ランダム行列

確率論と数理物理学において、ランダム行列は行列値ランダム変数、つまり、その要素の一部またはすべてが確率分布からランダムにサンプリングされた行列です。ランダム行列理論 (RMT)は、ランダム行列の特性 (多くの場合、大規模になった場合) を研究する分野です。RMT は、平均場理論、ダイアグラム法、キャビティ法、レプリカ法などの手法を使用して、トレース、スペクトル密度、固有ベクトル間のスカラー積などの量を計算します。重原子核のスペクトル、^{[1] [2]}格子の熱伝導率、量子カオスの出現、[ ^3]などの多くの物理現象は、大規模ランダム行列に関する問題として数学的にモデル化できます。

原子核物理学では、ユージン・ウィグナーが重原子核をモデル化するためにランダム行列を導入しました。 ^{[1] [2]}ウィグナーは、重原子核のスペクトル線の間隔はランダム行列の固有値間隔に似ており、基礎となる進化の対称性クラスのみに依存するはずだと仮定しました。^[4]固体物理学では、ランダム行列は平均場近似における大きな無秩序ハミルトニアンの挙動をモデル化します。

量子カオスにおいて、ボヒガス・ジャンノーニ・シュミット（BGS）予想は、古典的な対応物がカオス的な振る舞いを示す量子システムのスペクトル統計がランダム行列理論によって記述されると主張している。^[3]

量子光学では、ランダムユニタリ行列によって記述される変換は、量子計算が古典計算よりも優れていることを示すために重要です（例えば、ボソンサンプリングモデルを参照）。^{[5]さらに、このようなランダムユニタリ変換は、そのパラメータを光回路コンポーネント（}ビームスプリッターや位相シフター）にマッピングすることで、光回路に直接実装できます。^[6]

ランダム行列理論は、量子色力学におけるカイラルディラック演算子、^[7] 2次元の量子重力、 ^[8] メソスコピック物理学、^[9] スピントランスファートルク、^[10]分数量子ホール効果、^[11] アンダーソン局在、^[12] 量子ドット、^[13]超伝導体^[14]にも応用されています。

多変量統計学では、ランダム行列はジョン・ウィシャートによって導入され、彼は大規模な標本の共分散行列を推定しようとしました。 ^[15] チェルノフ型、バーンスタイン型、およびヘフディング型の不等式は、ランダムエルミート行列の有限和の最大固有値（つまり、最大の大きさの固有値）に適用すると、通常強化されます。^{[16]ランダム行列理論は、}高次元統計学で特に興味深い、標本共分散行列などのランダム行列のスペクトル特性を研究するために使用されます。ランダム行列理論は、ニューロンネットワーク^[17]やディープラーニングにも応用されており、最近の研究では、ランダム行列を使用して、ハイパーパラメータの調整を大規模なニューラルネットワーク間で再トレーニングなしで安価に転送できることが示されています。^[18]

数値解析では、ジョン・フォン・ノイマンとハーマン・ゴールドスタインの研究^{[19]以来、}行列乗算などの演算における計算エラーを説明するためにランダム行列が使用されてきました。ランダムエントリはアルゴリズムへの伝統的な「一般的な」入力ですが、ランダム行列分布に関連する測定の集中は、ランダム行列がアルゴリズムの入力空間の大部分をテストしないことを意味します。^[20]

数論では、リーマンゼータ関数（および他のL関数）の零点の分布は、特定のランダム行列の固有値の分布によってモデル化されます。^{[21]この関連性は、}ヒュー・モンゴメリーとフリーマン・ダイソンによって初めて発見されました。これはヒルベルト・ポリア予想と関連しています。

自由確率とランダム行列の関係^[22]は、自由確率が他の分野で広く使用されている主な理由です。Voiculescu は 1983 年頃に作用素代数の文脈で自由性の概念を導入しました。当初はランダム行列とはまったく関係がありませんでした。この関係は 1991 年になって Voiculescu によって初めて明らかにされました。^[23]彼は、自由中心極限定理で見つけた極限分布が、ランダム行列の文脈でウィグナーの半円法則に以前登場していたという事実に動機づけられました。

