ) : 173。Bibcode : 1940PCPS ...36..173M。doi :10.1017/S030500410001714X。S2CID 251097063 。 Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). 「一般化指数積分 E ν (x) の評価について」. J. Comput. Phys . 78 (2): 278–287. Bibcode :1988JCoPh..78..278C. doi :10.1016/0021-9991(88)90050-2. Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). 「一般化指数積分の最近の結果」. コンピュータ数学. 応用 . 19 (5): 21–29. doi :10.1016/0898-1221(90)90098-5. MacLeod, Allan J. (2002). 「一般化された指数積分の効率的な計算」 J. Comput. Appl. Math . 148 (2): 363–374. Bibcode :2002JCoAM.148..363M. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00556-3 . Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「セクション 6.3. 指数積分」、 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-88068-8 、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブされ 、 2011年8月9日に取得 Temme, NM (2010)、「指数積分、対数積分、正弦積分、余弦積分」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。
外部リンク
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![{\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf776ea1a2dea96558b4a7f2cf7bae3d8cad7ac)
![{\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6245104e0362c31571f3abda13b3f5f06d06c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fee0fd224536a437d20c1e057ed6ed4187b21d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd59588e32d86da6a1545610b3b27d9f8ec38b7f)
![{\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90bab5b2a5c683e40d3dbf066bf2b79160d692b)
