チェビシェフ関数

数学において、チェビシェフ関数はスカラー関数（チェビシェフ関数）または2つの関連関数のいずれかです。最初のチェビシェフ関数 ϑ   ( x )またはθ  ( x )は次のように与えられます。

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

ここで、 は自然対数を表し、その和はx以下のすべての素数pに及びます。 ${\displaystyle \log}$

2番目のチェビシェフ関数 ψ  ( x )も同様に定義され、その和はx を超えない すべての素数累乗にわたって拡張される。

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

ここで、Λ はフォン・マンゴルト関数です。チェビシェフ関数、特に2番目の関数ψ  ( x ) は、素数に関する証明でよく使用されます。これは、素数計算関数π (  x )よりも扱いが簡単であるためです(正確な式は下記を参照)。両方のチェビシェフ関数は xに漸近し、これは素数定理と同等です。

チェビシェフ関数、チェビシェフ効用関数、または重み付きチェビシェフスカラー化関数は、最小化する関数が複数あり、それらを単一の関数に「スカラー化」したい場合に使用されます。

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^[1]

この関数を の異なる値に対して最小化することで、非凸部分も含めたパレート面上のすべての点が得られます。 ^[1]多くの場合、最小化される関数は ではなく、いくつかのスカラー に対してです。すると^[2]${\displaystyle w}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$${\displaystyle z_{i}^{*}}$${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$

これら 3 つの関数はすべて、パフヌティ・チェビシェフに敬意を表して命名されています。

2番目のチェビシェフ関数は、次のように書くことで最初の関数と関連していることがわかる。

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

ここでkはp ^k ≤ xかつx < p ^{k  + 1}となる唯一の整数である。kの値はOEIS :A206722に示されている。より直接的な関係は次のように与えられる。 

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

この最後の和には、消えない項が有限個しかなく、

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

2 番目のチェビシェフ関数は、 1 からnまでの整数の 最小公倍数の対数です。

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

整数変数nのlcm(1, 2, ..., n )の値はOEIS :A003418で与えられます。

次の定理は2つの商とを関連付けます。^[3]${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$

定理:に対して、 ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

この不等式は、

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

言い換えると、 または のどちらかが極限に近づくと、もう一方も極限に近づき、2 つの極限は等しくなります。 ${\displaystyle \psi (x)/x}$${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

証明:なので、 ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

しかし、の定義から、自明な不等式が成り立つ。 ${\displaystyle \vartheta (x)}$

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

最後に、 で割って定理の不等式を取得します。 ${\displaystyle x}$

チェビシェフ関数には以下の境界が知られています: ^{[1] [2]} (これらの式では、p _{k は}k番目の素数です; p ₁ = 2、p ₂ = 3など)

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

さらに、リーマン予想によれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

任意のε > 0に対して。

ϑ   ( x )とψ  ( x )の両方に上限値が存在するため、^{[4] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

任意のx > 0に対して。

定数 1.03883 の説明はOEIS : A206431にあります。

1895 年、ハンス カール フリードリッヒ フォン マンゴルトは、リーマン ゼータ関数の自明でないゼロ点の和としてψ  ( x )を表す明示的な式を証明しました^[4]。

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

（ ⁠の数値ζ ′  (0)/ζ  (0)⁠ はlog(2π)です。) ここでρ はゼータ関数の非自明な零点を通過し、 ψ _{0 は}ψと同じですが、ジャンプ不連続点(素数累乗)では左と右の値の中間の値を取ります。

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

対数のテイラー級数から、明示的な式の最後の項は⁠の和として理解できます。xω^​/ω⁠ゼータ関数の自明な零点、 ω = −2, −4, −6, ...、すなわち

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

同様に、最初の項x = ⁠x ¹/1⁠ は、ゼータ関数の 1 における単純な極に対応します。ゼロではなく極であるため、項の符号が反対になります。

エアハルト・シュミットの定理によれば、ある明示的な正の定数Kに対して、自然数 xは無限個存在し、

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

そして、自然数xは無限に存在する。

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^{[5] [6]}

小文字のo記法では、上記の式は次のように書ける。

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

ハーディとリトルウッド^[7]は、より強い結果を証明している。

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

最初のチェビシェフ関数はxの原始数の対数であり、x  #と表記されます。

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

これは、原始数x  #が漸近的にe ^{(1 +  o (1)) x}に等しいことを証明します。ここで、「o」は小文字のo表記法 (大文字のO表記法を参照) であり、素数定理とともにp _n  #の漸近的動作を確立します。

チェビシェフ関数は素数計算関数と以下のように関連付けられます。定義

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

それから

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

Πから素数関数πへの移行は、次の式によって行われる。

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

確かにπ  ( x ) ≤ xなので、近似のために、この最後の関係式は次の形に書き直すことができる。

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

リーマン予想は、ゼータ関数のすべての非自明な零点は実部を持つと述べている ⁠1/2この場合、| x ρ ^| = √ xとなり、

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

上記から、これは次のことを意味する。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

平滑化関数は次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

明らかに${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

• ^ Pierre Dusart、「RH なしの素数上のいくつかの関数の推定」 arXiv :1002.0442
• ^ Pierre Dusart、「 ψ、 θ、 π、 p _kのより明確な境界」、研究報告第 1998-06 号、リモージュ大学。短縮版は「 k番目の素数はk ≥ 2に対してk (log k + log log k − 1)より大きい」として掲載されています。Mathematics of Computation、第 68 巻、第 225 号 (1999 年)、411 ～ 415 ページ。
• ^ Erhard Schmidt、「Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze」、 Mathematische Annalen、 57 (1903)、195–204 ページ。
• ^ G.H. HardyとJE Littlewood、「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」、 Acta Mathematica、 41（1916）pp.119-196。
• ^ Davenport, Harold (2000).乗法数論. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Google ブック検索. 

• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001

• Weisstein、Eric W.「チェビシェフ関数」。MathWorld。
• 「マンゴルト総括関数」。PlanetMath 。
• 「チェビシェフ関数」。PlanetMath。
• リーマンの明示的公式（画像と動画付き）