数学的概念
数学 において 、 L関数 の 明示的な公式は、 L関数 の 複素数 零点の和と 素数冪 の和との間の関係であり 、リーマン（1859）が リーマンゼータ関数に対して導入した。このような明示的な公式は、 代数体の判別式 や 数体の導体 を境界付ける問題にも適用されている 。
1859年の論文「 与えられた絶対値より小さい素数の個数について 」で、リーマンは正規化された素数関数 π 0 ( x ) の明示的な式を描いた（これは1895年に マンゴルト によって完全に証明されるまでは証明されていなかった。下記参照）。これは 素数関数 π( x ) と次の式で関連している。 [ 要出典 ]
π
0
（ x ） =
1 2
リム
h → 0
[
π （ x + h ） + π （ x − h ）
]
、
{\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,}
これは 不連続点における左からの極限と右からの極限の 算術平均である。 [a] 彼の公式は関連する関数で与えられた。
ふ （ x ） =
π
0
（ x ） +
1 2
π
0
（
x
1
/
2
） +
1 3
π
0
（
x
1
/
3
） + ⋯
{\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }
ここで、素数の累乗 p nは 素数の 1 ⁄ n として数えられる。この関数から正規化された 素数計算関数を 次のように復元できる。
[1]
π
0
（ x ） =
∑
ん
1 ん
μ （ ん ） ふ （
x
1
/
ん
） = ふ （ x ） −
1 2
ふ （
x
1
/
2
） −
1 3
ふ （
x
1
/
3
） −
1 5
ふ （
x
1
/
5
） +
1 6
ふ （
x
1
/
6
） − ⋯ 、
{\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}
ここで、 μ ( n ) は メビウス関数 である 。すると、リーマンの公式は
ふ （ x ） = 李 （ x ） −
∑
ρ
李 （
x
ρ
） − ログ （ 2 ） +
∫
x
∞
d t
t （
t
2
− 1 ）
ログ （ t ）
{\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}
リーマンゼータ関数の非自明な零点 ρ の和を含む。この和は 絶対収束し ないが、零点を虚数部の絶対値の順に取ることによって評価できる。第1項に現れる関数 liは 、発散積分の
コーシー主値 によって与えられる （オフセットされていない） 対数積分関数である。
李 （ x ） =
∫
0
x
d t
ログ （ t ）
。
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}
ゼータ関数の零点を含む 項 li( x ρ )は、 li が 0 と 1 に 分岐点 を持ち、 x > 1 かつ Re( ρ ) > 0 の領域で 複素変数 ρ の 解析接続 によって定義されるため、定義には注意が必要です。その他の項も零点に対応します。支配的な項li ( x )は、重複度 -1 の零点とみなされる s = 1 の極から生じ 、残りの小さな項は自明な零点から生じます。この式は、リーマンゼータ関数の零点が、素数の「期待される」位置の周りの振動を制御することを示しています。(この級数の最初のいくつかの項の和のグラフについては、Zagier 1977 を参照してください。)
前述の公式の最初の厳密な証明は1895年にマンゴルトによって与えられた。それは チェビシェフ関数 ψに対する次の公式の証明から始まった [2]
ψ
0
（ x ） =
1
2 π 私
∫
σ − 私 ∞
σ + 私 ∞
（
−
ζ ′
（ s ）
ζ （ s ）
）
x
s
s
d s = x −
∑
ρ
x
ρ
ρ
− ログ （ 2 π ） −
1 2
ログ （ 1 −
x
− 2
）
{\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}
ここで、左辺は逆メリン変換であり、
σ > 1 、 ψ （ x ） =
∑
p
け
≤ x
ログ p 、
そして
ψ
0
（ x ） =
1 2
リム
h → 0
（ ψ （ x + h ） + ψ （ x − h ） ）
{\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (xh))}
そして、右辺は 留数定理 から得られ、それをリーマン自身が実際に描いた式に変換します。
この級数も条件付き収束し、零点の和は虚数部の昇順にとられるべきである。 [3]
∑
ρ
x
ρ
ρ
=
リム
T → ∞
S （ x 、 T ）
{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}
どこ
S （ x 、 T ） =
∑
ρ :
|
ℑ ρ
|
≤ T
x
ρ
ρ
。
{\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}
和をS ( x , T ) に切り捨てる際に生じる誤差は、 絶対 値では常にln( x ) より小さく 、 x の 自然対数で割ったときの絶対値は x⁄T を x から最も近い素数累乗までの距離で割った 値より小さくなる 。 [4]
明示的な式を記述する方法はいくつかある。 [5] アンドレ・ヴェイユ の明示的な式は次のように表される。
Φ （ 1 ） + Φ （ 0 ） −
∑
ρ
Φ （ ρ ）
=
∑
p 、 メートル
ログ （ p ）
p
メートル
/
2
（
ふ （ ログ （
p
メートル
） ） + ふ （ − ログ （
p
メートル
） ）
）
−
1
2 π
∫
− ∞
∞
