分数計算

分数計算は、微分演算子の実数累乗または複素数累乗を定義するさまざまな可能性を研究する数学的分析の分野です。 ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$

積分演算子^[注1 ]${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$$

そして、古典的な演算子を一般化したそのような演算子の 計算法を開発します。

この文脈では、べき乗という用語は、関数への線形演算子 の反復適用、つまり、次のように繰り返し自身と 合成することを指します。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}}$$

例えば、次のような意味のある解釈を求める人もいるだろう。 $${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}$$

微分演算子の関数平方根の類似物として、つまり、任意の関数に2回適用すると微分と同じ効果を持つ線形演算子の式として。より一般的には、線形演算子の定義の問題を検討することができる。 $${\displaystyle D^{a}}$$

任意の実数 に対して、 が整数値 を取る場合、の場合は通常の- 倍微分と一致し、の場合はの-乗と一致します。${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J}$${\displaystyle n<0}$

微分演算子のこのような拡張の導入と研究の背後にある動機の 1 つは、このように定義される演算子冪の集合がパラメータ を持つ連続半群であり、その整数に対するの元の離散半群が可算な部分群であるということです。連続半群にはよく発達した数学理論があるため、数学の他の分野にも応用できます。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle n}$

分数微分方程式は異常微分方程式とも呼ばれ、^[1]分数微分積分を応用した微分方程式の一般化です。

応用数学と数学的解析において、分数微分は任意の次数の実数または複素数の微分である。分数微分が初めて登場するのは、1695年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツがギヨーム・ド・ロピタルに宛てた手紙である。 ^[2]  同じ頃、ライプニッツはベルヌーイ兄弟の一人に、2つの関数の積の分数微分に関する二項定理とライプニッツの規則の類似性について書いた。^[要出典]

分数微分積分は、ニールス・ヘンリク・アーベルの初期の論文^[3]で紹介されました。そこには、分数階の積分と微分の概念、それらの相互に逆の関係、分数階の微分と積分は同じ一般化された演算とみなせるという理解、任意の実数階の微分と積分の統一表記など、すべての要素が含まれています。^[4]それとは 別に、この分野の基礎は、1832 年の論文でリウヴィルによって築かれました。 ^{[5] [6] [7]} オリバー・ヘヴィサイドは、 1890 年頃に電気伝送線路解析における分数微分演算子の実用化を導入しました。 ^[8]分数微分積分の理論と応用は 19 世紀から 20 世紀にかけて大きく発展し、多くの貢献者が分数微分と積分にさまざまな定義を与えてきました。^[9]

f ( x ) をx > 0に対して定義された関数とします。0からxまでの定積分を作成します。これを $${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$$

このプロセスを繰り返すと $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}}$$

これは任意に拡張できます。

繰り返し積分に対するコーシーの公式、すなわち 実数n に対する一般化は、ガンマ関数を使用して階乗関数の離散的性質を除去することで、分数積分演算子の適用の自然な候補が得られる。 $${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$$${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

これは実際には明確に定義された演算子です。

J演算子が以下を満たす ことは簡単に示せる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

この関係は、分数差分積分演算子の半群特性と呼ばれます。

分数微積分の古典的な形式は、リーマン・リウヴィル積分で与えられ、これは本質的には上で説明したものです。周期関数の分数積分の理論（したがって、周期ごとに繰り返す「境界条件」を含む）は、ワイル積分で与えられます。これはフーリエ級数上で定義され、定数フーリエ係数がゼロになることを要求します（したがって、積分がゼロになる単位円上の関数に適用されます）。リーマン・リウヴィル積分には、上側と下側の 2 つの形式があります。区間[ a , b ]を考慮すると、積分は次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

前者はt > aのときに有効であり、後者はt < bのときに有効である。^[10]

^[11]では、正の実軸上の積分（すなわち）は、発見と使用の歴史に基づいて、より適切にはアベル・リーマン積分と名付けられ、同様に実数直線全体にわたる積分はリウヴィル・ワイル積分と名付けられることが示唆されている。 ${\displaystyle a=0}$

対照的に、グリュンワルド・レトニコフ微分は積分ではなく微分から始まります。

アダマール分数積分はジャック・アダマール^[12]によって導入され、次の式で与えられる。 $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

連続関数のアタンガナ・バレアヌ分数積分は次のように定義されます。 $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

残念ながら、微分演算子Dに対する同様のプロセスははるかに複雑ですが、 Dは一般に可換でも加法でもないことが示されます。 ^[13]

