算術関数

数論において、算術関数、算術関数、または数論的関数^{[1] [2]}は、一般に、定義域が正の整数で値域が複素数の部分集合である関数 f ( n )です。^{[3] [4] [5] Hardy と Wright は、算術関数が「} nの何らかの算術的性質を表現する」という要件を定義に含めています。^[6]この定義に当てはまらない、より大きなクラスの数論的関数、たとえば素数計算関数があります。この記事では、両方のクラスの関数へのリンクを示します。

算術関数の例としては、正の整数nにおける値がnの約数の個数に等しい除数関数があります。

算術関数は極めて不規則であることが多いですが (表を参照)、その一部はラマヌジャンの和に関して級数展開されます。

算術関数aは

• すべての自然数mとnに対してa ( mn )= a ( m )+ a ( n )であれば完全に加法である。
• すべての自然数mとnに対してa ( mn )= a ( m ) a ( n )であれば完全に乗法である。

2 つの整数mとn は、その最大公約数が 1 である場合、つまり両方を割り切る 素数が存在しない場合に、互いに素であると呼ばれます。

すると算術関数aは

• 互いに素な自然数mとnすべてに対してa ( mn )= a ( m )+ a ( n )であれば加法となる。
• すべての互いに素な自然数mとnに対してa ( mn ) = a ( m ) a ( n ) が成立する場合、乗法である。

この記事では、 および は、和または積がすべての素数にわたっていることを意味します。 同様に、 およびは、和または積が厳密に正の指数を持つすべての素数累乗にわたっていることを意味します（したがって、k = 0は含まれません）。 ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$${\textstyle \prod _{p}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$$${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$$${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

および という表記は、和または積が1 とn を含むnのすべての正の約数にわたっていることを意味します。たとえば、n = 12の場合、 ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$$${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

表記は組み合わせることができます。 および は、和または積がnのすべての素因数にわたることを意味します。たとえば、n = 18 の場合、 および 同様に、 および は、和または積がn を割り切るすべての素数累乗にわたることを意味します。たとえば、n = 24 の場合、 ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

算術の基本定理によれば、任意の正の整数n は、素数の累乗の積として一意に表すことができます。ここで、 p ₁ < p ₂ < ... < p _kは素数であり、a _{j は}正の整数です。(1 は空の積で与えられます。) ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

これをすべての素数の無限積として書くと便利な場合が多い。ただし、有限数を除くすべての素数の指数はゼロである。p進評価 ν _p ( n )を、 n を割り切る素数pの最大のべき乗の指数として定義する。つまり、p がp _iの 1 つである場合、 ν _p ( n ) = a _iであり、それ以外の場合はゼロである。 $${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

上記の式から、素数オメガ関数ωとΩは次のように定義される。

繰り返しを避けるため、この記事に記載されている関数の式は、可能な限りnとそれに対応するp _i、a _i、 ω、 Ω で表されます。

σ _k ( n ) は、 1 とnを含むnの正の約数のk乗の合計ですここで、 kは複素数です。

σ ₁ ( n ) 、つまりnの（正の）約数の合計は、通常σ( n )と表記されます。

正の数のゼロ乗は 1 なので、σ ₀ ( n )はnの (正の) 約数の個数です。これは通常、 d ( n )またはτ( n ) (ドイツ語のTeiler = 約数)で表されます。

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

2番目の 積でk = 0とすると、$${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ( n ) はオイラーのトーシェント関数であり、 nと互いに素であるn以下の正の整数の個数です。

$${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

ジョルダンのトーシェント関数J _k ( n ) は、すべてn以下の正の整数k組の数であり、 nと互いに素な ( k + 1) 組を形成します。これは、オイラーのトーシェントφ( n ) = J ₁ ( n )の一般化です。 $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

メビウス関数μ( n )はメビウスの逆関数の公式として重要です。下記のディリクレ畳み込みを参照してください。

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

これはμ(1) = 1を意味します。（Ω(1) = ω(1) = 0であるため。）

ラマヌジャンのタウ関数τ( n )は、その生成関数の恒等式によって定義される。

$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

それが「表現するnの算術的性質」が何であるかを正確に言うのは難しいが、 ^[7] ( τ ( n ) はモジュラー判別関数のq 展開におけるn番目のフーリエ係数の(2π) ⁻¹²倍である) ^{[8] 、それは乗法的であり、特定の σ} _k ( n ) 関数とrk ( _n ) 関数を含む恒等式に現れるため(これらもモジュラー形式の展開における係数であるため)、算術関数に含まれます。

c _q ( n ) 、ラマヌジャンの和は、原始q乗根のnの和です。 $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

これは複素数（qのほとんどの値に対して無理数）の和として定義されていますが、整数です。nの値が固定されている場合、 qの乗法になります。

qとrが互いに素であれば、${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

モジュラー関数の理論で使用されるデデキントのpsi関数は、次の式で定義されます。 $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

λ ( n )、リウヴィル関数は次のように定義される。 $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

