素数計数関数

数学において、素数計数関数は、ある実数x以下の素数の個数を数える関数である。^{[ 1 ] [ 2 ]}これはπ ( x )で表される（数値πとは無関係）。

対称的な変形として、 π ₀ ( x )という式が時折見られます。これは、 xがちょうど素数の場合はπ ( x ) − 1 ⁄ 2に等しく、それ以外の場合はπ ( x )に等しくなります。つまり、 xより小さい素数の個数に、x が素数の場合はその半分を加えた数です。

数論において非常に興味深いのは、素数計数関数の増加率である。 ^{[ 3 ] [ 4 ]} 18世紀末にガウスとルジャンドルによって、その増加率はおよそ $$\displaystyle {\frac {x}{\log x}}}$$ ここでlogは自然対数であり、 $$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\pi(x)}{x/\log x}}=1.}$$ この記述は素数定理です。同等の記述は $$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}}=1}$$ ここでliは対数積分関数である。素数定理は、 1859 年にリーマンが導入したリーマン ゼータ関数の性質を用いて、 1896 年にジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレ・プッサンによってそれぞれ独立に初めて証明された。ゼータ関数や複素解析を用いない素数定理の証明は、 1948 年頃にアトレ・セルバーグとポール・エルデシュによって（ほぼ独立に）発見された。 ^{[ 5 ]}

正確な形式

x > 1 の場合、 x が素数であるときはπ ₀ ( x ) = π ( x ) − ⁠ 1 / 2 ⁠ 、それ以外の場合はπ ₀ ( x ) = π ( x )とする。ベルンハルト・リーマンは、著書『与えられた大きさより小さい素数の数について』の中で、π ₀ ( x )が^{[ 9 ]}に等しいことを証明した。

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$ どこ $${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$μ ( n )はメビウス関数、 li( x )は対数積分関数、 ρはリーマンゼータ関数のすべての零点のインデックスであり、 li( x ^{⁠ ρ / n ⁠} )は分岐カットで評価されず代わりにEi( ⁠ ρ / n ⁠ log x )として考えられ、 Ei( x )は指数積分ですリーマンゼータ関数の非自明な零点ρのみについて和を取ると、 π ₀ ( x )は^{[ 10 ]}で近似できます。$$\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log x}}.}$$

リーマン予想によれば、そのような非自明な零点はすべてRe ( s ) = 1 / 2に沿って存在する。

この表は、3つの関数π ( x )、x / log x、およびli( x )が10のべき乗でどのように比較されたかを示しています。また、[ ^{3 ] [ 11 ]および}[ ^{12 ]も参照してください。}

オンライン整数列百科事典では、π ( x )列は数列OEIS : A006880 、π ( x ) −x / logxは数列OEIS : A057835、li( x )−π ( x )は数列OEIS : A057752です。  

π (10 ²⁴ )の値は、もともと J. Buethe、J. Franke、A. Jost、T. Kleinjungによって、リーマン予想を仮定して計算されました。^{[ 13 ]} その後、DJ Platt による計算で無条件に検証されました。^{[ 14 ]} π (10 ²⁵ ) の値は、同じ 4 人の著者によるものです。^{[ 15 ]} π (10 ²⁶ ) の値は、DB Staple によって計算されました。^{[ 16 ]}この表の他のすべての以前のエントリも、その作業の一部として検証されました。

^{10 27、10} 28、10 ^29の値は、それぞれDavid Baugh と Kim Walisch によって 2015 年^{[ 17 ]} 、 2020 年^{[ 18 ]}、2022 年^{[ 19 ]}に発表されました。

xがあまり大きくない場合、π ( x )を求める簡単な方法は、エラトステネスの篩を使ってx以下の素数を生成し、それらを数えることです。

π ( x )を求めるより精緻な方法はルジャンドルによるものです（包除原理を使用）：xが与えられたとき、p1 , p2 _, ..., pn_が互いに異なる素数である場合、x以下の整数でどのpiでも割り切れないものの個数は次_のようになります_。

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

（ここで、⌊ x ⌋は床関数を表します）。したがって、この数値は

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

p ₁、p ₂、…、p _nがxの平方根以下の素数である場合。

他の素数計数関数も、扱いやすさの点で利用される。

Formulas for prime-counting functions come in two kinds: arithmetic formulas and analytic formulas. Analytic formulas for prime-counting were the first used to prove the prime number theorem. They stem from the work of Riemann and von Mangoldt, and are generally known as explicit formulae.^[23]

We have the following expression for the second Chebyshev functionψ:

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

where

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Here ρ are the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip, where the real part of ρ is between zero and one. The formula is valid for values of x greater than one, which is the region of interest. The sum over the roots is conditionally convergent, and should be taken in order of increasing absolute value of the imaginary part. Note that the same sum over the trivial roots gives the last subtrahend in the formula.