古典的なニュートン微分とは異なり、分数微分はさまざまな方法で定義できますが、滑らかな関数であっても、すべてが同じ結果になるとは限りません。これらのいくつかは、分数積分によって定義されます。定義の非互換性のため、どの定義が使用されているかを明示的に示す必要があることがよくあります。

対応する導関数は、微分演算子に対するラグランジュの規則を使用して計算されます。α 次の導関数を求めるには、次数( n − α )の積分のn次の導関数を計算します。ここで、 n はαより大きい最小の整数です(つまり、n = ⌈ α ⌉ )。リーマン–リウヴィルの分数導関数と積分は、トカマクシステムなどの複数のシステムの場合の方程式の解の場合や、可変次数分数パラメータの場合など、さまざまな用途があります。^{[14] [15]}リーマン–リウヴィル積分の定義と同様に、導関数には上側と下側の変種があります。^[16] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

分数微分を計算するもう一つの方法は、カプト分数微分です。これはミケーレ・カプトが1967年の論文で導入しました。^[17]リーマン・リウヴィル分数微分とは対照的に、カプトの定義を使用して微分方程式を解く場合、分数階の初期条件を定義する必要はありません。カプトの定義は次のように示されます。ここでもn = ⌈ α ⌉です。 $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

次のように定義されるCaputo分数微分があります。 これは、 f ( t )が定数 のときにゼロになるという利点があり、そのラプラス変換は関数とその導関数の初期値によって表されます。さらに、次のように定義される分布順序のCaputo分数微分があります。 $${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

ここでϕ ( ν )は重み関数であり、複数のメモリ形式の存在を数学的に表現するために使用されます。

2015 年の論文で、M. Caputo と M. Fabrizio は、次式で与えられる関数に対して、非特異カーネルを持つ分数微分の定義を発表しました。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

ここで。^[18]${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

2016年にアタンガナとバレアヌは、一般化されたミッタク・レフラー関数 に基づく微分作用素を提案した。その目的は、非特異な非局所核を持つ分数微分作用素を導入することであった。その分数微分作用素は、それぞれリーマン・リウヴィルの意味で、カプトの意味で以下に示される。関数が^{[19] [20]}で与えられる場合、${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$ $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

関数が連続である場合、リーマン-リウヴィルの意味でアタンガナ-バレアヌ微分は次のように表されます。 $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Atangana–Baleanu 分数微分で使用されるカーネルには、累積分布関数の特性がいくつかあります。たとえば、すべての に対して、関数は実数線上で増加し、でに収束し、になります。したがって、関数は正の実数上の確率測度の累積分布関数であることがわかります。したがって、分布は定義され、その倍数はの順序のミッタグ-レフラー分布と呼ばれます。また、これらすべての確率分布は絶対連続であることもよく知られています。特に、関数ミッタグ-レフラーには、指数関数である特殊なケース があるため、の順序のミッタグ-レフラー分布は指数分布です。ただし、 に対して、ミッタグ-レフラー分布は裾が重いです。そのラプラス変換は次のように与えられます。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$$${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

これは、 の場合、期待値は無限大であることを直接的に意味します。さらに、これらの分布は幾何安定分布です。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

リース導関数は次のように定義される。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

ここで はフーリエ変換を表す。^{[21] [22]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

古典的な分数微分には以下のものがあります。

• グリュンヴァルト・レトニコフ導関数^{[23] [24]}
• ソニン・レトニコフ誘導体^[24]
• リウヴィル微分^[23]
• カプト派生語^[23]
• アダマール微分^{[23] [25]}
• マルショー微分^[23]
• リース導関数^[24]
• ミラー・ロス微分^[23]
• ワイル微分^{[26] [27] [23]}
• Erdélyi-Kober 導関数^[23]
• F α {\displaystyle F^{\alpha }} -導関数^[28]

新しい分数導関数には次のものがあります:

• コインブラ派生語^[23]
• カトゥガンポラ誘導体^[29]
• ヒルファー微分^[23]
• デイビッドソン微分^[23]
• 陳派生語^[23]
• カプト・ファブリツィオ派生語^{[19] [30]}
• アタンガナ・バレヌ派生物^{[19] [20]}

コインブラ導関数は物理モデリングに用いられる。^[31]コインブラとその協力者らの著作には、力学と光学の両方における数多くの応用例が見られる。^{[32] [33] [34] [35] [36] [37] [38]}また、他の著者らの著作では、物理的な問題や数値実装へのさらなる応用が研究されている。^{[39] [40] [41] [42]}

