レッドヘッファーマトリックス

数学において、レドヘファー行列（レドヘファーぎょうが、 Redheffer matrix ）は、レドヘファー（1977）によって研究されたとよく表記され、 iがjを割り切るか、j = 1の場合に要素a _ijが1になり 、それ以外の場合はa _ij = 0になる正方（0,1）行列である。一部のコンテキストでは、ディリクレ畳み込み、または畳み込まれた約数の和を、レドヘファー行列の転置を含む行列積で 表すと便利です。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n^{th}}$

レッドヘッファー行列の逆行列性は行列の最初の列が1 であることによって複雑になるため、 と表現すると便利な場合が多い。ここでは(0,1) 行列として定義され、その要素が 1 となるのは かつの場合のみである。 の残りの 1 の値を持つ要素は、行列 によって反映される割り切れる条件に対応し、これはメビウス反転の適用によって明らかにわかるように、逆行列 では常に逆行列 で逆行列が可能である。したがって、の特異性の特徴付けは次のように表現される。${\displaystyle A_{n}:=C_{n}+D_{n}}$${\displaystyle C_{n}:=[c_{ij}]}$${\displaystyle j=1}$${\displaystyle i\neq 1}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).}$

関数を定義すると

${\displaystyle M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ j が i を割り切る場合; }}\\0,&{\text{ それ以外の場合、 }}\end{cases}},}$

すると、Redheffer (転置) 行列を通常の行列表記法でn x n正方行列として定義できます。次のセクションでもこの表記法を使い続けます。 ${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}}$

下の行列は 12 × 12 の Redheffer 行列です。 の分割された行列の和の表記では、 の最初の列に対応する下のエントリは青でマークされています。 ${\displaystyle A_{12}:=C_{12}+D_{12}}$${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$

メビウスの逆行列公式の対応する応用は、レドヘッファー転置行列が常に逆行列であることを示しており、逆行列の要素は次のように与えられる。 ${\displaystyle n^{th}}$

${\displaystyle R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},}$

ここで、はメビウス関数を表します。この場合、逆レドヘッファー転置行列は次のように与えられます。 ${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle 12\times 12}$

${\displaystyle R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}$

n × n正方レドヘッファー行列の行列式は、メルテンス関数M ( n )で与えられる。特に、メルテンス関数がゼロ（または符号が変化する直前）のとき、行列は逆行列を持たない。メルテンス予想の反証^[1]の帰結として、メルテンス関数は符号が変化し、したがってゼロになることが無限回あるため、レドヘッファー行列は無限個の自然数で特異となる。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

リーマン予想は、すべての（十分に小さい）に対して であることを示すことと同等であるため、レドヘッファー行列の行列式は、メルテンス関数とのこの関係を通じて、すぐにリーマン予想に結び付けられます。 ${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

（0,1）行列の要素を、ある増加するインデックスセットのシーケンスへの包含を表すために再解釈するやや型破りな構成では、これらの行列がランバート級数の因数分解にも関連していることがわかります。この観察は、固定された算術関数 fに対して、 f上の次のランバート級数展開の係数が、これらの展開の級数係数に到達するために f を合計するインデックスのいわゆる包含マスクを提供するという点で提供されています。特に、

${\displaystyle \sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).}$

さて、上記の展開からわかるように、これらの約数和が自然数nの約数集合にブール値（0-1）で包含される特殊なケースでは、これらの和を列挙するランバート級数生成関数を、さらに別の行列ベースの構成で再解釈することが可能です。つまり、MercaとSchmidt（2017-2018）は、これらの生成関数を次の形式で展開して可逆な行列分解を証明しました。^[2]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

ここで、 は無限q-ポッホハマー記号を表し、 の下三角行列列は の係数として正確に生成されます。これらの項は、特殊な偶数（奇数）インデックス付きパーティション関数の差として解釈することもできます。MercaとSchmidt（2017）は、暗黙の関数fを元のLambert級数生成関数の畳み込み係数の合計として表すことができる簡単な反転式も証明しました^。[3]${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }}$${\displaystyle \ell (n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],}$

ここで、p(n) は分配関数、はメビウス関数、の係数は五角数定理によりjの二次依存性を継承します。この逆変換公式は、ここでの完全性のために、 Redheffer 行列の逆行列 (存在する場合) と比較されます。${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$${\displaystyle A_{n}}$

それ以外の点では、手元の約数和にインデックスを含めることを指定する、いわゆるマスク行列の基礎となるものは可逆であり、このタイプの構成を利用して他の特別な数論的和に対する他の Redheffer のような行列を拡張することは、ここで古典的に研究されている形式に限定される必要はありません。たとえば、2018 年に Mousavi と Schmidt は、このような行列ベースの因数分解補題を、アンダーソン-アポストル約数和 (ラマヌジャン和は注目すべき特別なケース) や、各nに互いに素である整数でインデックス付けされた和(たとえば、オイラーのファイ関数で表される合計を古典的に定義するように) の場合に拡張しました。^{[4]さらに重要なのは、以下のアプリケーションのセクションで検討する例は、他の特別な数論的和を表す}一般化された Redheffer 行列と見なすことができるものの特性の研究を示唆しているということです。

