発生代数

数学の一分野である順序論において、接続代数は結合代数であり、すべての局所有限部分順序集合 と単位を持つ可換環に対して定義されます。縮小接続代数と呼ばれる部分代数は、組合せ論や数論で使用されるさまざまな種類の生成関数の自然な構成を提供します。

局所有限な 半集合とは、任意の閉区間

[ a, b ] = { x  : a ≤ x ≤ b }

有限です。

結合代数の要素は、関数f であり、各空でない区間 [ a, b ] にスカラーf ( a , b ) を割り当てる。これは、単位元を持つ可換環であるスカラー環から取られる。この基礎集合では、点ごとに加算とスカラー乗算が定義され、結合代数における「乗算」は、次のように定義される 畳み込みである。

${\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a~\leq ~x~\leq ~b}f(a,x)g(x,b).}$

接続代数は、基礎となる poset が有限である 場合に限り、有限次元です。

接続代数は群代数に類似しています。実際、群代数と接続代数は両方ともカテゴリ代数の特殊なケースであり、同様に定義されます。群と半集合はカテゴリの特別な種類です。

任意のn要素集合S上の半順序 ≤ の場合を考えます。S をs ₁ , …, s _nとして列挙し、列挙がS上の順序 ≤ と互換性があるようにします。つまり、s _i ≤ s _{j は}i ≤ j を意味し、これは常に可能です。

すると、区間からスカラーへの上記のような関数fは、行列 A _ijとして考えることができます。ここで、i ≤ jの場合は常にA _ij = f ( s _i , s _j )であり、それ以外の場合はA _ij = 0です。行列のインデックスの通常の順序と一致するようにS を配置したので、それらは、≤ の下でSの比較不可能な要素によって決定される所定のゼロパターンを持つ上三角行列として表示されます。

≤ の接続代数は、この規定されたゼロパターンと他のすべての場所での任意の（ゼロを含む可能性のある）スカラー要素を持つ上三角行列の代数と同型であり、演算は通常の行列の加算、スケーリング、乗算です。^[1]

発生代数の乗法単位元はデルタ関数であり、次のように定義される。

${\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=b,\\0&{\text{if }}a\neq b.\end{cases}}}$

接続代数のゼータ関数は、すべての空でない区間 [ a, b ] に対して定数関数ζ ( a , b ) = 1です。 ζを掛けることは積分に似ています。

ζ は、（上で定義した畳み込みに関して）接続代数において可逆であることが示せます。（一般に、接続代数の要素hが可逆なのは、 h ( x , x ) がすべてのxに対して可逆な場合のみです。）ゼータ関数の逆数はメビウス関数 μ ( a, b ) です。 μ ( a, b )のすべての値は、基本環において 1 の整数倍です。

メビウス関数は、次の関係によって帰納的に定義することもできます。

${\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}{}\qquad 1&{\text{if }}x=y\\[6pt]\displaystyle -\!\!\!\!\sum _{z\,:\,x\,\leq \,z\,<\,y}\mu (x,z)&{\text{for }}x<y\\{}\qquad 0&{\text{otherwise }}.\end{cases}}}$

μを掛けることは微分に似ており、メビウスの反転と呼ばれます。

ゼータ関数の二乗は区間内の要素の数を与えます。 $${\displaystyle \zeta ^{2}(x,y)=\sum _{z\in [x,y]}\zeta (x,z)\,\zeta (z,y)=\sum _{z \in [x,y]}1=\#[x,y].}$$

割り切れる順に並べた正の整数

区間 [1, n ]に対する接続代数に関連付けられた畳み込みはディリクレ畳み込みになるため、メビウス関数はμ ( a, b ) = μ ( b/a ) となります。ここで、2 番目の " μ " は、19 世紀に数論に導入された古典的なメビウス関数です。

