関数方程式（L関数）

数学において、数論のL関数はいくつかの特徴的な性質を持つことが期待されており、その一つは特定の関数方程式を満たすことである。これらの方程式がどのようなものであるべきかについては精緻な理論が存在するが、その多くは依然として推測の域を出ない。

典型的な例として、リーマンゼータ関数は、複素数sにおける値と 1 − sにおける値を関連付ける関数方程式を持ちます。いずれの場合も、これは無限級数の定義からの解析接続によってのみ定義される値 ζ( s )に関係します。つまり、慣例に従ってsの実部を σとすると、関数方程式は、場合を関連付けます。  

σ > 1 かつ σ < 0、

またケースも変更します

0 < σ < 1

臨界帯では、線 σ = ½ に反映される別の同様のケースになります。したがって、関数方程式の使用は、複素平面全体でゼータ関数を研究するために基本となります。

リーマンゼータ関数に関する問題の関数方程式は、単純な形式をとる。

${\displaystyle Z(s)=Z(1-s)\,}$

ここで、Z ( s )はζ( s )にガンマ因子を掛けたもので、ガンマ関数を含みます。これは、無限素数に対応するゼータ関数のオイラー積の「余分な」因子として読み取られます。数体Kのデデキントゼータ関数についても、 Kの埋め込み（代数的には、Kと実数体とのテンソル積）のみに依存する適切なガンマ因子を持つ、まったく同じ形の関数方程式が成り立ちます。

ディリクレL関数についても同様の式がありますが、今回はペアで関連付けています。^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\varepsilon \Lambda (1-s,\chi ^{*})}$

χは原始ディリクレ指標、χ ^*はその複素共役、ΛはL関数にガンマ因子を乗じたもの、εは絶対値が1の複素数で、形状は

${\displaystyle G(\chi ) \over {\left|G(\chi )\right\vert }}$

ここで、G (χ) はχ から構成されるガウス和です。この方程式の両辺が同じ関数となるのは、χ が{0,1, − 1} の値をとる実数指標である場合に限ります。この場合、ε は 1 または− 1 でなければならず、値− 1の場合はs = ½ でΛ ( s )がゼロになります。ガウス和の理論 (実質的にはガウスの理論) によれば、値は常に 1 なので、そのような単純なゼロは存在できません (関数はこの点に関して偶関数です)。

こうした関数方程式の統一理論はエーリッヒ・ヘッケによって提唱され、その理論はジョン・テイトによってテイトの論文で再び取り上げられた。ヘッケは、現在ヘッケ指標と呼ばれる数体の一般化された指標を発見し、彼の証明（シータ関数に基づく）はそれらにも適用できた。これらの指標とそれに関連するL関数は、ディリクレ指標が円分体と密接に関係しているのと同様に、複素乗法と密接に関係していることが現在では理解されている。

局所ゼータ関数にも関数方程式があり、これはエタールコホモロジーにおける（類似の）ポアンカレ双対性の基本的なレベルで生じます。数体K上の代数多様体Vのハッセ・ヴェイユ ゼータ関数のオイラー積は、素イデアルを法として局所ゼータ関数を得ることで形成され、大域関数方程式を持つと予想されていますが、これは特殊な場合を除いて、現在では実現不可能と考えられています。定義は、再びエタールコホモロジー理論から直接読み取ることができますが、一般に、関数方程式を得るには保型表現論からの何らかの仮定が必要であるようです。谷山・志村予想は、一般理論としてのこの特殊なケースでした。ガンマ因子の側面をホッジ理論に関連付け、期待される ε 因子の詳細な研究を行うことで、証明は欠けているものの、経験的理論としてはかなり洗練された状態になりました。

• 明示的な式（L関数）
• リーマン・ジーゲル公式（特定の近似関数方程式）

• ワイススタイン、エリック W. 「関数方程式」 . MathWorld .