φ （ t ） Ψ （ t ） d t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}
どこ
ρは ゼータ関数の非自明な零点を通過する。 pは 正の素数を超える mは 正の整数を超える Fは 滑らかな関数であり、その導関数はすべて急速に減少する
φ
{\displaystyle \varphi }
はF のフーリエ変換である :
φ
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
F
(
x
)
e
i
t
x
d
x
{\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}
Φ
(
1
/
2
+
i
t
)
=
φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}
Ψ
(
t
)
=
−
log
(
π
)
+
Re
(
ψ
(
1
/
4
+
i
t
/
2
)
)
{\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}
ここで、 は ディガンマ関数 Γ ′ /Γ です 。
ψ
{\displaystyle \psi }
大まかに言えば、明示的な式は、ゼータ関数のゼロのフーリエ変換は素数の累乗の集合といくつかの基本因数の組み合わせであると述べています。これを言うと、式はフーリエ変換がユニタリ演算子であるという事実から来ており、時間領域でのスカラー積は周波数領域でのフーリエ変換のスカラー積に等しくなります。
式内の項は次のようにして生じます。
右側の項は の 対数微分から来ており、素数 p に対応する項は p のオイラー因子から来ており 、 Ψ を含む最後の項はガンマ因子 ( 無限大における オイラー因子) から来ています。
ζ
∗
(
s
)
=
Γ
(
s
/
2
)
π
−
s
/
2
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
左側は、重複度でカウントされた ζ * のすべての零点の合計であるため、0 と 1 の極は、次数 -1 の零点としてカウントされます。 ヴェイユの明示的な公式は次のように理解できます。目標は次のように書けるようになることです。
d
d
u
[
∑
n
≤
e
|
u
|
Λ
(
n
)
+
1
2
ln
(
1
−
e
−
2
|
u
|
)
]
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
[
δ
(
u
+
ln
n
)
+
δ
(
u
−
ln
n
)
]
+
1
2
d
ln
(
1
−
e
−
2
|
u
|
)
d
u
=
e
u
−
∑
ρ
e
ρ
u
,
{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}
ここで、 Λ は フォン・マンゴルト関数 です 。
したがって、非自明なゼロの フーリエ変換は 、対称化された素数の累乗にマイナー項を加えたものに等しくなります。もちろん、含まれる合計は収束しませんが、コツはスカラー積を保存するというフーリエ変換のユニタリー特性を使用することです。
∫
−
∞
∞
f
(
u
)
g
∗
(
u
)
d
u
=
∫
−
∞
∞
F
(
t
)
G
∗
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}
ここで、 は のフーリエ変換です 。一見すると、関数のみの公式のように見えますが、実際には多くの場合、 が分布の場合でも機能します。したがって、 をディラックのデルタ として設定し 、 関数 と その フーリエ変換を注意深く選択すると、上記の公式が得られます。
F
,
G
{\displaystyle F,G}
f
,
g
{\displaystyle f,g}
g
{\displaystyle g}
g
(
u
)
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
[
δ
(
u
+
ln
n
)
+
δ
(
u
−
ln
n
)
]
,
{\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}
δ
(
u
)
{\displaystyle \delta (u)}
f
{\displaystyle f}
一般化 リーマンゼータ関数は、 ディリクレ指標 χの ディリクレ L 関数 に置き換えることができます。素数累乗の合計は χ ( p m ) の追加の因子を取得し、L 級数には極がないため、項 Φ(1) と Φ(0) は消えます。
より一般的には、リーマンゼータ関数と L 級数は、 代数体の デデキントゼータ関数または ヘッケ L 級数 に置き換えることができます。素数全体の和は、素イデアル全体の和に置き換えられます。
アプリケーション リーマンが明示的な公式を最初に使用したのは、与えられた数より小さい素数の個数を正確に表すためでした。これを行うには、 F (log( y )) を 0 ≤ y ≤ xの場合は y 1/2 /log( y ) とし、それ以外は 0 とします。すると、右側の合計の主項は x より小さい素数の個数です。左側の主な項は Φ (1) であり、これは 素数定理 の主な項であることが判明し 、主な修正はゼータ関数の非自明な零点の合計です。(この場合の使用には、関数 F が 滑らかさの条件を満たさないという小さな技術的問題があります。)
ヒルベルト・ポリア予想 ヒルベルト・ポリア予想 によれば 、複素零点 ρ は ある 線型演算子 Tの 固有値 となる 。明示的な式の零点の合計は（少なくとも形式的には）次のトレースで与えられる。
∑
ρ
F
(
ρ
)
=
Tr
(
F
(
T
^
)
)
.