ある集合Eの包含関係によって順序付けられた有限部分集合

メビウス関数は$${\displaystyle \mu (S,T)=(-1)^{\left|T\smallsetminus S\right|}}$$

SとT がEの有限部分集合でS ⊆ Tであるときは常に、メビウス反転は包含排他原理と呼ばれます。

幾何学的には、これは超立方体です。${\displaystyle 2^{E}=\{0,1\}^{E}.}$

通常の順序の自然数

メビウス関数はであり、メビウス反転は（後方）差分演算子と呼ばれます。$${\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if }}y=x,\\-1&{\text{if }}y=x+1,\\0&{\text{if }}y>x+1,\end{cases}}}$$

幾何学的には、これは離散数直線に対応します。

接続代数における関数の畳み込みは、形式的な冪級数の乗算に対応します。以下の簡約接続代数の説明を参照してください。メビウス関数は、形式的な冪級数 1 − t の係数の列 (1, −1, 0, 0, 0, ... ) に対応し 、ゼータ関数は、逆である形式的な冪級数の係数の列 (1, 1, 1, 1, ...) に対応します。この接続代数のデルタ関数は、同様に、形式的な冪級数 1 に対応します。${\displaystyle (1-t)^{-1}=1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots }$

ある多重集合Eの包含関係によって順序付けられた有限部分多重集合

上記の3つの例は、多重集合 Eと、 Eの有限部分多重集合SとTを考えることで統一され一般化できる。メビウス関数は$${\displaystyle \mu (S,T)={\begin{cases}0&{\text{if }}T\smallsetminus S{\text{ is a proper multiset (has repeated elements)}}\\(-1)^{\left|T\smallsetminus S\right|}&{\text{if }}T\smallsetminus S{\text{ is a set (has no repeated elements)}}.\end{cases}}}$$

これは、正の整数を、その重複度を持つ素因数の多重集合に対応する正の整数で割り切れる順に一般化するもので、例えば12は多重集合に対応する。 ${\displaystyle \{2,2,3\}.}$

これは、自然数を、1つの基礎要素とその数に等しい濃度の多重集合に対応する自然数によって、通常の順序で一般化する。例えば、3は多重集合に対応する。${\displaystyle \{1,1,1\}.}$

有限p群 Gの部分群（包含関係によって順序付けられる）

メビウス関数は、がおよびの正規部分群である場合はであり、そうでない場合は 0 です。これは Weisner (1935) の定理です。$${\displaystyle \mu _{G}(H_{1},H_{2})=(-1)^{k}p^{\binom {k}{2}}}$$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{2}/H_{1}\cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{k}}$

集合の分割

σがτよりも細かい分割である場合、σ ≤ τとして有限集合のすべての分割の集合を部分的に順序付けます。特に、τ がt 個のブロックを持ち、それぞれσのs ₁、...、s _t個の細かいブロックに分割され、合計s = s ₁ + ⋅⋅⋅ + s _t個のブロックがあるとします。このとき、メビウス関数は次のようになります。$${\displaystyle \mu (\sigma ,\tau )=(-1)^{s-t}(s_{1}{-}1)!\dots (s_{t}{-}1)!}$$

poset が有界であるとは、最小元と最大元を持ち、それぞれ 0 と 1 と呼ばれる場合です (スカラー環の 0 と 1 と混同しないでください)。有界有限 poset のオイラー特性はμ (0,1) です。この用語を使用する理由は次のとおりです。Pに0 と 1 がある場合、μ (0,1) は、面がP \ {0, 1} 内のチェーンである単体複体の縮小オイラー特性です。これは、 μ (0,1) の値を長さiのチェーンの数に 関連付ける Philip Hall の定理を使用して示されます。

縮小接続代数は、適切な意味で等価な任意の 2 つの区間に同じ値を割り当てる関数で構成されます。等価とは、通常はposet として同型であることを意味します。これは接続代数の部分代数であり、接続代数の単位元とゼータ関数を明確に含んでいます。より大きな接続代数で可逆な縮小接続代数の要素は、縮小接続代数にその逆関数を持ちます。したがって、メビウス関数も縮小接続代数に含まれます。

