算術ゼータ関数

数学において、算術ゼータ関数は、整数上の有限型のスキームに関連付けられたゼータ関数です。算術ゼータ関数は、リーマンゼータ関数とデデキントゼータ関数を高次元に一般化します。算術ゼータ関数は、数論の最も基本的なオブジェクトの 1 つです。

算術ゼータ関数ζX  ( s )は_、リーマンゼータ関数に類似したオイラー積によって定義される。

${\displaystyle {\zeta _{X}(s)}=\prod _{x}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}},}$

ここで積はスキームXのすべての閉点xに対して取られます。同様に、積は剰余体が有限であるすべての点に対して取られます。この体の濃度はN ( x )で表されます。

Xがq個の元を持つ有限体のスペクトルである場合、

${\displaystyle \zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}.}}$

有限体上の多様体Xに対して、グロタンディークのトレース公式によって次のことが知られている。

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=Z(X,q^{-s})}$

ここで、は有理関数（つまり、多項式の商）です。 ${\displaystyle Z(X,t)}$

有限体上の2つの多様体XとYが与えられたとき、ゼータ関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\times Y,t),}$

ここで、ウィットベクトルの環における整数の乗算を表す。^[1]${\displaystyle \star}$${\displaystyle W(\mathbf {Z} )}$

X が整数環のスペクトルである場合、ζ _X  ( s )はリーマンゼータ関数です。より一般的には、X が代数体の整数環のスペクトルである場合、ζ _X  ( s )はデデキントゼータ関数です。

スキームX上のアフィン空間と射影空間のゼータ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _{X}(sn)\\\zeta _{\mathbf {P } ^{n}(X)}(s)&=\prod _{i=0}^{n}\zeta _{X}(si)\end{aligned}}}$

後者の式は、閉部分スキームUと開部分スキームVの互いに素な和集合である任意のXに対して、

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=\zeta _{U}(s)\zeta _{V}(s)。}$

さらに一般的には、無限の互いに素な和集合に対しても同様の式が成り立ちます。特に、これはXのゼータ関数が素数p を法とするXの縮約関数の積であることを示しています。

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=\prod _{p}\zeta _{X_{p}}(s).}$

各素数にわたるこのような式はオイラー積と呼ばれることもあり、各因子はオイラー因子と呼ばれます。興味深い多くのケースでは、一般的なファイバー X _{Q は}滑らかです。その場合、有限個のX _pのみが特異です（悪い縮小）。ほとんどすべての素数、つまりX が良好な縮小を持つ場合、オイラー因子はX _Qのハッセ・ヴェイユゼータ関数の対応する因子と一致することが知られています。したがって、これら 2 つの関数は密接に関連しています。

正規既約等次元スキームX (整数上の有限型)のゼータ関数の挙動に関する予想は数多くあります。これらの予想の多く (すべてではありません) は、オイラー-リーマン-デデキント ゼータ関数に関するよく知られた定理の 1 次元の場合を一般化します。

スキームはZ上で平坦である必要はなく、この場合は何らかのF _p上の有限型のスキームです。これは以下で特性p の場合と呼ばれます。後者の場合、これらの予想の多く (最も有名な例外はバーチとスウィナートン-ダイアーの予想、つまり特殊値の研究) が知られています。 Z上で平坦で次元が 2 以上の スキームについてはほとんど知られていません。

ハッセとヴェイユは、ζX  ( s )は_複素平面への有理型接続を持ち、 s → n − sに関して関数方程式を満たすと予想した。 ここでnはXの絶対次元である。

これは、 n = 1 の場合と、 Z上の平坦スキームおよび正の特性を持つすべてのnに対してn > 1となる非常に特殊なケースの場合に証明されています。ゼータ関数が まで有理型接続を持つことは、ヴェイユ予想(より正確には、そのリーマン予想の部分)の結果です。 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>n-{\tfrac {1}{2}}}$

一般化リーマン予想によれば、ζ _X  ( s )の零点は臨界帯0 ≤ Re( s ) ≤ n の内側にあり、垂直線Re( s ) = 1/2, 3/2, ...上にあると推測され、臨界帯0 ≤ Re( s ) ≤ n の内側のζ _X  ( s )の極は垂直線Re( s ) = 0, 1, 2, ...上にあると推測されます。

これは、すべてのnに対して正の特性で証明されました ( Emil Artin、Helmut Hasse、André Weil、Alexander Grothendieck、Pierre Deligne )。 Z上で平坦なスキームでは証明されていません。リーマン予想は、予想 2 の部分的なケースです。

解析接続を条件として、臨界ストリップ内の整数点におけるζ _X  ( s )の零点または極と留数の順序は、 Xの重要な算術不変量によって表現可能であると予想されます。上記の基本的性質とノイマン正規化に基づくセールの議論は、 Xのゼータ関数がs = nに極を持ち、その順序が最大次元を持つXの既約成分の数に等しいことを示しています。^[2]次に、テイトは次のように予想しました^[3]

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Pic} (X)}$

つまり、極の順序は可逆な正則関数の群の階数とピカール群によって表現できます。バーチとスウィナートン-ダイアーの予想は、この予想の部分的なケースです。実際、テイトのこの予想は、バーチとスウィナートン-ダイアーの一般化に相当します。

より一般的には、スーレは次のように推測しました^[4]

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=nm}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m )}}$

右辺は、Xの代数K理論の Adams 固有空間を表します。これらの階数は、Bass 予想の下では有限です。

これらの予想はn = 1 の場合、つまり有限体上の数環と曲線の場合に知られています。 n > 1の場合、バーチ予想とスウィナートン・ダイアー予想の部分的なケースが証明されていますが、正の特性でも予想は未解決のままです。

クロネッカー次元nの正則連結等次元算術スキームの算術ゼータ関数は、適切に定義されたL因子と補助因子の積に因数分解できます。したがって、L関数の結果は、算術ゼータ関数の対応する結果を意味します。ただし、特性 0 および次元 2 以上での算術スキームのL因子に関する証明された結果はまだほとんどありません。Ivan Fesenko は^[5]、L因子 を扱わずに算術ゼータ関数を直接研究する理論を開始しました。これはTate のテーゼの高次元一般化であり、つまり、高次のアデール群、高次のゼータ積分、および高クラス体理論に由来するオブジェクトを使用します。この理論では、大域体上の楕円曲線の適切な正則モデルの有理型接続と関数方程式が、境界関数の平均周期性特性と関係しています。^[6]鈴木正之およびG.リコッタとの共同研究において、指数関数的増加以下の​​実数直線上の滑らかな関数の空間における算術ゼータ関数と平均周期関数との間の数論における新しい対応が提案された。^[7]この対応はラングランズ対応に関連している。フェセンコの理論の他の2つの応用は、大域体上の楕円曲線の固有モデルのゼータ関数の極と中心点における特殊値である。^[8]

出典

• François Bruhat (1963)。p進解析のいくつかの側面に関する講義。タタ基礎研究所。
• ジャン・ピエール・セール（1969–1970）。 "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (定義と推測)"。セミネール・ドランジュ・ピソ・ポワトゥー。１９．