{\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}
L関数の幅広いクラスに対する明示的な公式の開発は、Weil (1952) によって行われました。彼は最初にこのアイデアを 局所ゼータ関数 に拡張し、この設定での 一般化リーマン予想の一種を、 位相群 上の 一般化関数 に対する正値ステートメントとして定式化しました。 アラン・コヌ による最近の研究では 、関数解析学の背景をさらに深く掘り下げ、その妥当性がそのような一般化リーマン予想と同等であるトレース公式を提供しました。やや異なる観点を示したのは Meyer (2005) で、彼は Weil の明示的な公式を アデール 空間上の調和解析によって導きました。
参照
^ 元の素数計算関数は、 すべての
π
(
x
)
=
π
0
(
x
+
1
)
{\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}
x
≥
3
.
{\displaystyle ~x\geq 3~.}
参考文献
^ Li, Xian-Jin (2004年4月). 「ディリクレ関数とヘッケ関数の明示的公式」. イリノイ数学ジャーナル . 48 (2): 491–503. doi : 10.1215/ijm/1258138394 . ISSN 0019-2082. ^ Weisstein, Eric W. MathWorld の明示的な式。 ^ インガム（1990）p.77 ^ ψ0(x)の明示的な式について混乱している ^ 「リーマン-ヴァイル明示的公式」. empslocal.ex.ac.uk . 2023年6月14日 閲覧 。
インガム、AE (1990) [1932]、 「素数の分布」、ケンブリッジ数学・数理物理学論文集、第30巻、 RCヴォーン による序文付き再版 （第2版）、 ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 978-0-521-39789-6 、 MR 1074573、 Zbl 0715.11045 ラング、セルジュ （1994）、 代数的数論 、Graduate Texts in Mathematics、第110巻（第2版）、ニューヨーク、NY： Springer-Verlag 、 ISBN 0-387-94225-4 、 ZBL 0811.11001 リーマン、ベルンハルト (1859)、「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse」、 Monatsberichte der Berliner Akademie Weil、André (1952)、「Sur les "formules Explicites" de la théorie des nombres premiers」[素数理論における「明示的な公式」について]、 Comm.セム。数学。大学ルンド[メッド。ルンズ大学マット。 Sem.] (フランス語)、Tome Supplémentaire: 252–265、 MR 0053152、 Zbl 0049.03205 ハンス・フォン・マンゴルト (1895)、「Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse" " [リーマンの論文「与えられた大きさ未満の素数の数」について]、 Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)、 114 : 255–305、 ISSN 0075-4102、 JFM 26.0215.03、 MR 1580379 マイヤー、ラルフ (2005)、「 L 関数の素数と零点に関連するイデレ類群の表現について 」、 デューク数学誌 、 127 (3): 519–595、 arXiv : math/0311468 、 doi :10.1215/s0012-7094-04-12734-4、 ISSN 0012-7094、 MR 2132868、 S2CID 119176169、 Zbl 1079.11044 ザギエ、ドン (1977)、「最初の 5000 万個の素数」、 数学インテリジェンサー 、 1 (S2): 7–19、 doi :10.1007/bf03351556、 S2CID 37866599
さらに読む エドワーズ、HM （1974）、 リーマンのゼータ関数 、純粋および応用数学、第58巻、ニューヨーク-ロンドン：アカデミックプレス、 ISBN 0-12-232750-0 、 ZBL 0315.10035 リーゼル、ハンス （1994）、 素数と因数分解のためのコンピュータ手法 、数学の進歩、第126巻（第2版）、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、 ISBN 0-8176-3743-5 、 ZBL 0821.11001 
![{\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b36cc54b6f4b7c525440ec44ab649a21ad1d8c5)
![{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln( 1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{ u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63365f59b70fa761b5462f3ebde0722efb3174a)
![{\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b75c23fbe5e2cf32274c6f5a61b72b1849a3900)
