p進L関数

数学において、p進ゼータ関数、またはより一般的にはp進L関数は、リーマンゼータ関数、またはより一般的なL関数に類似した関数ですが、その定義域とターゲットはp 進です( pは素数)。たとえば、定義域はp進整数 Z _p、profinite p群、またはp進ガロア表現の族であり、像はp進数 Q _pまたはその代数的閉包です。

p進L関数の源は、2 つのタイプのいずれかになる傾向があります。最初の源は、L関数の特殊値の p 進補間によるもので、これはTomio KubotaとHeinrich-Wolfgang Leopoldtによって初めて p 進 L 関数が構築されました( Kubota & Leopoldt 1964) 。たとえば、Kubota–Leopoldt は、ベルヌーイ数のクンマー合同法を使用してp進L関数、つまりp進リーマン ゼータ関数ζ _p ( s ) を構築しました。この関数の負の奇数の値は、負の奇数のリーマン ゼータ関数の値と同じです (明示的な補正係数を除く)。このようにして生成されるp進L関数は、通常、解析的p進L関数と呼ばれます。p進L関数のもう一つの主な源は、岩澤健吉によって最初に発見されたもので、円分体の算術、またはより一般的には、円分体の塔またはさらに一般的な塔上の特定のガロア加群から来ています。このようにして生じるp進L関数は、関係するガロア加群の算術データをエンコードするため、通常、算術p進L関数と呼ばれます。岩澤理論の主予想(現在はバリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによる定理) は、久保田–レオポルドのp進L関数と岩澤理論によって構築された算術類似体が本質的に同じであるという主張です。解析的および算術的なp進L関数の両方が構築される (または期待される) より一般的な状況では、それらが一致するという主張は、その状況に対する岩澤理論の主予想と呼ばれます。このような予想は、 L関数の特殊値に算術情報が含まれているという哲学に関する正式な記述を表しています。

ディリクレL関数は、次の解析接続によって与えられる。

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

負の整数における ディリクレL関数は次のように与えられる。

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

ここで、B _{n ,χは、}次のように定義される 一般化ベルヌーイ数である。

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

χ は導体fを持つディリクレ指標です。

クボタ・レオポルドのp進L関数L _p ( s , χ )は、ディリクレL関数からpにおけるオイラー因子を除いたものを補間する。より正確には、L _p ( s , χ )はp進数sの唯一の連続関数であり、

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}$

正の整数n がp − 1で割り切れる場合 。右辺は、pにおけるオイラー因子が除去されていることを除いて、通常のディリクレL関数と同じです。そうでない場合は、 p進連続ではありません。右辺の連続性は、クンマー合同式と密接に関連しています。

nがp − 1で割り切れない場合は、 通常はこの条件は成立しない。代わりに、

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}$

正の整数nに対して。ここで χ はTeichmüller 指標ωの累乗でねじれます。

p進L関数は、 p進プロ有限ガロア群上のp進測度（またはp進超関数）と考えることもできます。この観点と Kubota–Leopoldt の元の観点（Z _p上のQ _p値関数として）との間の変換は、Mazur–Mellin 変換（および類体理論）を介して行われます。

Deligne & Ribet (1980) は、Serre (1973) の以前の研究を基に、全実体に対する解析的p進L関数を構築しました。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979) も独立して同じことを行いましたが、彼らのアプローチはL値の研究に対する Takuro Shintani のアプローチに従っていました。

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• Cassou-Noguès、Pierrette (1979)、「Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques」、Inventiones Mathematicae、51 (1): 29–59、Bibcode :1979InMat..51...29C、doi :10.1007/BF01389911、ISSN  0020-9910、MR  0524276
• コーツ、ジョン (1989)、「p 進 L 関数について」、アステリスク(177): 33–59、ISSN  0303-1179、MR  1040567
• Colmez, Pierre (2004)、フォンテーヌ環と p 進 L 関数(PDF)
• ピエール・ドリーニュ、ケネス・A・リベット（1980）「全実数体上の負の整数におけるアーベルL関数の値」、Inventionses Mathematicae、59（3）：227–286、Bibcode：1980InMat..59..227D、doi：10.1007/BF01453237、ISSN  0020-9910、MR  0579702
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• 岩沢健吉（1972）『p進L関数の講義』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08112-0、MR  0360526
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