のために${\displaystyle q(t)<1}$
$${\displaystyle {\begin{aligned}^{\mathbb {C} }_{a}\mathbb {D} ^{q(t)}f(t)={\frac {1}{\Gamma [1-q(t)]}}\int _{0^{+}}^{t}(t-\tau )^{-q(t)}{\frac {d\,f(\tau )}{d\tau }}d\tau \,+\,{\frac {(f(0^{+})-f(0^{-}))\,t^{-q(t)}}{\Gamma (1-q(t))}},\end{aligned}}}$$

ここで、下限はまたはとすることができますが、から またはまで で常にゼロである限り、この演算子は のすべての値に対して正しい分数導関数を返すことに注意してください。また、 は、 形式の可変次数を持つ従属関数自体、または 形式の可変次数を持つ独立変数のどちらにも適用できます。${\displaystyle a}$${\displaystyle 0^{-}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle 0^{-}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle q(f(t))}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle ^{[1]}}$

コインブラ微分は任意の順序に一般化することができ、^[43]コインブラ一般化順序微分積分演算子（GODO）につながる^[44]

のために${\displaystyle q(t)<m}$
$${\displaystyle {\begin{aligned}^{\mathbb {\quad C} }_{\,\,-\infty }\mathbb {D} ^{q(t)}f(t)={\frac {1}{\Gamma [m-q(t)]}}\int _{0^{+}}^{t}(t-\tau )^{m-1-q(t)}{\frac {d^{m}f(\tau )}{d\tau ^{m}}}d\tau \,+\,\sum _{n=0}^{m-1}{\frac {({\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{+}}-{\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{-}})\,t^{n-q(t)}}{\Gamma [n+1-q(t)]}},\end{aligned}}}$$

ここで、 はのすべての値に対して の大きい方の値より大きい整数です。上記の定義の右側の2番目の（合計）項は次のように表すことができます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma [m-q(t)]}}\sum _{n=0}^{m-1}\{[{\frac {d^{n}\!f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{+}}-{\frac {d^{n}\!f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{-}}]\,t^{n-q(t)}\prod _{j=n+1}^{m-1}[j-q(t)]\}\end{aligned}}}$$

分母をガンマ（）関数の正の枝に保ち、数値計算を容易にするためです。 ${\displaystyle \Gamma }$

ある点における関数の-次導関数は、 が整数の場合にのみ局所的な性質である。これは非整数べき乗導関数には当てはまらない。言い換えれば、におけるの非整数分数導関数は、から遠く離れた値も含め、のすべての値に依存する。したがって、分数導関数演算には、関数のさらに外側の情報を含む、ある種の境界条件が伴うことが予想される。 ^[45]${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

順序関数の分数微分は、今日ではフーリエ変換またはメリン積分変換によって定義されることが多い。 ^{[引用が必要]}${\displaystyle a}$

Erdélyi -Kober 演算子は、Arthur Erdélyi (1940)によって導入された積分演算子です。 ^[46]およびヘルマン・コーバー(1940) ^[47]によって与えられます 。$${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

これはリーマン・リウヴィル分数積分とワイル積分を一般化したものである。

関数解析の文脈では、冪よりも一般的な関数f ( D )はスペクトル理論の関数計算で研究される。擬微分作用素の理論では、Dの冪も考慮できる。生じる作用素は特異積分作用素の例であり、古典理論を高次元に一般化したものはリース・ポテンシャルの理論と呼ばれる。したがって、分数計算を議論できる現代の理論は数多く存在する。特殊関数理論で重要なエルデーリ・コーバー作用素(Kober 1940)、(Erdélyi 1950–1951) も参照。

WheatcraftとMeerschaert（2008）^{[48]が述べているように、}制御体積が不均一性のスケールに比べて十分に大きくない場合、および制御体積内のフラックスが非線形である場合、流体の流れをモデル化するには質量の分数保存方程式が必要です。参照論文では、流体の流れの質量の分数保存方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

溶液中の基質の酸化還元挙動を調べる場合、電極表面に電圧をかけて、電極と基質の間で電子移動を強制します。その結果生じる電子移動は電流として測定されます。電流は電極表面の基質の濃度に依存します。基質が消費されると、フィックの拡散法則に従って、新しい基質が電極に拡散します。フィックの第 2 法則をラプラス変換すると、通常の 2 次微分方程式 (ここでは無次元形式) が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

その解C ( x , s )はsに対して1/2乗依存性を持つ。C ( x , s )の微分をとって逆ラプラス変換すると次の関係が得られる 。$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

これは電極表面の基質濃度と電流を関連付ける。^[49]この関係は電気化学反応速度論において機構的挙動を解明するために応用されている。例えば、電気化学的還元時の基質の二量化速度を研究するために使用されている。^[50]

