リーマンは1859年の論文「与えられた大きさより小さい素数の数について 」の中で、正規化された素数計数関数π 0 ( x ) の明示的な公式を概説した（これは1895年にフォン・マンゴルトによって完全に証明された。下記参照）。この公式は 素数計数関数 π ( x ) と[ 1 ]
π 0 （ x ） = 1 2 リム h → 0 [ π （ x + h ） + π （ x − h ） ] 、 {\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,} これは、不連続点における左側からの極限と右側からの極限の算術平均を取るものである。 [ a ]
f （ x ） = π 0 （ x ） + 1 2 π 0 （ x 1 / 2 ） + 1 3 π 0 （ x 1 / 3 ） + ⋯ {\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots } ここでは、素数のべき乗p n 1 ⁄ n 素数カウント関数は、 この関数から次のように復元できます。
[ 2 ] π 0 （ x ） = ∑ n 1 n μ （ n ） f （ x 1 / n ） = f （ x ） − 1 2 f （ x 1 / 2 ） − 1 3 f （ x 1 / 3 ） − 1 5 f （ x 1 / 5 ） + 1 6 f （ x 1 / 6 ） − ⋯ 、 {\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,} ここでμ n )はメビウス関数 である。リーマンの公式は次のようになる。
f （ x ） = li （ x ） − ∑ ρ li （ x ρ ） − ログ （ 2 ） + ∫ x ∞ d t t （ t 2 − 1 ） ログ （ t ） {\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}} リーマンゼータ関数の非自明な零点ρに関する和を含む。この和は 絶対収束 しないが、零点を虚部の絶対値の順に取ることで評価できる。第1項に現れる関数li は、発散積分のコーシー主値 によって与えられる（オフセットなしの）対数積分関数である。
li （ x ） = ∫ 0 x d t ログ （ t ） 。 {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.} ゼータ関数の零点を含む項li( x ρ li が 0 と 1 に分岐点 を持つため、定義には注意が必要です。これらの項は、 x > 1 かつRe( ρ ) > 0 の領域で複素変数ρの 解析接続 によって定義されます。他の項も零点に対応しています。支配的な項li( x )は、重複度 − 1の零点とみなされるs = 1 の極から生じ、残りの小さな項は自明な零点から生じます。この式は、リーマンゼータ関数の零点が素数の「期待される」位置周りの振動を制御していることを示しています。（この級数の最初の数項の和のグラフについては、Zagier 1977 を 参照してください。）
前述の公式の最初の厳密な証明は、1895年にフォン・マンゴルトによって与えられました。それは、チェビシェフ関数 ψ [ 3 ]
ψ 0 （ x ） = 1 2 π 私 ∫ σ − 私 ∞ σ + 私 ∞ （ − ζ ′ （ s ） ζ （ s ） ） x s s d s = x − ∑ ρ x ρ ρ − ログ （ 2 π ） − 1 2 ログ （ 1 − x − 2 ） {\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})} ここで、LHSは逆メリン変換 であり、
σ > 1 、 ψ （ x ） = ∑ p k ≤ x ログ p 、 そして ψ 0 （ x ） = 1 2 リム h → 0 （ ψ （ x + h ） + ψ （ x − h ） ） {\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{および}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (xh))} そして右辺は留数定理 から得られ、それをリーマン自身が実際にスケッチした式に変換する。
この級数も条件収束し、零点についての和は再び虚部の増加順に取る必要があります: [ 4 ]
∑ ρ x ρ ρ = リム T → ∞ S （ x 、 T ） {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)} S （ x 、 T ） = ∑ ρ : | ℑ ρ | ≤ T x ρ ρ 。 {\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.} 和をS ( x , T )ln( x )より小さく、 x の自然対数で割ったときの絶対値は、 x ⁄ T をx から最も近い素数のべき乗までの距離で割った値より小さくなります。[ 5 ]
リーマン・ワイルの公式[ 7 ]は 、フォン・マンゴルト関数 以外の算術関数にも一般化できる。例えば、メビウス関数では次のようになる。
∑ n = 1 ∞ μ （ n ） n g （ ログ n ） = ∑ ρ h （ γ ） ζ ′ （ ρ ） + ∑ n = 1 ∞ 1 ζ ′ （ − 2 n ） ∫ − ∞ ∞ d x g （ x ） e − （ 2 n + 1 / 2 ） x 。 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.} また、リウヴィル関数については、
∑ n = 1 ∞ λ （ n ） n g （ ログ n ） = ∑ ρ h （ γ ） ζ （ 2 ρ ） ζ ′ （ ρ ） + 1 2 ζ （ 1 / 2 ） ∫ − ∞ ∞ d x g （ x ） 。 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).} オイラーのファイ関数の明示的な式は次のようになります。
∑ n = 1 ∞ φ （ n ） n g （ ログ n ） = 6 π 2 ∫ − ∞ ∞ d x g （ x ） e 3 x / 2 + ∑ ρ h （ γ ） ζ （ ρ − 1 ） ζ ′ （ ρ ） + ∑ n = 1 ∞ ζ （ − 2 n − 1 ） ζ ′ （ − 2 n ） ∫ − ∞ ∞ d x g （ x ） e − x （ 2 n + 1 / 2 ） 。 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.} リーマンゼータ関数が単純な零点のみを持つと仮定する。いずれの場合も、和はリーマン零点の虚数部と関連している。ρ = 1 2 + 私 γ {\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma } h はフーリエ変換によってテスト関数gと関連付けられる。 g （ u ） = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ h （ x ） exp （ − 私 u x ） {\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}
