代数体の判別式

数学において、代数体の判別式は、大まかに言えば、（その）代数体の整数環の大きさを測る数値不変量である。より具体的には、整数環の基本領域の体積の二乗に比例し、どの素数が分岐するかを決定する。

判別式は数体の最も基本的な不変量の1つであり、デデキントゼータ関数の関数方程式など、いくつかの重要な解析式に現れる。${\displaystyle K}$、そして解析的クラス番号の公式は${\displaystyle K}$エルミートの定理によれば、判別式が有界な数体は有限個しか存在しないが、この量を決定することは未解決問題であり、現在も研究の対象となっている。^{[ 1 ]}

判別式${\displaystyle K}$絶対判別式として言及できる${\displaystyle K}$拡張の相対判別子と区別するため${\displaystyle K/L}$数体の。後者は整数環のイデアルである。${\displaystyle L}$絶対判別式と同様に、どの素数が分岐しているかを示します。${\displaystyle K/L}$これは絶対判別式の一般化であり、${\displaystyle L}$より大きい${\displaystyle \mathbb {Q} }$;実際、${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$相対判別式${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$は、​${\displaystyle \mathbb {Z} }$絶対判別式によって生成される${\displaystyle K}$。

させて${\displaystyle K}$を代数体とし、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$をその整数環とする。${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$不可欠な基礎となる${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$（つまり、基礎として${\displaystyle \mathbb {Z} }$-モジュール）、そして${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$の埋め込みの集合とする${\displaystyle K}$複素数（すなわち単射環準同型）へ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$)判別式${\displaystyle K}$は、​​​${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle B}$だれの${\displaystyle (i,j)}$-エントリは${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$象徴的に言えば、

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

同様に、${\displaystyle K}$に${\displaystyle \mathbb {Q} }$使用できます。具体的には、トレース形式を、${\displaystyle (i,j)}$-エントリは${\displaystyle \operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$この行列は${\displaystyle B^{T}\!B}$判別式を定義すると${\displaystyle K}$この行列の行列式は、前述の定義と同じ結果を与える。

順序の判別式${\displaystyle K}$積分基底を持つ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$も同様に定義されます。

• 二次数体:${\displaystyle d}$平方因子を持たない整数であるとき、判別式は${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$[ ^{2 ]​}

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

二次数の判別式として現れる整数は、基本判別式と呼ばれる。^{[ 3 ]}

• 円分体場:${\displaystyle n>2}$を整数とする。${\displaystyle \zeta _{n}}$を原始的なn乗根とし、${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$になる${\displaystyle n}$第 1 番目の円分体。判別式は${\displaystyle K_{n}}$^{[ 2 ] [ 4 ]}で与えられる

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

どこ${\displaystyle \varphi (n)}$はオイラーのトーシェント関数であり、分母の積は素数に関するものです。${\displaystyle p}$分割${\displaystyle n}$。

• パワーベース: リングの場合${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$代数的整数のべき積分基底は、すなわち、次のように表すことができる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]}$判別式${\displaystyle K}$は、最小多項式の判別式に等しい。${\displaystyle \alpha }$これを確認するには、次の積分基底を選択すればよい。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$である

${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}}$。

次に、行列${\displaystyle B}$定義では、ヴァンデルモンド行列は、${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$の二乗行列式は

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$、

これはまさに最小多項式の判別式の定義である。

• させて${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$根を隣接させることによって得られる数体とする${\displaystyle \alpha }$多項式の${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}$これは、整数環が冪基底を持たない数体の、リヒャルト・デデキントによるオリジナルの例である。整数基底は次のように与えられる。

${\displaystyle \left\{1,\alpha ,{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}}\right\}}$

そして判別式は${\displaystyle K}$−503です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

• 重複判別式: 2次体の判別式はそれを一意に識別しますが、一般に、より高次の数体ではそうではありません。たとえば、判別式が3969である同型でない2つの3次体があります。これらは、多項式の根を隣接させることによって得られます。${\displaystyle x^{3}-21x+28}$または${\displaystyle x^{3}-21x-35}$それぞれ。^{[ 7 ]}

