実解析的アイゼンシュタイン級数

数学において、最も単純な実解析アイゼンシュタイン級数は、2変数の特殊関数である。これは、 SL(2, R )の表現論や解析的数論で用いられる。これは、エプスタインゼータ関数と密接に関連している。

より複雑なグループに関連する一般化は多数あります。

上半平面におけるz = x + iyに対するアイゼンシュタイン級数E ( z , s )は次のように定義される。

${\displaystyle E(z,s)={1 \over 2}\sum _{(m,n)=1}{y^{s} \over |mz+n|^{2s}}}$

Re( s )>1に対しては、また複素数sの他の値に対しては解析接続によって。和は互いに素な整数のすべてのペアにわたって計算される。

注意：他にも若干異なる定義がいくつかあります。著者の中には、 ⁠の要素を省略している人もいます。1/2⁠ 、そして両方がゼロではないすべての整数のペアの合計。これにより関数はζ(2 s ) 倍に変化します。

zの関数として見ると、E ( z , s ) は、固有値s ( s -1 ) を持つH上のラプラス作用素の実解析的固有関数です。言い換えると、楕円偏微分方程式

${\displaystyle -y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(1-s)E(z,s),}$

どこ${\displaystyle z=x+yi.}$

関数E ( z , s ) は、分数線形変換により、上半平面におけるzへのSL(2, Z )の作用に対して不変である。前の性質と合わせて、これはアイゼンシュタイン級数がマアス形式、つまり古典的な楕円モジュラー関数の実解析類似体であることを意味する。

警告: E ( z , s ) は、 H上の不変リーマン計量に関してzの二乗積分可能な関数ではありません。

アイゼンシュタイン級数は Re( s )>1 で収束しますが、解析的に複素平面全体でsの有理型関数に接続できます。半平面 Re( s ) 1/2 内では、 s = 1 で留数 3/π の唯一の極( Hのすべてのzに対して) があり、ストリップ 0 < Re( s ) < 1/2で無限個の極があります。ここで、 はリーマンゼータ関数の非自明な零点に対応します。 s = 1での極の定数項は、クロネッカー極限公式によって記述されます。 ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \rho /2}$${\displaystyle \rho}$

修正された関数

${\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\ }$

関数方程式を満たす

${\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\ }$

リーマンゼータ関数ζ( s )の関数方程式に類似している。

2つの異なるアイゼンシュタイン級数E ( z , s )とE ( z , t )のスカラー積は、マース・セルバーグ関係式によって与えられる。

実解析的アイゼンシュタイン級数、すなわちH上のラプラシアンを用いたE(z,s)とE ^* (z,s)の関数方程式の上記の性質は、E(z,s)がフーリエ展開を持つという事実から示される。 ${\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^ {1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx) \、}$

どこ

${\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,}$

${\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,}$

および修正ベッセル関数

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}(u+{\frac {1}{u}}){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}}$

エプスタインゼータ関数ζ _Q ( s ) (Epstein 1903) は、正定積分二次形式Q ( m , n ) = cm ² + bmn + an ²に対して次のように定義されます。

${\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.\ }$

これは本質的に、 zの特別な値に対する実解析的アイゼンシュタイン級数の特別な場合である。

${\displaystyle Q(m,n)=a|mz-n|^{2}\ }$

のために

${\displaystyle z=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}$

このゼータ関数はポール・エプスタインにちなんで名付けられました。

実解析アイゼンシュタイン級数E ( z , s ) は、実際にはSL(2, R )の離散部分群SL(2, Z )に関連付けられたアイゼンシュタイン級数です。セルバーグは、 SL(2, R )の他の離散部分群 Γ への一般化を説明し、これを使用して SL(2, R ) の L ²上の表現(SL(2, R )/Γ) を研究しました。ラングランズはセルバーグの研究をより高次元のグループに拡張しました。彼の非常に難しい証明は、後にジョセフ・バーンスタインによって簡略化されました。

• エイゼンシュタインシリーズ
• クロネッカー極限公式
• マースフォーム

• J. バーンスタイン、アイゼンシュタインシリーズの有理形的継続
• エプスタイン、P. (1903)、「Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I」(PDF)、Math。アン。、56 (4): 614–644、土井:10.1007/BF01444309。
• A. Krieg (2001) [1994]、「エプスタインゼータ関数」、数学百科事典、EMS Press
• 久保田哲也(1973)、エイゼンシュタインシリーズ初等理論、東京：講談社、ISBN 0-470-50920-1。
• ラングランズ、ロバート・P.（1976）、アイゼンシュタイン級数が満たす関数方程式について、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-07872-X。
• A. Selberg、「不連続群と調和解析」、Proc. Int. Congr. Math.、1962 年。
• D. Zagier、「アイゼンシュタイン級数とリーマンゼータ関数」。