すべてのディリクレ指標 χ ( n )は完全に乗法的です。2 つの指標には特別な表記法があります。

主特性（mod n）はχ ₀ ( a )（またはχ ₁ ( a )）で表され、次のように定義されます。 $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

2次の特性(mod n )は、奇数nに対してはヤコビ記号で表されます(偶数nに対しては定義されません)。 $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

この式にはルジャンドル記号が含まれ、これはすべての整数aとすべての奇数素数pに対して次のよう に定義されます。${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

空の積の通常の慣例に従い、${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

ω( n ) は、上でn を割り切る異なる素数の個数として定義され、加法性があります（素数オメガ関数を参照）。

Ω( n )は、重複度とともに数えられたnの素因数の数として上で定義され、完全に加法性があります（素数オメガ関数を参照）。

固定された素数pに対して、nを割り切るpの最大の累乗の指数として上で定義されたν _p ( n )は完全に加法性があります。

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$、ここで は算術微分です。 ${\displaystyle D(n)}$

これらの重要な関数（算術関数ではない）は、非負の実数の引数に対して定義され、素数定理のさまざまな記述や証明で使用されます。これらは、乗法でも加算でもない算術関数の合計関数です（すぐ下のメインセクションを参照）。

素数計算関数π ( x )は、 xを超えない素数の個数です。これは素数の 特性関数の和関数です。$${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

関連する関数は、素数の重みを 1、素数の平方の重みを 1/2、立方の重みを 1/3 として、素数の累乗をカウントします。これは、ある素数のk乗である整数に対して値 1/ k をとり、他の整数に対して値 0 をとる算術関数の合計関数です。

$${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

チェビシェフ関数ϑ ( x ) とψ ( x ) は、 x を超えない素数の自然対数の和として定義されます。 $${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$ $${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

2番目のチェビシェフ関数ψ ( x ) は、すぐ下のフォン・マンゴルト関数の和関数です。

フォン・マンゴルト関数Λ( n ) は、引数nが素数p ^{k の}べき乗でない。素数 p k の場合には、素数pの自然対数になります。 $${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n ) は、パーティション関数であり、 n を表現する方法の数です。ただし、同じ被加数が異なる順序で表された 2 つの表現は、異なる表現としてカウントされません。 $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

カーマイケル関数λ ( n )は、すべてのa   に対してnと互いに素。同様に、これはn を法とする整数の乗法群の要素の順序の最小公倍数。 ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

奇数の素数の累乗と 2 および 4 の場合、λ ( n ) はnのオイラーのトーシェント関数に等しくなります。4 より大きい 2 の累乗の場合、これはnのオイラーのトーシェント関数の半分に等しくなります。 また、一般的なnの場合、これはnの各素数累乗因数の λ の最小公倍数です。 $${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$$${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h ( n ) は類数関数であり、判別式nを持つ有理数の代数的拡大の理想類群。一般に同じ判別式を持つ拡大は多数存在するため、表記法は曖昧である。古典的な例については、 2次体と円分体を

r _k ( n ) は、 n をkの平方の合計として表す方法の数です。ここで、加数の順序または平方根の符号のみが異なる表現は、異なるものとしてカウントされます。

$${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

ヘヴィサイドの表記法を用いると、算術微分 D ( n )は次のような関数となる。

• ${\displaystyle D(n)=1}$nが素数の場合、
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$（積の法則）

算術関数a ( n ) が与えられた場合、その和関数 A ( x ) は次のように定義され、 A は実変数の関数とみなすことができます。正の整数mが与えられた場合、A は開区間m < x < m + 1に沿って一定であり、a ( m ) ≠ 0となる各整数でジャンプ不連続を持ちます。 $${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$$

このような関数は級数や積分によって表現されることが多いため、点ごとの収束を達成するには、不連続点の値を左側と右側の値の平均として定義するのが一般的です。 $${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$$

算術関数の個々の値は、上記の例のほとんどがそうであるように、大きく変動することがあります。合計関数は、これらの変動を「平滑化」します。場合によっては、大きなxに対して合計関数の漸近的な動作を見つけることができるかもしれません。

この現象の古典的な例^[9]は、nの約数の数d ( n )の合計関数である約数合計関数で与えられます。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$$

算術関数の平均位数とは、漸近的に同じ和関数を持ち、したがって「平均的に」同じ値を取る、より単純またはよりよく理解された関数である。gが fの平均位数であるとは 、 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$

xが無限大に近づくにつれて、 d ( n )は平均的にlog( n )の順序を持​​つことがわかる。^[10]

算術関数a ( n )が与えられたとき、複素数sに対してFa ₍ s )を対応するディリクレ級数（収束する）によって定義される関数とします。^[11] Fa ( s )_はa ( n )の生成関数と呼ばれます。すべてのnに対して定数関数a ( n )=1に対応する最も単純な級数は、リーマンゼータ関数ζ ( s )です。 $${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$$

メビウス関数の生成関数はゼータ関数の逆関数です。 $${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}$$