• ブリルの定理：^{[ 8 ]}判別式の符号は${\displaystyle (-1)^{r_{2}}}$どこ${\displaystyle r_{2}}$は、​${\displaystyle K}$[ ^{9 ]​}
• プライム${\displaystyle p}$枝分かれする${\displaystyle K}$かつその場合に限り${\displaystyle p}$分ける${\displaystyle \Delta _{K}}$[ ^{10 ] [ 11 ]​}
• スティッケルベルガーの定理：^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• ミンコフスキーの限界： ^{[ 13 ]}${\displaystyle n}$拡張の次数を表す${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$そして${\displaystyle r_{2}}$複雑な場所の数${\displaystyle K}$、 それから

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• ミンコフスキーの定理：^{[ 14 ]}もし${\displaystyle K}$ではない${\displaystyle \mathbb {Q} }$、 それから${\displaystyle |\Delta _{K}|>1}$（これはミンコフスキー限界から直接導かれる。）
• エルミート・ミンコフスキーの定理： ^{[ 15 ]}${\displaystyle N}$は正の整数である。代数的数体は（同型を除いて）有限個しか存在しない。${\displaystyle K}$と${\displaystyle |\Delta _{K}|<N}$これもまた、ミンコフスキーの束縛とエルミートの定理（判別式が規定された代数体は有限個しか存在しない）から導かれる。

一般代数体Kの判別式の定義は、1871 年にデデキントによって与えられた。^{[ 16 ]}この時点で、彼はすでに判別式と分岐の関係を知っていた。^{[ 17 ]}

エルミートの定理は判別式の一般的な定義よりも古く、シャルル・エルミートは1857年にその証明を発表しました。^{[ 18 ]} 1877年、アレクサンダー・フォン・ブリルは判別式の符号を決定しました。^{[ 19 ]}レオポルド・クロネッカーは1882年にミンコフスキーの定理を初めて述べましたが、^{[ 20 ]}最初の証明は1891年にヘルマン・ミンコフスキーによって与えられました。 ^{[ 21 ]}同年、ミンコフスキーは判別式の上限を発表しました。^{[ 22 ]} 19世紀末近く、ルートヴィヒ・スティッケルベルガーは判別式の剰余に関する定理を得ました。^{[ 23 ] [ 24 ]}

上で定義された判別式は、数体K / Lの拡張の相対判別式Δ _{K / L}と区別するために、Kの絶対判別式と呼ばれることがあります。相対判別式は絶対判別式と同様の方法で定義されますが、O L のイデアルが主イデアルではないこと、および O K の O L 基底が存在しない可能性があることを考慮する必要があります。_{ σ 1 _, ... , _σ n } を、_L上_で恒等となるKからCへの埋め込みの集合とします。b 1 _, ..., b _nがL上のKの任意の基底である場合、d ( b ₁ , ..., b _n ) を、 ( i , j ) 成分が σ _i ( b _j )であるn × n行列の行列式の二乗とします。すると、 K / Lの相対判別式は、{ b 1 , ..., b n } が K / L のすべての整数基底 (すなわち、すべての i に対して b i ∈ O K という性質を持つ基底)_上で変化_するときのd ( b 1 , _... , b n ) によって生成されるイデアルになります。あるいは_、 K / _Lの相対判別式は、_K / Lの差分のノルムです。[ ^{25 ] L} = Qの場合、相対判別式 Δ _{K / Q}は、絶対判別式 Δ _Kによって生成されるZの主イデアルです。体K / L / Fのタワーでは、相対判別式は次のように関連付けられています。   

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$は相対ノルムを表す。^{[ 26 ]}

n次数数体Kの根判別式は、次の式で定義される。

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.}$^{[ 27 ]}

複数のフィールドからなるタワーにおける相対判別式の関係は、分岐のない拡張において根判別式が変化しないことを示している。

• 埋め込まれると${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$O _Kの基本領域の体積は${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$（場合によっては別の測定方法が使用され、得られる体積は${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ここで、r _2はKの複素数である。
• この巻に登場するため、判別式はKのデデキント ゼータ関数の関数方程式にも現れ、したがって解析的クラス数公式やブラウアー・ジーゲル定理にも現れる。
• K / Lの相対判別式は、 K / Lのガロア群の正則表現のアルティン導手である。これにより、 K / Lのガロア群の指標のアルティン導手との関係が得られ、これを導手判別式と呼ぶ。^{[ 31 ]}

• ミルン、ジェームズ・S. (1998)、『代数的整数論』 、 2008年8月20日取得