• のスペクトル半径を、すなわちのスペクトルにおける支配的な最大モジュラス固有値で表すと、${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,}$

これは、 nが大きい場合のスペクトルの漸近挙動を制限します。 であることも示され、注意深い分析 (以下の特性多項式展開を参照) により であることが示されます。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)}$${\displaystyle \rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)}$

• 行列には重複度 の固有値1があります。${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1}$
• 固有値に対応する固有空間 の次元はであることが知られています。特に、これは のときは常に が対角化できないことを意味します。${\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}$ ${\displaystyle \lambda :=1}$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$
• の他のすべての固有値については、対応する固有空間の次元は1 です。${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}$

は のスペクトル内の何らかの固有値に対応するの固有ベクトルであり、次の 2 つの条件が成立する 場合に限ります。${\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$${\displaystyle A_{n}^{T}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

となるいわゆる非自明なケースに限定すると、任意の初期固有ベクトル成分が与えられれば、残りのn-1成分を次の式に従って 再帰的に計算できる。${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.}$

これを念頭に置いて、我々は次の順序を定義することができる。 ${\displaystyle \lambda \neq 1}$

${\displaystyle v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}}$

これらのシーケンスの定義に関連して、興味深い意味合いがいくつ かある。まず、${\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .}$

第二に、これらの数列上のディリクレ級数、またはディリクレ生成関数の公式が確立されており、これは次の式で与えられる すべての数列に対して成り立ちます。${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},}$

ここで、もちろん通常通りリーマンゼータ関数を表します。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

の特性多項式の零点を評価し、その係数を境界値で囲むグラフ理論的解釈は、のセクション5.1 で与えられている。^{[5] の}固有値 1 に対応するジョルダンブロックのサイズの推定値は、で与えられている。 ^[6]これらの行列の特性多項式 を因数分解する修正アプローチの特性の簡単な概要は、上記の参考文献から境界値を正当化するやや技術的な証明の全範囲を省いてここで定義される。すなわち、略記とを使用して、次の式に従って補助多項式展開のシーケンスを定義する。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle p_{A_{n}}(x)}$${\displaystyle s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }$

${\displaystyle f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.}$

すると、 にはで表された2つの実根があり、これらは ${\displaystyle f_{n}(t)}$${\displaystyle t_{n}^{\pm }}$

${\displaystyle t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),}$

ここで、はオイラーの古典的なガンマ定数であり、これらの多項式の残りの係数は次のように制限される。 ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$

${\displaystyle |v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.}$

多項式のこれら 2 つの主要な零点によって特徴付けられない、よりサイズ制約のある固有値のプロットは、以下に示す残りの20個の複素零点によって証明されるように、注目に値するようです。次の画像は、ここで参照用に入手可能な、上記で引用した無料で入手可能な記事から転載したものです。 ${\displaystyle f_{n}(t)}$${\displaystyle n\sim 10^{6}}$

我々は、パリティが指数集合の増加シーケンスへの包含に対応する(0,1) 行列として解釈される Redheffer 行列の有用性の例をいくつか提供する。これらの例は、これらの行列の時として時代遅れの歴史的観点の一部を刷新し、その行列式とメルテンス関数およびリーマン予想の同等のステートメントとの本質的で深い関係により、脚注に値するものであることに役立つはずである。この解釈は、特殊な Redheffer 行列の行列式の一般的な処理よりも、構築においてはるかに組み合わせ論的である。とはいえ、特殊な和のシーケンスを列挙する際のこの組み合わせ論的なひねりは、最近いくつかの論文で検討されており、プレプリント アーカイブで活発に関心を集めているトピックである。上で定義したRedheffer 行列の変形の完全な構築に入る前に、このタイプの展開は、多くの点で本質的には、行列のエントリが級数の形式変数の係数である切断されたべき級数式を表すために Toeplitz行列を使用する別のバリ​​エーションにすぎないことに注意してください。 (0,1) 行列のこの特定のビューを、ある固定された関数の有限和に加算インデックスを含めることをマスクするものとして適用してみましょう。一般的な算術関数の場合のコンテキストでの Redheffer 行列の既存の一般化については、参考文献^[7]と^[8]の引用を参照してください。逆行列項は、このタイプの和のコンテキスト内では一般化されたメビウス関数と呼ばれます。^[9]${\displaystyle R_{n}}$

