声明
予備 ニューマン（1974） の定式化によれば、ハミルトニアンは次のように与えられる。
H = − ∑ J j k S j S k − ∑ z j S j {\displaystyle H=-\sum J_{jk}S_{j}S_{k}-\sum z_{j}S_{j}} ここで、S j z j は 外部磁場である。相互作用項J jk の 強磁性体 であると言われる。
分割関数 は次のように与えられる。
Z = ∫ e − H d μ 1 （ S 1 ） ⋯ d μ N （ S N ） {\displaystyle Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})} ここで、各dμ j R 上の偶数測度 であり、無限大で非常に速く減少するため、すべてのガウス関数 は積分可能、すなわち
∫ e b S 2 d | μ j （ S ） | < ∞ 、 ∀ b ∈ R 。 {\displaystyle \int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} .} 実数上の急速に減少する測度は、そのフーリエ変換のすべての零点が次の式のように実数である場合、リー・ヤン特性を持つと言われます。
∫ e h S d μ j （ S ） ≠ 0 、 ∀ h ∈ H + := { z ∈ C ∣ ℜ （ z ） > 0 } {\displaystyle \int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}}
定理 リー・ヤン定理は 、ハミルトニアンが強磁性であり、すべての尺度dμ j z jが
Z （ { z j } ） ≠ 0 、 ∀ z j ∈ H + {\displaystyle Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{+}} 特に、すべての数z j がある数z に等しい場合、（ z の関数として考えた場合の）分割関数のすべての零点は虚数になります。
LeeとYangが検討した元のイジングモデルの場合、すべての測度は2点集合−1, 1上にサポートを持つため、分配関数は変数ρ = e π z の関数と考えることができます。この変数変換により、Lee-Yangの定理によれば、すべての零点ρは単位円上にあります。
例 リー・ヤン特性を持つ尺度の例をいくつか挙げます。
イジングモデルの測度は、サポートが2つの点（通常は1と-1）からなり、それぞれ の重みが1/2である。これは、リーとヤンが最初に検討したケースである。 スピンn /2の分布。そのサポートはn +1個の等間隔の点からなり、各点の重みは1/( n + 1)である。これはイジングモデルの場合の一般化である。密度は-1 から1の間で一様に分布する。 密度exp （ − λ コッシュ （ S ） ） d S {\displaystyle \exp(-\lambda \cosh(S))\,dS} 密度exp （ − λ S 4 − b S 2 ） d S {\displaystyle \exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS} b が実数の場合。これは( φ4 2 ユークリッド量子場理論 に対応する。 密度exp （ − λ S 6 − 1 S 4 − b S 2 ） d S {\displaystyle \exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS} dμ が Lee-Yang 特性を持つ場合、任意の正のb に対してexp( bS 2 ) d μ d μ が Lee-Yang 特性を持つ場合、零点がすべて虚数である任意の偶数多項式Qに対して Q ( S ) d μも Lee-Yang 特性を持つ。 リー・ヤン特性を持つ2つの尺度の畳み込みもまた、リー・ヤン特性を持つ。
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