For Π₀(x) we have a more complicated formula

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

ここでも、この式はx > 1に対して有効であり、ρはゼータ関数の非自明な零点を絶対値順に並べたものです。第 1 項li( x )は通常の対数積分関数です。第 2 項の式li( x ^ρ )はEi( ρ log x )とみなすべきです。ここで、Eiは指数積分関数を負の実数から複素平面へ解析接続したもので、分岐は正の実数に沿って切断されます。最後の積分は自明な零点の級数に等しくなります。

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

したがって、メビウス反転公式は^{[ 10 ]}を与える。

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

x > 1 の場合に有効、

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

はリーマンの R 関数^{[ 24 ]}であり、μ ( n )はメビウス関数です。後者の級数はグラム級数として知られています。^{[ 25 ] [ 26 ]}すべてのx > 0に対してlog x < xであるため、この級数はe ^xの級数と比較すると、すべての正のxに対して収束します。非自明なゼロ寄与の和のグラム級数の対数は、log x ^ρではなくρ log xとして評価する必要があります。

フォルクマー・ボルネマンは、^{[ 27 ]}リーマンゼータ関数のすべての零点が単純であるという予想を仮定すると、 ^{[注1 ]}が証明される。

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

ここでρはリーマンゼータ関数の非自明な零点を走り、t > 0である。

π ₀ ( x )の式における非自明なゼータ零点に関する和はπ ₀ ( x )の変動を表し、残りの項は素数計数関数の「滑らかな」部分を表すので、^{[ 28 ]}を使用できる。

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

x > 1の場合、 π ( x )の良い推定値として機能します。実際、第 2 項はx → ∞のとき 0 に近づき、「ノイズ」部分の振幅は経験的に √x / log x 程度であるため、R ( x )だけで π(x) を推定しても十分であり、素数の分布の変動は関数で明確に表現できます。

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

ラマヌジャン^{[ 29 ]}は不等式を証明した

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

これは、十分に大きなxの値すべてに対して成り立つ。

π ( x )に関するいくつかの有用な不等式を以下に示します。

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}\quad {\text{for }}x\geq 17.}$

左側の不等式はx ≥ 17の場合に成り立ち、右側の不等式はx > 1の場合に成り立ちます。定数1.25506は、 π ( x ) log x / xがx = p ₃₀ = 113で最大値をとるため、小数点以下 5 桁まで30 log 113 / 113です。^{[ 30 ]}

ピエール・デュサールは2010年に証明した：^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 5393{\text{ and }}x\geq 60184,{\text{ respectively.}}}$

さらに最近では、デュサールは^{[ 32 ]} （定理5.1）を証明した。

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right)\leq \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

それぞれ、 x ≥ 88789および x > 1の場合です。

反対方向に考えると、n番目の素数p _nの近似値は次のようになる。

${\displaystyle p_{n}=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}+O\left({\frac {(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right)\right).}$

n番目の素数に関する不等式をいくつか示します。下限は Dusart (1999) ^{[ 33 ]}によるもので、上限は Rosser (1941) ^{[ 34 ]によるものです。}

${\displaystyle n(\log n+\log \log n-1)<p_{n}<n(\log n+\log \log n)\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

左側の不等式はn ≥ 2の場合に成り立ち、右側の不等式はn ≥ 6の場合に成り立つ。 時々見られる変形形式では、${\displaystyle \log n+\log \log n=\log(n\log n).}$ さらに単純な下限は^{[ 35 ]である。}

${\displaystyle n\log n<p_{n},}$

これはすべてのn ≥ 1に対して成り立つが、上記の下限はn > e ^e ≈ 15.154の場合により厳格である。

2010年にデュサールは^{[ 31 ]}（命題6.7および6.6）を証明した。

${\displaystyle n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right)\leq p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

それぞれn ≥ 3およびn ≥ 688383の場合。

2024年に、Axler ^{[ 36 ] は}、次の形式の境界を使用してこれをさらに厳密にしました (式 1.12 および 1.13)。

${\displaystyle f(n,g(w))=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {g(\log \log n)}{2\log ^{2}n}}\right)}$

証明する

${\displaystyle f(n,w^{2}-6w+11.321)\leq p_{n}\leq f(n,w^{2}-6w)}$

それぞれn ≥ 2およびn ≥ 3468の場合です。下限は、その妥当性を変えることなくf ( n , w ² )に単純化することもできます。上限は、n ≥ 46254381の場合、f ( n , w ² − 6 w + 10.667)に厳しくすることができます。

複雑さが異なる追加の境界が存在する。^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

リーマン予想は、 π ( x )の推定値の誤差の上限がはるかに小さいことを示唆しており、したがって素数の分布がより規則的であることを示唆している。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

具体的には、^{[ 40 ]}

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

Dudek (2015) は、リーマン予想は、すべてのx ≥ 2に対して、以下の条件を満たす素数pが存在することを意味することを証明した。

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

• ベルトランの仮説
• オッパーマンの予想
• ラマヌジャンプライム

• クリス・コールドウェル、「The Nth Prime Page」 、The Prime Pages内。
• トマス・オリベイラ・エ・シルバ、「素数計数関数の表」。
• Dudek, Adrian W. (2015)、「リーマン予想と素数の差について」、International Journal of Number Theory、11 (3): 771–778、arXiv : 1402.6417、Bibcode : 2014arXiv1402.6417D、doi : 10.1142/S1793042115500426、ISSN 1793-0421、S2CID 119321107