クリストファー・デニンガー

クリストファー・デニンガー
オーバーヴォルファッハのデニンガー、2005
生まれる	( 1958-04-08 )1958年4月8日（66歳）
母校	ケルン大学
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ミュンスター大学
博士課程の指導教員	カート・マイヤー
博士課程の学生	アネット・フーバー＝クラビッター アネット・ヴェルナー[1]

クリストファー・デニンガー（1958年4月8日生まれ）は、ミュンスター大学のドイツ人数学者。デニンガーの研究は、 L関数への応用を含む数論幾何学に焦点を当てている。

デニンガーは1982年にケルン大学でカート・マイヤーの指導の下、博士号を取得した。1992年にマイケル・ラポポート、ピーター・シュナイダー、トーマス・ジンクと共にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ賞を受賞した。1998年にはベルリンで開催された国際数学者会議で基調講演を行った。 ^{[2] 2012年に}アメリカ数学会の会員となった。^[3]

1984年から1987年にかけての一連の論文で、デニンジャーはアルティン–ヴェルディエ双対性の拡張を研究した。大まかに言えば、類体理論の結果であるアルティン–ヴェルディエ双対性は、コンパクト多様体上の層コホモロジーに対する双対性であるポアンカレ双対性の算術類似物である。この類似性では、数体における整数の環（のスペクトル）は3次元多様体に対応する。マズールの研究に続いて、デニンジャー（1984）はアルティン–ヴェルディエ双対性を関数体に拡張した。その後、デニンジャーはこれらの結果を、非捩れ層（1986年）、算術曲面（1987年）、高次元局所体（ウィングバーグと共同で1986年）など、さまざまな方向に拡張した。後者の論文で考察されているブロッホのモティヴィック複合体の出現は、ブロッホの複合体が高次元スキーム上の双対化複合体であると特定した Geisser (2010) を含む複数の著者の研究に影響を与えました。

デニンガーの別の論文群は、L関数とその特殊値を研究している。L関数の典型的な例はリーマンゼータ関数ζ( s )であり、次のような式で表される。

ζ(2) = π ² / 6

はオイラー以来知られている。画期的な論文で、ベイリンソン（1984）は、 L関数の特殊値、すなわち整数におけるL関数の値を説明する一連の広範囲な予想を提唱した。非常に大まかに言えば、ベイリンソンの予想は、 Q上の滑らかな射影代数多様体 Xに対して、 XのモティヴィックコホモロジーはXのドリーニュコホモロジーと密接に関連しているはずだと主張している。さらに、ベイリンソンの予想によれば、これら2つのコホモロジー理論の関係は、

L ( h ⁿ ( X ), s )

整数sにおいて。Bloch と Beilinson は、X が複素乗算を伴う楕円曲線でs =2の場合のh ¹ ( X ) について、この予想の重要な部分を証明した。1988 年に、Deninger と Wingberg はその結果の説明を行った。1989 年と 1990 年に、Deninger は、すべてのs ≥2 において、Shimura が考えた特定の楕円曲線にこの結果を拡張した。Deninger と Nart (1995) は、Beilinson の予想の重要な要素である高さのペアリングを、特定のカテゴリのモチーフにおけるExt 群の自然なペアリングとして表現した。1995 年に、Deninger はDeligne コホモロジーにおけるMassey 積を研究し、そこからs =3における楕円曲線のL関数の特殊値の公式を予想し、これは後に Goncharov (1996) によって確認された。 2018 年現在、ベイリンソンの予想は未だ未解決のままであり、デニンガーの貢献はベイリンソンの予想が首尾よく攻撃された数少ない事例の一部である (このトピックに関する調査には、デニンガー & ショル (1991)、ネコヴァール (1994) などがある)。