まず、任意の2つの非同一のゼロ算術関数 fとgが与えられた場合、それらのディリクレ畳み込みを自然数でインデックス付けされた行にエンコードする明示的な行列表現を提供できます。 ${\displaystyle n\geq 1,1\leq n\leq x}$

${\displaystyle D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.}$

次に、すべて1のベクトルを表すとすると、行列ベクトル積の行が畳み込みディリクレ和を与えること が容易に分かる。${\displaystyle e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle e^{T}\cdot D_{f,g}(x)}$

${\displaystyle (f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),}$

すべてにおいて、上限インデックスは任意です。 ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle x\geq 2}$

任意の関数fが与えられたときに特に面倒な作業の 1 つは、この関数の標準的な再帰定義に頼ることなく、そのディリクレ逆関数を正確に決定することです。この定義では、同じ関数fとその不十分に指定された逆関数を含む別の畳み込み因子和を介して、この関数を定義します。

${\displaystyle f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).}$

一般に、fのディリクレ逆関数 、すなわち、 となる一意に定義された算術関数には、1 から までの深さのネストされた約数和の和が含まれることは明らかです。ここで、この上限は、nの異なる素因数の数を数える素数オメガ関数です。この例が示すように、さまざまな Redheffer 行列を使用した行列の逆変換を介して、ディリクレ逆関数の値を構築する別の方法を定式化できます。 ${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle (f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle R_{n}}$

数論的約数和、畳み込み、ディリクレ級数（ほんの数例）の行列表現による展開を確立しようと奮闘する、価値ある雑誌のよく引用される論文がいくつかあります。これらの表現の真に注目すべき重要な応用に関連する、対応するスペクトルと固有空間に関する重要な推定値に加えて、これらの形式の和を行列積で表すための基本的な仕組みは、いわゆるマスキング行列を効果的に定義することです。このマスキング行列の 0 または 1 の値を持つエントリは、自然数の集合の増加シーケンスに含まれることを示します。前述の専門用語が、さまざまな特殊な和を表す行列ベースのシステムを設定するのに適切であることを示すために、次の構成を考えてみましょう。 をインデックス セットのシーケンスとし、任意の固定された算術関数に対して、和を定義します。 ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).}$

ムサヴィとシュミット（2017）が考察した和のクラスの1つは、最後の定義のインデックスセットを次のように設定することで、互いに素な約数和を定義している。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.}$

このクラスの和は、オイラーのファイ関数（古典的には と定義する） を含む、数論的に興味深い重要な特殊算術関数を表現するために使用できる。${\displaystyle m:=0}$

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},}$

メビウス関数も離散（有限）フーリエ変換として表現されます。

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.}$

論文全文中の引用文献には、円分多項式（およびその対数）への応用など、このクラスの和の他の例が示されています。参照されている Mousavi と Schmidt (2017) の論文では、これらの和を展開するための因数分解定理のような処理が開発されており、これは前のセクションで示した Lambert 級数の因数分解の結果に類似しています。このインデックス セットの定義に関連する行列とその逆行列により、除数和のメビウス反転の類似を実行できます。これを使用して、逆行列要素と左側の特殊関数の準畳み込み和として加数関数f を表すことができます (最後の 2 つの例で示されているまたはなど)。これらの逆行列には多くの興味深い特性があり (現在、それらすべてをまとめた適切な参考文献はありません)、新しい読者には調べることでそれを最もよく暗示して伝えることができます。これを念頭に置いて、上側のインデックスのケースと、この場合に定義される次の関連行列について考えてみましょう。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle x:=21}$

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&2&-1&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&1&0&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\-3&0&1&0&3&0&-1&-1&1&0&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&-2&0&0&1&0&0&1&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-3&0&2&0&2&0&-2&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&1&0\\-1&0&0&-1&1&1&0&-1&2&-1&-1&1&-1&1&1&-1&0&0&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right)}$

ただし、非標準的ではあるが明確な応用を持つ他の特殊な和を定義する可逆行列の例は、完全性のためにこの一般化セクションでカタログ化してリストする必要があります。反転関係の既存の要約、特にこれらの形式の和を反転して関連付けることができる正確な基準は、直交多項式に関する多くの参考文献に記載されています。十分に可逆である、または十分に適切に動作する重み係数の三角形セット上の和の関係を反転するためのこのタイプの因数分解処理の他の良い例 としては、メビウスの反転公式、二項変換、スターリング変換などがあります。

• レッドヘッファーのスター製品

• ワイスタイン、エリック W.「レッドヘッファー行列」。マスワールド。
• Cardinal, Jean-Paul. 「メルテンス関数に関連する対称行列」 。 2018年12月12日閲覧。
• Kline, Jeffery (2020). 「素数定理に関連する疎行列の固有構造について」.線形代数とその応用. 584 : 409–430. doi : 10.1016/j.laa.2019.09.022 .