縮約された接続代数は、ドゥビエ、ロータ、スタンレーによって導入され、様々な生成関数の環の自然な構成を与えた。^[2]

poset に対して、簡約接続代数は、すべてに対して平行移動に対して不変な関数で構成され、同型区間 [ a + k , b + k ] および [ a , b ] 上で同じ値を持ちます。tは、 t ( a , a +1) = 1かつそれ以外の場合はt ( a , b ) = 0となる関数、つまり区間の同型類上の一種の不変デルタ関数を表します。接続代数におけるそのべき乗は、その他の不変デルタ関数t ⁿ ( a , a + n ) = 1 およびそれ以外の場合はt ⁿ ( x , y ) = 0 です。これらは簡約接続代数の基礎を形成し、任意の不変関数を と書くことができます。この表記法は、被約接続代数とスカラーR上の形式的冪級数の環（通常の生成関数の環としても知られる）との間の同型性を明確にする。ゼータ関数はメビウス関数の逆数として書くことができる。${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle f(a+k,b+k)=f(a,b)}$${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(0,n)t^{n}}$${\displaystyle R[[t]]}$${\displaystyle \zeta =1+t+t^{2}+\cdots ={\tfrac {1}{1-t}},}$${\displaystyle \mu =1-t.}$

包含によって順序付けられた有限部分集合のブール poset の場合、簡約接続代数は、 | T  \  S | = | T  ′ \  S ′| で同型区間 [ S , T ] と [ S ′, T  ′] で同じ値を持つように定義された不変関数で構成されます。ここでも、t は不変デルタ関数を表し、| T  \  S | = 1 の場合はt ( S , T ) = 1、それ以外の場合はt ( S , T ) = 0 です。そのべき乗は次のとおりです。 ここで、合計はすべてのチェーンにわたっており、ゼロ以外の項はnの順列に対応する飽和チェーンでのみ発生します。したがって、ゼロ以外の一意の値n ! が得られます。したがって、不変デルタ関数はべき乗の分割であり、任意の不変関数を と記述できます。ここで、[ n ] = {1, . . . , n }。これにより、縮小接続代数と指数生成関数の環の間に自然な同型性が得られます。ゼータ関数はメビウス関数と同型です。 実際、形式的なべき級数を使用したこの計算により、サブセットまたはラベル付きオブジェクトを含む多くの組み合わせカウントシーケンスは、縮小接続代数の観点から解釈でき、指数生成関数を使用して計算できることがわかります。 ${\displaystyle S\subset \{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle S\subset T}$${\displaystyle f(S,T),}$$${\displaystyle t^{n}(S,T)=\,\sum t(T_{0},T_{1})\,t(T_{1},T_{2})\dots t(T_{n-1},T_{n})=\left\{{\begin{array}{cl}n!&{\text{if}}\,\,|T\smallsetminus S|=n\\0&{\text{otherwise,}}\end{array}}\right.}$$${\displaystyle S=T_{0}\subset T_{1}\subset \cdots \subset T_{n}=T,}$${\displaystyle |T_{i}\smallsetminus T_{i-1}|=1;}$${\displaystyle {\tfrac {t^{n}}{n!}},}$${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(\emptyset ,[n]){\frac {t^{n}}{n!}},}$${\displaystyle \textstyle \zeta =\sum _{n\geq 0}{\frac {t^{n}}{n!}}=\exp(t),}$$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\zeta }}=\exp(-t)=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle \mu (S,T)=(-1)^{|T\smallsetminus S|}.}$

