ほぼ確実に

確率論では、ある事象が確率1 (確率測度に関して)で起こる場合、その事象はほぼ確実に起こる( と略されることもある)と言われます。 ^[1]言い換えれば、事象が発生しない結果の集合は、その集合が空でない場合でも確率 0 になります。この概念は、測度論における「ほぼすべての場所」という概念に類似しています。各結果の確率が 0 でない有限標本空間での確率実験では、ほぼ確実にと確実にの間に違いはありません(確率 1 にはすべての標本点が含まれるため)。ただし、標本空間が無限集合の場合にはこの区別が重要になります^{[2] 。}これは、無限集合には確率 0 の空でない部分集合が存在する可能性があるためです。

この概念の使用例としては、大数の法則の強いバージョンと均一バージョン、ブラウン運動の経路の連続性、無限猿定理などがあります。また、ほぼ確実に（ac）とほぼ常に（aa）という用語も使用されます。ほとんど決しては、ほぼ確実にの反対を表します。つまり、確率ゼロで発生するイベントはほとんど決して発生しません。^[3]

を確率空間とします。事象がほぼ確実に発生するのは、 の場合です。同様に、発生しない確率がゼロである場合、 はほぼ確実に発生します。より一般的には、任意の集合（ に含まれるとは限らない）が、が空集合（となるのサブセット）に含まれる場合、 はほぼ確実に発生します。^[4]ほぼ確実という概念は、確率測度 に依存します。この依存性を強調する必要がある場合は、通常、事象はPほぼ確実に発生する、または がほぼ確実に発生すると言います。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P(E)=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P(E^{C})=0}$${\displaystyle E\subseteq \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E^{C}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P(N)=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left(\!P\right)}$

一般に、問題の確率空間にそのイベントに属さない結果が含まれている場合でも、イベントは「ほぼ確実に」発生する可能性があります。次の例がそれを示しています。

単位正方形(面積が 1 の正方形)にダーツを投げ、ダーツが常に正方形内の正確な点に当たるようにし、正方形内の各点に当たる確率が等しくなるようにすることを想像してください。正方形の面積は 1 なので、ダーツが正方形の特定のサブ領域に当たる確率は、そのサブ領域の面積に等しくなります。たとえば、正方形の右半分の面積は 0.5 なので、ダーツが正方形の右半分に当たる確率は 0.5 です。

次に、ダーツが単位正方形の対角線上の点に正確に当たる場合を考えます。正方形の対角線の面積は 0 なので、ダーツが対角線上に正確に落ちる確率は 0 です。つまり、対角線上の点の集合が空ではなく、対角線上の点が他の点よりも可能性が低いわけではないにもかかわらず、ダーツが対角線上に落ちることはほとんどありません(つまり、ダーツが対角線上に落ちることはほぼありません)。

確率空間 に対応する（おそらく偏りのある）コインを投げる場合を考えてみましょう。この確率空間では、表が出ればイベントが発生し、裏が出ればイベントが発生します。この特定のコインでは、表が出る可能性は であると想定されており、そこから、補イベントである裏が出る可能性は の確率であることがわかります。 ${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$${\displaystyle \{H\}}$${\displaystyle \{T\}}$${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$${\displaystyle P(T)=1-p}$

ここで、コインを繰り返し投げる実験が行われ、結果が与えられ、各投げの結果は他のすべてから独立している（つまり、独立しており同一に分布している; iid）という仮定が置かれているとします。コイン投げ空間上のランダム変数のシーケンスを定義します。ここで、 。つまり、それぞれが番目の投げ の結果を記録します。${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$

この場合、表と裏の無限の連続は、実験の可能な結果です。しかし、表と裏の特定の無限の連続は、（無限の）実験の正確な結果である確率が0です。これは、iid仮定により、すべての表が投げられる確率は単に であるためです。仮定によりとなるため、 とすると0になります。 0と1の間に厳密に制約する限り、コインをどれだけ表に偏らせても結果は同じです。実際、無限小の確率が許容される非標準分析でも同じ結果が当てはまります。^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}$${\displaystyle n\rightarrow \infty}$${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle p}$

さらに、「一連のコイントスに少なくとも 1 つのコイントスが含まれる」というイベントもほぼ確実に発生します (つまり、確率 1)。ただし、コイントスを無限に行うのではなく、コイントスが有限時間 (たとえば 1,000,000 回) 後に停止すると、すべて表になる確率は0 ではなくなり、少なくとも 1 つの裏になる確率は1 ではなくなります (つまり、イベントはほぼ確実ではなくなります)。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle p^{1,000,000}}$${\displaystyle 1-p^{1,000,000}}$

漸近解析では、一連の集合にわたって確率が 1 に収束する場合、その特性は漸近的にほぼ確実に(aas) 成り立つと言われます。これは確率の収束と同等です。たとえば、数論では、素数定理により、大きな数は漸近的にほぼ確実に合成数です。また、ランダムグラフ理論では、「は連結されている」という文( は、辺確率 の頂点上のグラフを表します) は、ある場合、aas で真です。${\displaystyle G(n,p_{n})}$${\displaystyle G(n,p)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}$   ^[6]

数論では、これは「ほぼすべての数は合成数である」のように「ほぼすべて」と呼ばれます。同様に、グラフ理論では、これは「ほぼ確実」と呼ばれることもあります。^[7]

• ほとんど
• ほぼどこでも、測度論における対応する概念は
• ランダム変数の収束、「ほぼ確実な収束」
• 高い確率で
• クロムウェルの法則は、確率を0または1に設定することはほとんどないというものである。
• 退化した分布、「ほぼ確実に一定」
• 無限猿定理、前述の用語を使用した定理
• 数学用語の一覧

• Rogers, LCG; Williams, David (2000)。拡散、マルコフ過程、マルチンゲール。第 1 巻: 基礎。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521775946。
• ウィリアムズ、デイビッド (1991)。マーチンゲール法による確率。ケンブリッジ数学教科書。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521406055。