2013年から2014年にかけて、アタンガナらは分数次微分の概念を用いていくつかの地下水流動問題について説明しました。^{[51] [52]}これらの研究では、水の流れを圧電ヘッドの非整数次微分の関数と見なすことで、古典的なダルシーの法則が一般化されています。この一般化された法則と質量保存の法則を使用して、地下水の流れに関する新しい方程式を導出します。

この方程式^{[説明が必要]}は、不均質多孔質媒体中の汚染物質の流れをモデル化するのに有用であることが示されている。^{[53] [54] [55]}

アタンガナとキリクマンは、分数移流分散方程式を可変次数方程式に拡張した。彼らの研究では、流体力学的分散方程式は変分次数微分の概念を使用して一般化された。修正された方程式は、クランク・ニコルソン法によって数値的に解かれた。数値シミュレーションにおける安定性と収束性は、修正された方程式が、定数分数微分および整数微分を持つ方程式よりも、変形可能な帯水層における汚染の移動を予測するのに信頼性が高いことを示した^[56]

複雑な媒体における異常拡散過程は、分数次拡散方程式モデルを用いることで十分に特徴付けることができる。^{[57] [58]}時間微分項は長時間の重い尾の減衰に対応し、空間微分項は拡散の非局所性に対応する。時間空間分数拡散支配方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

分数微分を単純に拡張したものが可変次数分数微分であり、αとβはα ( x , t )とβ ( x , t )に変更される。異常拡散モデリングにおけるその応用については参考文献を参照のこと。^{[56] [59] [60]}

分数微分はポリマーのような特定の種類の材料の粘弾性 減衰をモデル化するために使用されます。 ^[11]

PIDコントローラを分数次数に一般化することで、自由度を高めることができます。制御変数 u ( t )と測定誤差値 e ( t )の関係を表す新しい方程式は、次のように表すことができます。 $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

ここで_{αとβは正の分数階数であり、Kp}、 Ki 、 Kdはいずれも非負で_、それぞれ比例項、積分項、微分項の係数を表す（P、I、Dと_表記されることもある）。^[61]

生物組織などの複雑な媒体における音波の伝播は、通常、周波数のべき乗則に従った減衰を意味します。この種の現象は、分数時間微分を組み込んだ因果波動方程式を使用して記述できます。 $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Holm & Näsholm (2011) ^[62]とその中の参考文献も参照してください。このようなモデルは、複合媒体で測定される減衰は複数の緩和現象によって生じるという、一般に認められている仮説と結びついています。この結びつきは、Näsholm & Holm (2011b) ^[63]と調査論文^[64] 、および音響減衰に関する論文でさらに詳しく説明されています。べき乗法則減衰をモデル化する分数波動方程式を比較した論文については、Holm & Nasholm (2013) ^[65]を参照してください。べき乗法則減衰に関するこの本でも、このトピックについてより詳細に取り上げています。^[66]

パンディとホルムは、分数微分方程式を物理的原理から導出し、分数次数を音響媒体のパラメータの観点から解釈することで、分数微分方程式に物理的な意味を与えました。例として、流体で飽和した粒状の未固結海洋堆積物があります。^[67]興味深いことに、パンディとホルムは、分数微分積分の枠組みを使用して、地震学におけるロムニッツの法則と非ニュートンレオロジーにおけるナッティングの法則を導きました。 ^[68]ナッティングの法則は、分数微分を使用して海洋堆積物中の波の伝播をモデル化するために使用されました。^[67]

分数シュレーディンガー方程式は分数量子力学の基本方程式であり、次の形をとる: ^{[69] [70]} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

ここで、方程式の解は波動関数 ψ ( r , t )です。これは、粒子が任意の時刻tで特定の位置ベクトルrをとる量子力学的確率振幅であり、ħは換算プランク定数です。位置エネルギー関数V ( r , t )はシステムによって異なります。

さらに、はラプラス演算子であり、D _{α は}物理次元[ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2}のスケール定数であり（α = 2において、質量mの粒子の場合）、演算子(− ħ ² Δ) ^{α /2}は、 3次元分数量子リース微分であり、次のように定義される。 ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$$${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

分数シュレーディンガー方程式の指数α はレヴィ指数であり、1 < α ≤ 2です。

分数シュレーディンガー方程式の自然な一般化として、可変次数分数シュレーディンガー方程式は分数量子現象の研究に利用されてきた。^[71] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$

ここで、はラプラス演算子であり、演算子(− ħ ² Δ) ^{β ( t )/2}は可変次数の分数量子リース微分です。 ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$

• 音響減衰
• 自己回帰分数積分移動平均
• 初期化された分数計算
• 非局所演算子

• 分数順序システム
• 分数フーリエ変換
• プラバカール関数