リーマンζ関数はオイラー因子の積を使って定義される。

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

各素数pに対して、ζ( s )の関数方程式を得るには、ガンマ関数を含む追加の項を掛け合わせる必要があります。

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

より一般的なL関数もオイラー積によって定義され、各有限場所では、ある多様体X / Qのl 進コホモロジーに作用するフロベニウス自己準同型の行列式が関係するが、無限場所のオイラー因子は、セールによれば、 X / Qに付随するホッジ構造に依存するガンマ関数の積である。デニンガー (1991) はこれらの Γ 因子を正規化された行列式で表現し、1992 年に、そしてより一般的には 1994 年に、有限場所と無限場所の両方でL関数のオイラー因子を正規化された行列式を使用して統一することに進んだ。たとえば、リーマンゼータ関数のオイラー因子の場合、この統一的な記述は次のようになる。

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\右)^{-1}.}$

ここでp は素数または無限大で、それぞれ非アルキメデスのオイラー因子とアルキメデスのオイラー因子に対応し、R _{p は}素数pに対するR /log( p ) Z上の有限実数値フーリエ級数の空間であり、R _∞ = R [exp(−2 y )] です。最後に、 Θ はそのような関数をシフトすることによって与えられるR作用の導関数です。 Deninger (1994) は、 ε 因子 ( sと 1− sでの完全なL関数の比を表す) についても同様の統一アプローチを示しました。

これらの結果から、デニンジャーはSpec Zのコンパクト化に関連する「算術サイト」Yの存在に関するプログラムを提案した。他の特性の中でも、このサイトはRの作用を備え、各素数p は長さ log( p ) のR作用の閉軌道に対応する。さらに、解析的数論の公式と葉状空間上の力学との類似性から、デニンジャーはこのサイトに葉状構造が存在すると予想した。さらに、このサイトは無限次元コホモロジー理論を備えており、モチーフMのL関数は次のように与えられると想定されている 。

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

ここでM は、ベイリンソン予想に現れる動機h ⁿ ( X )のような動機であり、F ( M ) は動機Mに付随するY上の層であると考えられる。演算子 Θ は、R作用によって与えられるフローの無限小生成子である。このプログラムによれば、リーマン予想は、ホッジ理論における交差ペアリングの正値性と平行な特性の結果である。このサイトにあるレフシェッツのトレースの公式のバージョンは、この予想の設定の一部であり、デニンガー (1993) によって別の方法で証明されている。2010年に、デニンガーは、代数的サイクルの交差理論に関するベイリンソンとブロッホの古典的な予想が彼のプログラムのさらなる結果であること を証明した。

このプログラムは、1992年のヨーロッパ数学者会議、1998年の国際数学者会議での講演でデニンガーによって概観され、またライヒトナム (2005) によっても概観されました。2002年にデニンガーは有限体上の楕円曲線に対応する葉状空間を構築し、ヘッセルホルト (2016) は、 F _p上の滑らかな固有多様体のハッセ・ヴェーユのゼータ関数が、位相的ホッホシルトホモロジーを含む正規化された行列式を使用して表現できることを示しました。さらに、結び目と素数の類似性は、数論的位相幾何学で実りある研究が行われてきました。しかし、2018年現在、Spec Zに対応する葉状空間の構築は依然として困難です。

アネット・ヴェルナーとの一連の共同論文では、p進曲線上のベクトル束について検討しています。この研究の動機となった古典的な結果は、シンプソン対応の基礎となるナラシムハン・セシャドリ定理です。この定理は、コンパクトなリーマン面X上のベクトル束は、基本群π ₁ ( X )のユニタリ表現から生じる場合、安定であると主張しています。

Deninger & Werner (2005) は、そのp進類似物を確立しました。から基底変換によって得られるC _p上の滑らかな射影代数曲線に対して、彼らは、次数 0 の潜在的に強い半安定縮小を持つものを含む特定のベクトル束上のファイバーへのエタール基本群π _{1 (X) の作用を構築しました。 2005 年の別の論文では、曲線}Xの基本群の結果としての表現を、 Xのヤコビ多様体のTate 加群の表現と関連付けました。 2007 年と 2010 年に彼らはこの研究を継続し、そのようなベクトル束がTannakian カテゴリを形成することを示しました。これは、このクラスのベクトル束を特定のグループの表現のカテゴリとして識別することに相当します。 ${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$