2つの算術関数aとb、およびそれぞれの生成関数F _a ( s )とF _b ( s )を考えます。積F _a ( s ) F _b ( s )は次のように計算できます。 $${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$$

c ( n ) が 次のように定義されることを示すのは簡単な演習である。$${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$$$${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$$

この関数c はaとbのディリクレ畳み込みと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle a*b}$

特に重要なケースは、すべてのnに対して定数関数a ( n )=1との畳み込みであり、これは生成関数にゼータ関数を乗算することに対応する。 $${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

ゼータ関数の逆関数を掛けると、メビウスの逆関数の公式が得られます。 $${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$$

fが乗法であれば、 gも乗法です。fが完全に乗法であれば、gは乗法ですが、完全に乗法である場合もそうでない場合もあります。

算術関数を互いに、また解析関数、特に累乗、根、指数関数、対数関数と結び付ける公式は数多くあります。「除数和恒等式」のページには、算術関数を含む恒等式のより一般化された関連例が多数含まれています。

以下にいくつか例を挙げます。

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     ここでλはリウヴィル関数である。^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       メビウス反転

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       メビウス反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       メビウス反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       メビウス反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       メビウス反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     ここでλはリウヴィル関数です。

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       メビウス反転

すべてについて     （ラグランジュの四平方定理）。 ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

ここでクロネッカー記号は

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

_{r 3}の式は、以下のクラス数のセクションに記載されています。 ここでν = ν ₂ ( n )です。     ^{[21] [22] [23]}$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$

$${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$ ここで^[24]${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

関数σ _k ^* ( n )を^[25]として定義します。 $${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

つまり、nが奇数の場合、σ _k ^* ( n )はnの約数のk乗の合計、つまりσ _k ( n ) となり、nが偶数の場合、nの偶数約数のk乗の合計からnの奇数約数のk乗の合計を引いたものとなります。

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

xが整数でない場合は、ラマヌジャンのτ ( x ) = 0という規則を採用します。

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^[27]

ここで「畳み込み」は「ディリクレ畳み込み」を意味するのではなく、2 つのべき級数の積の係数の式を指します。

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

この数列は畳み込みまたは数列a _nとb _nのコーシー積と呼ばれる。 これらの式は解析的に証明できる（アイゼンシュタイン級数を参照）か、初等的手法で証明できる。^[28]${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     ここでτ ( n )はラマヌジャン関数である。     ^{[33] [34]}

σk ( n )（自然数kの場合）とτ ( n )は整数なので、上記の式は関数の合同性を証明するために使用できます[35]。_いくつか^{の例については}ラマヌジャンのタウ関数を参照してください。

p (0) = 1に設定してパーティション関数の定義域を拡張します。

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^{[36]この再帰式は}p ( n )   を計算するために使用できる。

ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、二次数体の類数hとヤコビ記号を関連付ける公式を発見した。^[37]

整数Dは、それが2次数体の判別式である場合、基本判別式と呼ばれます。これは、 D ≠1であり、a) Dが平方数でD≡1 （mod 4）であるか、b) D≡0（mod 4）、D /4が平方数でD /4≡2または3（mod 4）のいずれかであることに相当します。^[38]

クロネッカー記号を定義して、ヤコビ記号を拡張し、「分母」に偶数を受け入れるようにします。 $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

D < −4が基本判別式である場合^{[39] [40]} $${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

r ₃とhを関連付ける式もある。ここでも、D を基本判別式、D < −4 とする。すると、^[41] $${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

をn番目の調和数   とします。すると ${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$は、リーマン予想が真である場合にのみ、   任意の自然数nに対して真である。     ^[42]

リーマン予想は、 n > 5040 のすべてに対して、 （ここで γ はオイラー・マスケローニ定数）という命題とも同等である。これはロビンの定理である。 $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

1965年にP・ケサヴァ・メノンは^[47] $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

これは多くの数学者によって一般化されている。例えば、

• B.スーリー^[48] $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• _N.ラオ^[49] ここでa1 , a2 _, ..., asは_整数であり、gcd( _a1 , a2 , ..., as _, n )=1_である。$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$
• László Fejes Tóth ^[50] ここで、m ₁とm _{2 は}奇数です、m = lcm( m ₁ , m ₂ )。$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$

実際、fが任意の算術関数^{[51] [52]} である場合 、はディリクレ畳み込みを表します。 $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$${\displaystyle *}$

mとn がそれぞれ異なる、奇数、正の数であるとします。このとき、ヤコビ記号は二次の相互法則を満たします。 $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

D ( n ) を算術微分とします。対数微分の詳細については算術微分を参照してください。 $${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$

λ ( n ) をリウヴィル関数と する。すると

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     そして

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

λ ( n ) をカーマイケル関数と する。すると

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     さらに遠く、

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

n を法とする整数の乗法群とn を法とする原始根を参照してください。  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[53] [54]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[55]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^[56]     留意すべき点  ^[57]${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^{[58]これを}1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²   と比較してください

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[59]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     ここでτ ( n )はラマヌジャン関数である。     ^[61]

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