Z関数

数学において、Z関数は、リーマンゼータ関数を、引数が半分である臨界線に沿って研究するために使用される関数です。リーマン-ジーゲルZ関数、リーマン-ジーゲルゼータ関数、ハーディ関数、ハーディZ関数、ハーディゼータ関数とも呼ばれます。リーマン-ジーゲルシータ関数とリーマンゼータ関数 の観点から次のように定義できます。

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

リーマンゼータ関数の関数方程式から、 Z 関数はtの実数値に対して実数であることがわかります。これは偶関数であり、実数値に対しては実解析的関数です。リーマン・ジーゲル・シータ関数とリーマンゼータ関数は両方とも、 tの虚部が -1/2 と 1/2 の間にある臨界ストリップで正則であるという事実から、 Z 関数も臨界ストリップで正則であることがわかります。さらに、 Z ( t )の実数零点は、臨界線に沿ったゼータ関数の零点とまったく同じであり、 Z 関数の臨界ストリップ内の複素零点は、リーマンゼータ関数の臨界ストリップ内の臨界線から外れた零点に対応します。

実数tに対するZ ( t )の値、つまり臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲル公式によって大幅に迅速化される。この公式は、

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}}n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

ここで、誤差項R ( t )は関数R(t)に関して複雑な漸近表現を持つ。

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

およびその導関数。の 場合、${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$${\displaystyle p=u^{2}-N}$

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

ここで省略記号は、さらに高次の、より複雑な用語に進む可能性があることを示しています。

Z(t) の有効な級数は他にも知られており、特に不完全ガンマ関数を使った級数はいくつかある。

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z }^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

特に良い例は

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

臨界線定理から、Z関数の実数零点の密度は

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}$

ある定数c > 2/5 に対して。したがって、与えられたサイズの区間内の零点の数はゆっくりと増加します。リーマン予想が正しい場合、臨界帯内のすべての零点は実零点であり、定数cは 1 です。また、これらの零点はすべて単純零点であると仮定されます。

Z関数はゼロを持つため、振動的な振る舞いをします。また、平均値とピーク値の両方でゆっくりと増加します。たとえば、リーマン予想がなくても、オメガ定理があります。

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}$

ここで、 という表記は、Ω 内の関数で割った値が t の増加に伴ってゼロに近づかないことを意味します。 ${\displaystyle Z(t)}$

Z関数の平均成長についても多くの研究がなされている。二乗平均平方根（略してRMS）平均は、

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

これは、 Z ( t )のRMSサイズが増加することを示しています。 ${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$

この推定値は次のように改善できる。

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

指数を大きくすると、  Zのピーク値に大きく依存する平均値が得られます。4乗の場合は、

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}$

そこから、平均の4乗の4乗根は次のように増加すると結論付けることができる。${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}$

より高い偶数乗はこれまで多くの研究がなされてきたが、それに対応する平均値についてはあまり知られていない。リーマン予想から、次のように推測される。

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}$

が成り立つ。ここで、小文字の「o」は、左辺を右辺で割るとゼロに収束することを意味する。言い換えれば、小文字の「o」はΩの否定である。この予想はリンデレーフ予想と呼ばれ、リーマン予想よりも弱い。通常、重要な同値形式で述べられる。

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon });}$

どちらの形式でも、ピーク値の増加率は高すぎることはないと分かります。この増加率に関する最もよく知られている上限は強くなく、どれでも適切であることを示しています。Z関数がこれに近い速度で増加したことを発見するのは驚くべきことです。リトルウッドはリーマン予想に基づいて、 ${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0.156}$

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}$

そして、これははるかに可能性が高いと思われます。

• エドワーズ、HM (1974)。リーマンのゼータ関数。純粋および応用数学。第58巻。ニューヨーク-ロンドン：アカデミックプレス。ISBN 0-12-232750-0.ZBL0315.10035  。​
• イヴィッチ、アレクサンダル（2013）。ハーディのZ関数の理論。ケンブリッジ数学論文集。第196巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-02883-8.ZBL1269.11075  。​
• Paris, RB; Kaminski, D. (2001).漸近論とメリン・バーンズ積分. 数学とその応用百科事典. 第85巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-79001-8.ZBL 0983.41019  .
• ラマチャンドラ、K. (1996 年 2 月)。リーマン ゼータ関数の平均値とオメガ定理に関する講義。数学と物理学に関する講義。数学。タタ基礎研究所。第 85 巻。ベルリン: Springer- Verlag。ISBN 3-540-58437-4.ZBL0845.11003  .​
• Titchmarsh, EC (1986) [1951]. Heath-Brown, DR (編).リーマンゼータ関数の理論(第2改訂版). Oxford University Press .

• ワイスタイン、エリック W.「リーマン – シーゲル関数」。マスワールド。
• Wolfram Research – リーマン・ジーゲル関数 Z (関数のプロットと評価を含む)