計算神経科学の分野では、ランダム行列は脳内のニューロン間のシナプス接続のネットワークをモデル化するためにますます使用されています。ランダム接続行列を持つニューロンネットワークの動的モデルは、シナプス重みの分散が臨界値を超えると、無限システムサイズの限界でカオスへの相転移を示すことが示されました^[24]。ランダム行列の結果は、ランダム行列モデルのダイナミクスが平均接続強度に鈍感であることも示しています。代わりに、変動の安定性は接続強度の変化に依存し^{[25] [26]}、同期までの時間はネットワークトポロジに依存します。^{[27] [28]}

fMRIなどの大規模データの解析では、次元削減を行うためにランダム行列理論が適用されている。PCAなどのアルゴリズムを適用する場合、重要な成分の数を選択できることが重要になる。成分を選択する基準は複数ある可能性がある（説明分散、カイザー法、固有値などに基づく）。この内容のランダム行列理論には、マルチェンコ・パストゥール分布がその代表であり、ランダム変数共分散行列に関連付けられた固有値の理論的な上限と下限を保証する。このようにして計算されたこの行列は帰無仮説となり、理論的なランダム範囲から外れた固有値（およびその固有ベクトル）を見つけることができる。このようにして除外された成分は、縮小された次元空間となる（fMRI ^{[29] [30]}の例を参照）。

最適制御理論では、 n 個の状態変数の時間の経過に伴う変化は、いつでもそれらの状態変数自体の値とk 個の制御変数の値に依存します。線形変化では、係数行列が状態方程式 (変化の方程式) に現れます。問題によっては、これらの行列のパラメータの値が確実にはわからない場合があります。その場合、状態方程式にはランダム行列が存在し、その問題は確率制御の問題として知られています。 [ ^{31] : ch. 13  [32]確率行列を使用した}線形二次制御の場合の重要な結果は、確実性等価原理が適用されないことです。乗数不確実性がない場合(つまり、加法的な不確実性のみがある場合)、二次損失関数を使用した最適ポリシーは、不確実性を無視した場合に決定されるものと一致しますが、状態方程式にランダム係数が含まれている場合は、最適ポリシーが異なる可能性があります。

計算力学では、モデル化されたシステムの物理に関する知識の欠如の根底にある認識論的不確実性により、計算モデルに関連付けられた数学演算子が生じますが、この演算子はある意味では欠陥があります。このような演算子には、モデル化されていない物理に関連する特定の特性がありません。このような演算子を離散化して計算シミュレーションを実行すると、欠落している物理によって精度が制限されます。数学演算子のこの欠陥を補うには、モデルパラメータをランダムにするだけでは不十分で、ランダムな数学演算子を検討して、計算モデルのファミリーを生成し、そのいずれかが欠落している物理を捉えられるようにする必要があります。ランダム行列はこの意味で使用されており、^[33]振動音響学、波動伝播、材料科学、流体力学、熱伝達などに応用されています。

ランダム行列理論は、大規模多入力多出力 ( MIMO ) 無線システムの研究、モデル化、開発を行う電気工学および通信工学の研究活動に適用できます。^{[引用が必要]}

ランダム行列理論は、原子核物理学の文脈で数学文献を超えて最初に注目を集めた。エンリコ・フェルミらによる実験により、個々の核子が独立して動くとは近似できないという証拠が示され、ニールス・ボーアは複合核の概念を定式化した。核子間の直接的な相互作用についての知識がなかったため、ユージン・ウィグナーとレナード・アイゼンバッドは、核ハミルトニアンをランダム行列としてモデル化できると近似した。より大きな原子の場合、ハミルトニアンのエネルギー固有値の分布を計算し、ウィシャート分布を呼び出すことで散乱断面積を近似することができる。^[34]

最も一般的に研究されているランダム行列分布は、ガウス集団、GOE、GUE、および GSE です。これらは、ダイソン指数で示されることが多く、 GOE の場合はβ  = 1、 GUE の場合はβ  = 2、 GSE の場合はβ  = 4 です。この指数は、行列要素あたりの実数成分の数をカウントします。

ガウスユニタリー アンサンブルは、 エルミート行列 の空間上の密度を持つ ガウス測度によって記述されます。ここでは 、密度の積分が 1 に等しくなるように選択された正規化定数です。ユニタリーという用語は、分布がユニタリー共役に対して不変であるという事実を指します。ガウス ユニタリー アンサンブルは、時間反転対称性のないハミルトニアンをモデル化します。 ${\displaystyle {\text{GUE}}(n)}$$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}} }$$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$$${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$$

ガウス直交集団は、 n  ×  nの実対称行列H  = ( H _ij ) の空間上の密度を持つガウス測度によって記述される。 ${\displaystyle {\text{GOE}}(n)}$$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}} }$$^ｎ
_{i、ｊ =１}分布は直交共役の下で不変であり、時間反転対称性を持つハミルトニアンをモデル化します。同様に、 によって生成されます。ここで、 は標準正規分布からの IID サンプルを含む行列 です。${\displaystyle H=(G+G^{T})/{\sqrt {2n}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n\times n}$