で表され、割り切れる順の正の整数のposet D を考えます。縮小された接続代数は、乗法に対して不変な関数で構成されます。すべてに対して です(この区間の乗法同値性は、poset 同型性よりもはるかに強い関係です。たとえば、素数pに対して、2 要素区間 [1, p ] はすべて不同です)。不変関数の場合、f ( a , b ) はb / aのみに依存するため、自然な基底は、 b / a = nの場合は で定義され、それ以外の場合は 0 となる不変デルタ関数で構成されます。したがって、任意の不変関数は次のように書くことができます。${\displaystyle a\,|\,b.}$${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle f(ka,kb)=f(a,b)}$${\displaystyle k\geq 1.}$${\displaystyle \delta _{n}}$${\displaystyle \delta _{n}(a,b)=1}$${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(1,n)\,\delta _{n}.}$

2 つの不変デルタ関数の積は次のようになります。

${\displaystyle (\delta _{n}\delta _{m})(a,b)=\sum _{a|c|b}\delta _{n}(a,c)\,\delta _{m}(c,b)=\delta _{nm}(a,b),}$

唯一の非ゼロ項はc = naおよびb = mc = nmaから来るからである。したがって、をに代入することで、被約接続代数から形式ディリクレ級数の環への同型が得られ、 f は${\displaystyle \delta _{n}}$${\displaystyle n^{-s}\!,}$${\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(1,n)}{n^{s}}}.}$

接続代数ゼータ関数 ζ _D ( a , b ) = 1 は、古典的なリーマンゼータ関数 に対応し、逆数は数論の古典的なメビウス関数です。他の多くの算術関数は、簡約接続代数内で自然に発生し、ディリクレ級数に関しても同等です。たとえば、除数関数はゼータ関数の2乗であり、区間 [ x , y ]内の要素の数を与える上記の結果の特別な場合です。${\displaystyle \zeta (s)=\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}},}$${\textstyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)}$ ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\zeta ^{2}\!(1,n),}$${\displaystyle \zeta ^{2}\!(x,y)}$${\textstyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{s}}}.}$

因子 poset の積構造により、そのメビウス関数の計算が容易になります。一意に素因数分解できるため、D は無限直積 と同型であり、その順序は座標比較によって与えられます。 はk^番目の素数で、その指数のシーケンスに対応します。ここで、 Dのメビウス関数は、上で計算された因子 poset のメビウス関数の積であり、古典的な式になります。 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots }$${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots }$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ).}$

${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)=\prod _{k\geq 1}\mu _{\mathbb {N} }(0,e_{k})\,=\,\left\{{\begin{array}{cl}(-1)^{d}&{\text{for }}n{\text{ squarefree with }}d{\text{ prime factors}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.}$

積構造は、ゼータ関数の古典的なオイラー積も説明します。D のゼータ関数は、上記で と計算された因子のゼータ関数の直積に対応し、右辺が直積であることがわかります。k番目^の因子のtを に送る同型性を適用すると、通常のオイラー積が得られます。 ${\textstyle {\frac {1}{1-t}},}$${\textstyle \zeta _{D}\cong \prod _{k\geq 1}\!{\frac {1}{1-t}},}$${\displaystyle p_{k}^{-s}}$

• グラフ代数
• 発生余代数
• パス代数

局所有限半順序集合の接続代数は、1964年以降、ジャン・カルロ・ロータの多くの論文で扱われ、その後の多くの組合せ論者によっても扱われた。ロータの1964年の論文は次の通りである。

• Rota、Gian-Carlo (1964)、「組合せ理論の基礎について I: メビウス関数の理論」、Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete、2 (4): 340–368、doi : 10.1007/BF00531932、S2CID  121334025
• N. Jacobson , Basic Algebra . I, WH Freeman and Co., 1974.ポセット上のメビウス関数の扱いについてはセクション8.6を参照

• シュピーゲル、ユージン、オドネル、クリストファー J. (1997)、インシデンス代数、純粋および応用数学、第 206 巻、マルセル デッカー、ISBN 0-8247-0036-8