零次除数関数の場合∑ n = 1 ∞ σ 0 （ n ） f （ n ） = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = 1 ∞ f （ m n ） {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}
次の形式のテスト関数を使用するg （ x ） = f （ y e x ） e 1 x {\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}} a に対して、ポアソン総和公式はメリン変換を含む公式に変換される。ここでy は実数パラメータである。
一般化 リーマンゼータ関数は、ディリクレ指標χを持つディリクレL関数に置き換えることができます。 素数 のべき乗 に関する和にはχ ( pm )の因子が追加され、L級数には極がないため、項Φ(1)とΦ(0)は消えます。
より一般的には、リーマンゼータ関数とL級数は、代数体のデデキントゼータ関数または ヘッケL級数 に置き換えることができる。その場合、素数に関する和は素イデアルに関する和に置き換えられる。
アプリケーション リーマンが明示的な公式を最初に用いたのは、与えられた数より小さい素数の個数を正確に表す公式を与えるためでした。そのためには、F (log( y ))を0 ≤ y ≤ xのとき y 1/2 /log( y ) とし、それ以外の場合は 0 とします。すると、右辺の和の主項はx より小さい素数の個数になります。左辺の主項はΦ (1) であり、これは 素数定理 の主要項であることがわかります。主な補正項は、ゼータ関数の非自明な零点に関する和です。（この場合、関数F が 滑らかさの条件を満たさないという、若干の技術的な問題があります。）
↑ 元の素数計数関数は、以下から簡単に復元できます。 π （ x ） = π 0 （ x + 1 ） {\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~} x ≥ 3 。 {\displaystyle ~x\geq 3~.}
参考文献 ↑ ウィルキンス、デイビッド (1998) [1859 年 11 月]。「与えられた量より小さい素数の数について」(PDF) 。クレイ数学研究所 。 ↑ Li, Xian-Jin (2004年4月). 「ディリクレ関数とヘッケ関数の明示的な公式」 . Illinois Journal of Mathematics . 48 (2): 491– 503. doi : 10.1215/ijm/1258138394 . ISSN 0019-2082 . ↑ Weisstein, Eric W.MathWorld の明示的な公式。 ↑ インガム（1990）p.77 ↑ ψ0(x) の明示的な式について混乱しています ↑ 「リーマン・ワイルの明示的な公式」 。empslocal.ex.ac.uk 。 2023年6月14日 取得 。 ↑ 「リーマン・ワイルの明示的な公式」 。empslocal.ex.ac.uk 。 2023年6月14日 取得 。 インガム、AE （1990）[1932]、『素数の分布』 、ケンブリッジ数学・数理物理学叢書、第30巻、 RCヴォーン による序文付き再版（第2版）、ケンブリッジ大学出版局 、ISBN 978-0-521-39789-6 MR 1074573、Zbl 0715.11045 ラング、セルジュ （1994）、『代数的整数論 』、大学院数学テキスト、第 110巻（第2 版）、ニューヨーク、NY：シュプリンガー・フェルラーク 、ISBN 0-387-94225-4 、Zbl 0811.11001 リーマン、ベルンハルト (1859)、「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse」、Monatsberichte der Berliner Akademie Weil、André (1952)、「Sur les "formules Explicites" de la théorie des nombres premiers 」 [素数理論における「明示的な公式」について ] 、Comm.セム。数学。大学ルンド[メッド。ルンズ大学マット。 Sem.] (フランス語)、Tome Supplémentaire: 252–265 、MR 0053152、Zbl 0049.03205 ハンス・フォン・マンゴルト (1895)、「Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse"[ リーマンの論文「与えられた大きさ未満の素数の数」について] 、Journal für die reine und angewandte Mathematik 114 : 255–305 、ISSN 0075-4102、JFM 26.0215.03、MR 1580379 Meyer, Ralf (2005)、「 L 関数の素数と零点に関連するイデル類群の表現について」、Duke Math. J. 127 (3): 519–595 、arXiv : math/0311468 、doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4、ISSN 0012-7094、MR 2132868、S2CID 119176169、Zbl 1079.11044 ザギエ、ドン （1977）「最初の5000万個の素数」、The Mathematical Intelligencer 1 （S2）：7–19 、doi ：10.1007/bf03351556、S2CID 37866599 https://www.gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers/View/9990 Moreta, Jose Javier Garcia:「数論の特定の算術関数とその和の評価とリーマン・ワイル公式の一般化について」
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![{\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b36cc54b6f4b7c525440ec44ab649a21ad1d8c5)
![{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63365f59b70fa761b5462f3ebde0722efb3174a)
![{\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b75c23fbe5e2cf32274c6f5a61b72b1849a3900)