いくつかの共同論文で、デニンガーとヴィルヘルム・シンホフは、整数値行列からなる 標準格子によるn次元ハイゼンベルク群 Hの商を研究した。

X = H / Γ、

様々な観点から研究を進めました。1984年に彼らは、 ζ(− n )に関してXのe不変量を計算し、任意に大きな位数の球面の安定ホモトピー群の要素の構成に成功しました。1988年には、解析的数論の手法を用いて、冪零リー代数のコホモロジーの次元に関する推定値を与えました。

ケーラー多様体上の任意のコホモロジー類は一意の調和関数を許容するというホッジ理論からの古典的な事実は、Álvarez López と Kordyukov (2001) によってリーマン葉相に一般化されました。 Deninger と Singhof (2001) は、わずかに弱い条件のみを満たす上記の空間X上の葉相は、そのようなホッジ理論的性質を許容しないことを示しました。 2001 年の別の共同論文で、彼らは動的レフシェッツ トレースの公式を確立しました。これは、調和形式上の演算子のトレースと、閉じた軌道に現れる局所トレース ( R作用を持つ特定の葉相空間上) を関連付けます。 この結果は、このプログラムによって解析的側で行われた予測、つまり葉相空間上のダイナミクスに関する予測を検証するという意味で、上記の Deninger のプログラムの確証となります。

デニンガーの論文のもう一つのグループは、宇宙に関するものである。

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

ここで、Γは離散群、fはその群環 Z Γの元、ハットはポンチャギン双対を表す。Γ = Z ⁿおよびに対して、Lind、Schmidt、Ward（1990）は、 X _fに対するΓ作用のエントロピーがマーラー測度によって与えられることを示した。${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots , z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

さらに、特定の多項式のマーラー測度は、特定の L 関数の特殊値で表現できることが知られていました。1997 年に、デニンガーは、マーラー測度の定義における積分関数が、ドリーニュ コホモロジーによって自然に説明できることに気付きました。ベイリンソン予想の既知のケースを使用して、彼は、m ( f ) が、ベイリンソン レギュレーターの下でのシンボル { f , t ₁ , ..., t _n }の像であり、多様体は、fのゼロ セットのn次元トーラスの補集合であると推論しました。これにより、前述のマーラー測度の式の概念的な説明が生まれました。 Besser & Deninger (1999) と Deninger は 2009 年後半に、 Beilinson レギュレータ マップから Deligne コホモロジーへのレギュレータ マップをシントミック コホモロジーへのレギュレータ マップに置き換え、エントロピーの定義に現れる対数をp進対数に置き換えることで、これらのアイデアをp進の世界に持ち込みました。

2006 年と 2007 年に、デニンガーとクラウス・シュミットは、エントロピーとマーラー測度の類似性をアーベル群を超えて、すなわち残差有限で可算な離散従属群Γ にまで広げました。彼らは、 X _fへの Γ 作用が拡大的となるのは、f がΓ のL ¹畳み込み代数で可逆である場合に限ることを示しました。さらに、Γ に関連付けられたフォン・ノイマン代数NΓ上のフグレデ・カディソン行列式の対数(これはZ ⁿのマーラー測度を置き換えます) は、上記の作用のエントロピーと一致します。

ヨアヒム・クンツとデニンガーはウィットベクトルについて共同研究した。2014年頃の2本の論文で、彼らはモノイド代数 Z Rの完備化の観点からウィットベクトルの環を提示することで理論を簡略化した。このアプローチは、ウィットベクトルの加算の古典的な定義で使用される普遍多項式を回避する。

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