メルテンス関数

数論では、メルテンス関数はすべての正の整数 nに対して次のように 定義されます。

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

ここで、はメビウス関数です。この関数はフランツ・メルテンスにちなんで名付けられました。この定義は次のように 正の実数に拡張できます。${\displaystyle \mu (k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

より形式的には、素因数が偶数であるxまでの平方自由整数の数から、奇数である素因数の数を引いたものです。 ${\displaystyle M(x)}$

最初の143個のM ( n )値は（OEISの配列A002321） である。

メルテンス関数は平均とピーク値の両方でゆっくりと正と負の方向に増加し、nが次の値を持つ ときにゼロを通過する、一見無秩序な方法で振動します。

2、39、40、58、65、93、101、145、149、150、159、160、163、164、166、214、231、232、235、236、238、254、329、331、 332、333、353、355、356、358、362、363、364、366、393、401、403、404、405、407、408、413、414、419、420、422、423、 424、425、427、 428、...（OEISの配列A028442）。

メビウス関数は−1、0、+1の値しか取らないため、メルテンス関数はゆっくりと動き、 | M ( x )| >  xとなるxは存在しない。H. Davenport ^[1]は、任意の固定hに対して、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

は 一様に となる。これは、${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

メルテンス予想はさらに進んで、メルテンス関数の絶対値がxの平方根を超えるx は存在しないとしました。メルテンス予想は、1985 年にAndrew OdlyzkoとHerman te Rieleによって誤りであることが証明されました。しかし、リーマン予想は、 M ( x ) の増加に関するより弱い予想、つまりM ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} )と同等です。M ( x ) の高い値は少なくとも と同じ速さで増加するため、増加率にかなり厳しい制限が課せられます。ここで、Oは大きな O 表記を指します。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

M ( x )の真の成長率はわかっていない。スティーブ・ゴネックの未発表の予想では、

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

この予想に対する確率論的証拠はネイサン・ングによって与えられている。^[2]特にングは関数が上で極限分布を持つことを条件付きで証明している。つまり、実数上の すべての有界リプシッツ連続関数に対して、${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

リーマンゼータ関数についての様々な予想を仮定すると。

オイラー積を用いると、

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

ここで はリーマンゼータ関数であり、積は素数で取られます。このディリクレ級数をペロンの公式と組み合わせると、次式が得られます。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

ここでc >1です。

逆にメリン変換は

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

これは に当てはまります。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

メルテンス自身が示した第2チェビシェフ関数に関する興味深い関係は、

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

リーマンゼータ関数に複数の非自明な零点がないと仮定すると、留数定理によって「正確な式」が得られます。

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

ワイルは、メルテンス関数が近似関数微分方程式を満たすと予想した。

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

ここで、H ( x )はヘヴィサイドステップ関数、Bはベルヌーイ数、 tに関するすべての導関数はt  = 0 で評価されます。

また、メビウス関数とリーマンゼータ関数の零点の和を含むトレース公式も存在する。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

ここで、右辺の最初の和はリーマンゼータ関数の非自明な零点についてとられ、( g ,  h )はフーリエ変換によって次のように 関連付けられる。

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

メルテンス関数の別の式は

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

ここで、 はn次ファレイ数列です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

この式はフランネル・ランダウの定理の証明に使われる。^[3]

M ( n ) はn  ×  nのRedheffer 行列の行列式です。Redheffer 行列は、jが 1 であるか、i がj を割り切る場合にa _ijが 1 になる(0, 1) 行列です 。

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

メルテンス関数を展開するこの定式化^{[要出典]は、}ピルツ因子問題を考慮することによって得られる漸近境界を示唆しており、これは、因子関数の和関数の漸近推定値を計算するディリクレ因子問題を一般化したものである。

^[4]から 、

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

さらに、^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

ここで、 はトーティエント総和関数です。 ${\displaystyle \Phi (n)}$

前述のどちらの方法でも、メルテンス関数を計算する実用的なアルゴリズムは得られません。素数計算で使用されるものと同様のふるい法を使用して、メルテンス関数はxの増加範囲までのすべての整数に対して計算されています。^{[6] [7]}

xまでのすべての整数値に対するメルテンス関数は、O ( x log log x )時間で計算できます。1870 年からErnst Meissel、^[8] Lehmer、^[9] Lagarias - Miller - Odlyzko、^[10] Deléglise-Rivat ^{[11]によって段階的に組み合わせアルゴリズムが開発され、} M ( x )の孤立値をO ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 )時間で計算します。2021年にHarald Helfgottと Lola Thompsonがさらに改良し、これをO ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε )に改善しました。^{[12]また、}リーマンゼータ関数の積分に基づく Lagarias と Odlyzko のアルゴリズムでは、実行時間がO ( x ^1/2+ε )になりました。^[13]

10の累乗における M ( x )の値についてはOEIS :A084237を参照してください。

ン氏は、リーマン予想（RH）は

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

正の定数に対して。他の上限は、マイヤー、モンゴメリー、サウンダラジャンによって、RHを仮定して得られている。 ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

RHを仮定しない既知の明示的な上限は次のように与えられる: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

上記の表現を、次のように、より制限が少なくわかりやすい形に簡略化することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

• ペロンの公式
• リウヴィル関数

• エドワーズ、ハロルド（1974）。リーマンのゼータ関数。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-41740-9。
• メルテンス、F. (1897)。 「「Über eine zahlentheoretische Funktion」、 Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich」。クライネ・シッツングスベル、IIA。106 : 761–830。
• オドリズコ, 午前中;テ・リエレ、ハーマン(1985)。 「メルテンス予想の反証」(PDF)。数学に関するジャーナル。357 : 138-160。
• ワイスタイン、エリック W.「メルテンス関数」。マスワールド。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A002321 (Mertens 関数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Deléglise, M. および Rivat, J.「メビウス関数の和の計算」実験。数学。5、291-295、1996。メビウス関数の和の計算
• ハースト、グレッグ (2016)。「メルテンス関数の計算とメルテンス予想の改良された境界」。arXiv : 1610.08551 [ math.NT ]。
• ネイサン・ン、「メビウス関数の加算関数の分布」、ロンドン数学会誌 (3) 89 (2004) 361-389。[1]