ガウスシンプレクティックアンサンブルは、 n  ×  nエルミート四元数行列、例えば四元数で構成された対称正方行列 の空間上の密度を持つガウス測度によって記述され 、H = ( H _ij )${\displaystyle {\text{GSE}}(n)}$$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}}$$^ｎ
_{i、ｊ =１}その分布はシンプレクティック群による共役の下で不変であり、時間反転対称性を持つが回転対称性を持たないハミルトニアンをモデル化します。

ここで定義されるアンサンブルは、平均⟨H ij ⟩ = 0のガウス分布行列要素と、で与えられる2点相関を持ち、_そこから すべての高次の相関はイッサーリスの定理に従います。 $${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},}$$

GOE のモーメント生成関数は、フロベニウスノルムです。 $${\displaystyle E[e^{tr(VH)}]=e^{{\frac {1}{4N}}\|V+V^{T}\|_{F}^{2}}}$$${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

GUE/GOE/GSEの固有値λ ₁、λ ₂、...、λ _nの結合確率密度は次のように与えられる。

ここで、Z _{β , n}は明示的に計算できる正規化定数です。セルバーグ積分を参照してください。GUE ( β = 2)の場合 、式 (1) は行列式点過程を表します。結合確率密度は一致する固有値に対してゼロ (番目の次数) を持つため、固有値は反発します。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$

GOEとGUEの最大固有値の分布は明示的に解くことができます。^{[35]それらは、適切にシフトおよびスケーリングすると、} Tracy-Widom分布に収束します。

スペクトルを で割ると、区間 : 上の半円分布に収束します。ここでは、対角外の要素の分散です。対角上の要素の分散は重要ではありません。 ${\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle [-2,+2]}$${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

固有値の順序付けられたシーケンスから、正規化された間隔を定義します。ここで、 は平均間隔です。間隔の確率分布は、 直交アンサンブル GOE の場合は、 ユニタリーアンサンブル GUE の場合は、 シンプレクティックアンサンブル GSE の場合はで近似的に与えられます。 ${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$$${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}}$$${\displaystyle \beta =1}$$${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}}$$${\displaystyle \beta =2}$$${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$$${\displaystyle \beta =4}$

数値定数は、が正規化されるよう なものであり 、 の平均間隔は に対して となる。 ${\displaystyle p_{\beta }(s)}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$$${\displaystyle \beta =1,2,4}$

ウィグナー行列は 、主対角線より上の 要素が 平均ゼロの独立したランダム変数であり、同一の 2 番目のモーメントを持つランダム エルミート行列です。${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$$${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$$

不変行列アンサンブルは、関数Vがポテンシャルと呼ばれる 形式の、実対称/エルミート/四元数エルミート行列の空間上に密度を持つランダムエルミート行列です。${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-nV(\mathrm {tr} (H))}~,}$

ガウス分布は、これら2つのランダム行列のクラスにおける唯一の共通の特殊ケースである。これは、ポーターとローゼンツヴァイクの定理の結果である。^{[36] [37]}

ランダム行列のスペクトル理論は、行列のサイズが無限大に近づくにつれて固有値の分布を研究する。^[38]

Hの経験的スペクトル測度 μ H_は次のように定義される。$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$

通常、 の極限は決定論的測度であり、これは自己平均化の特別なケースです。極限測度の累積分布関数は積分状態密度と呼ばれ、 N ( λ )と表記されます。積分状態密度が微分可能な場合、その導関数は状態密度と呼ばれ、 ρ ( λ )と表記されます 。 ${\displaystyle \mu _{H}}$

$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}}$$

行列のアンサンブルが与えられたとき、そのスペクトル測度が に弱収束するとは、任意の測定可能なセットに対してアンサンブル平均が収束する場合に限ります。 弱収束はほぼ確実です。アンサンブルから独立してサンプリングすると、確率 1 で、任意の測定可能なセット に対して収束します。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$${\displaystyle A}$

別の意味では、弱いほぼ確実な収束とは、任意の測定可能な集合に対して、独立してではなく「増加」 (確率過程) によって、確率 1 で をサンプリングすることを意味します。 ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$${\displaystyle A}$

たとえば、次のようにしてガウス集団から行列のシーケンスを「成長」させることができます。

• 標準ランダム変数の無限二重無限シーケンスをサンプリングします。${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$
• それぞれを定義します。ここで、はエントリで構成される行列です。${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$

