リーマン Xi 関数

数学において、リーマン Κ 関数はリーマン ゼータ関数の変形であり、特に単純な関数方程式を持つように定義され、ベルンハルト リーマンにちなんで名付けられました。

リーマンの元々の小文字の「xi」関数は、エドモンド・ランダウによって大文字（ギリシャ文字の「Xi」）に改名されました。ランダウの小文字（「xi」）は次のように定義されます^[1]${\displaystyle \xi}$${\displaystyle ~\Xi ~}$${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

に対して。ここで はリーマンゼータ関数を表し、 はガンマ関数を表します。 ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \Gamma (s)}$

ランダウの関数方程式（または反射式）は ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

リーマンの元の関数は、ランダウによって大文字に改名され[ ^1]、${\displaystyle ~\Xi ~}$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$、

そして関数方程式に従う

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

どちらの関数も、実引数に対して 完全かつ純粋に実数です。

正の偶数整数の一般的な形式は

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n} (2n-1)}$

ここで、B _{n は}n番目のベルヌーイ数を表します。例:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

この関数は級数展開を持つ ${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

ここで、和は ρ にわたって、ゼータ関数の非自明な零点に順に拡張されます。 ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$

この展開は、リーマン予想がすべての正のnに対して λ _n > 0となることと同等であると述べるLi の基準において特に重要な役割を果たします。

単純な無限積展開は

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

ここでρはξの根の範囲にあります。

展開の収束を確実にするために、積は「一致するゼロのペア」にわたって取られるべきです。つまり、ρ と 1−ρ の形式のゼロのペアの因子はグループ化されるべきです。

• Weisstein、Eric W.「Xi 関数」。MathWorld。
• Keiper, JB (1992). 「リーマンの xi 関数のべき級数展開」.計算数学. 58 (198): 765–773. Bibcode :1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

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