一般的な行列アンサンブルでは成長できませんが、3 つのガウス アンサンブルなどの一般的な行列アンサンブルのほとんどでは成長できることに注意してください。

グローバル領域では、形式の線形統計の分布に興味があります。 ${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$

ウィグナー行列の経験的スペクトル測度の限界はユージン・ウィグナーによって記述された。ウィグナーの半円分布とウィグナーの推測を参照のこと。標本共分散行列に関しては、マルチェンコとパストゥールによって理論が開発された。^{[39] [40]}

不変行列集団の経験的スペクトル測度の限界は、ポテンシャル理論から生じる特定の積分方程式によって記述される。^[41]

線型統計N _{f , H} = n ⁻¹ Σ f ( λ _j )については、∫ f ( λ )  dN ( λ )の周りの変動にも興味があります 。多くのランダム行列のクラスに対して、次の形式の中心極限定理 が知られています。^{[42] [43]}$${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)}$$

対策を検討する

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),}$

ここで、はアンサンブルのポテンシャルであり、は経験的スペクトル測度です。 ${\displaystyle Q(M)}$${\displaystyle \nu }$

を次のよう に書き直すことができる。${\displaystyle H_{N}(\lambda )}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],}$

確率の尺度は次のようになる。

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,}$

ここで、角括弧内の上記の関数は、 ${\displaystyle I_{Q}(\nu )}$

今、

${\displaystyle M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}}$

を1次元確率測度の空間とし、最小化因子を考える

${\displaystyle E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).}$

なぜなら、ある実定数に対してオイラー・ラグランジュ変分条件を通して唯一の均衡測度が存在するからである。${\displaystyle E_{Q}}$${\displaystyle \nu _{Q}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J}$

測定のサポートは どこにあり、定義されるか${\displaystyle J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]}$

${\displaystyle q(x)=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)}$。

平衡測度は、ラドン・ニコディム密度で次のように表される。 ${\displaystyle \nu _{Q}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.}$^[44]

^{[45] [46]}ウィグナーの半円法則の典型的な記述は、次の記述と同等です。点を中心とする各固定区間に対して、ガウス集団の次元数が増加するにつれて、区間内に含まれる固有値の割合は に収束します。ここで、 は半円分布の密度です。 ${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$${\displaystyle \rho (t)}$

が増加するにつれて減少することが許される場合、「局所法則」または「メソスコピック領域」と呼ばれる厳密に強力な定理が得られます。 ${\displaystyle \Delta \lambda }$${\displaystyle N}$

メソスコピック領域は、局所領域と大域領域の中間です。メソスコピック領域では、内部の固有値の数が となるように、ゼロに縮小するが十分に遅い集合内の固有値の極限分布に関心があります。 ${\displaystyle \to \infty }$

例えば、ジニブレ集団にはメソスコピック法則がある。単位円板の内側に面積を持つ縮小円板の任意のシーケンスについて、円板の面積が であれば、円板内部のスペクトルの条件付き分布も一様分布に収束する。つまり、縮小円板を円板内部のスペクトルに沿って切断し、円板を単位面積まで拡大すると、スペクトルが円板内で平坦な分布に収束するのがわかる。^[46]${\displaystyle u}$${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$

局所領域では、固有値の数が のままになるほど急速に縮小する集合内の固有値の極限分布に興味があります。 ${\displaystyle O(1)}$

通常、これは固有値間の間隔の研究を意味し、より一般的には、長さが 1/ nの区間における固有値の結合分布の研究を意味します。限界スペクトル測度のサポート内の区間に関連するバルク統計と、サポートの境界付近の区間に関連する エッジ統計を区別します。

正式には、のサポートの内部を固定します。次に、ランダム行列の固有値が 点過程 であると考えます。${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle N(\lambda )}$ $${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,}$$${\displaystyle \lambda _{j}}$

点過程は、の近傍における固有値の統計的性質を捉える。ガウス集団の場合、 の極限は既知である。^[4]したがって、GUEの場合、 はカーネル （正弦カーネル）を持つ行列式点過程である。 ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$$${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}}$$

普遍性原理は、としての の極限はランダム行列の対称性類のみに依存し（ランダム行列の特定のモデルや には依存しない）、というものである。普遍性の厳密な証明は、不変行列集団^{[47] [48]}およびウィグナー行列^{[49] [50]について知られている。}${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{0}}$

エッジ統計の一例は、Tracy-Widom分布です。

別の例として、Ginibre アンサンブルを考えてみましょう。これは実数または複素数です。実数 Ginibre アンサンブルには iid 標準ガウス エントリがあり、複素数 Ginibre アンサンブルには iid 標準複素ガウス エントリがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$

ここで、実数または複素数の集団からサンプリングし、その最大固有値の絶対値をとします。エッジ統計については次の定理が成り立ちます。^[51]${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle \rho (G_{n})}$$${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

この定理は、ジニブレ集団の円周法則を改良したものです。言葉で言えば、円周法則は、 のスペクトルがほぼ確実に単位円板上に均一に落ちることを述べています。また、エッジ統計定理は、ほぼ単位円板の半径は約 であり、ガンベル法則に従って のスケールで変動することを述べています。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

形式の分割関数を持つ ランダムエルミート行列の固有値の結合確率密度は、で与えられます。 ここで 、 およびはエルミート行列の空間上の標準ルベーグ測度です。 点相関関数 (または周辺分布) は 、変数の歪対称関数として定義されます 。特に、1 点相関関数、つまり状態密度 は、 です。 これをボレル集合上で積分すると、に含まれる固有値の期待数が与えられます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$$${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$$${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$$${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

次の結果は、これらの相関関数を、相関器内に現れる点の ペアで適切な積分カーネルを評価することによって形成された行列の行列式として表します。${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$

定理[ダイソン-メータ] 任意の に対して 、点相関関数はの行列式として表すことができる。 ここで は に関連付けられた 番目のクリストッフェル-ダルブー核 であり、準多項式 によって表される 。 ここで は、指定された次数の単項多項式の完全な列であり、直交条件を満たす。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

ウィシャート行列は、形式H = X X ^*のn  ×  nランダム行列です。ここで、X は独立した要素を持つn  ×  mランダム行列 ( m  ≥  n ) であり、X ^{* は}その共役転置です。ウィシャートが検討した重要な特殊なケースでは、 Xの要素は同一に分布するガウスランダム変数 (実数または複素数) です。

ウィシャート行列の経験的スペクトル測度の限界はウラジミール・マルチェンコとレオニード・パストゥールによって発見された^[39]。

• Mehta, ML (2004).ランダムマトリックス. アムステルダム: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7。
• Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010).ランダム行列入門. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19452-5。
• Akemann, G.; Baik, J.; Di Francesco, P. (2011).オックスフォードランダム行列理論ハンドブック。オックスフォード: オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-957400-1。
• ポッターズ、マーク; ブショー、ジャン=フィリップ (2020-11-30)。ランダム行列理論入門:物理学者、エンジニア、データ科学者向け。ケンブリッジ大学出版局。doi : 10.1017 / 9781108768900。ISBN 978-1-108-76890-0。

• Edelman, A.; Rao, NR (2005). 「ランダム行列理論」. Acta Numerica . 14 : 233–297. Bibcode :2005AcNum..14..233E. doi :10.1017/S0962492904000236. S2CID  16038147.
• Pastur, LA (1973). 「ランダム自己随伴演算子のスペクトル」. Russ. Math. Surv . 28 (1): 1–67. Bibcode :1973RuMaS..28....1P. doi :10.1070/RM1973v028n01ABEH001396. S2CID  250796916.
• Diaconis, Persi (2003). 「固有値のパターン: 第 70 回 Josiah Willard Gibbs 講演」.アメリカ数学会報. 新シリーズ. 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/S0273-0979-03-00975-3 . MR  1962294.
• Diaconis, Persi (2005) 。「ランダム行列とは何か?」アメリカ数学会報52 ( 11): 1348–1349。ISSN 0002-9920。MR  2183871  。
• バートランド・エイナード;木村太郎；リボー、シルヴァン (2015-10-15)。 「ランダム行列」。arXiv : 1510.04430v2 [数学-ph]。

• Wigner, E. (1955). 「無限次元の境界付き行列の特性ベクトル」Annals of Mathematics . 62 (3): 548–564. doi :10.2307/1970079. JSTOR  1970079.
• Wishart, J. (1928). 「サンプルにおける一般化積率分布」Biometrika . 20A (1–2): 32–52. doi :10.1093/biomet/20a.1-2.32.
• von Neumann, J.; Goldstine, HH (1947). 「高次行列の数値逆行列計算」Bull. Amer. Math. Soc . 53 (11): 1021–1099. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08909-6 .

• Fyodorov, Y. (2011). 「ランダム行列理論」. Scholarpedia . 6 (3): 9886. Bibcode :2011SchpJ...6.9886F. doi : 10.4249/scholarpedia.9886 .
• ワイスタイン、EW「ランダムマトリックス」。 Wolfram MathWorld。