数学 において、p 進ゼータ関数p 進L 関数は、リーマンゼータ関数 、あるいはより一般的なL 関数定義域 と像域が p進 （p は素数 ）である。例えば、定義域はp 進整数Z p プロ有限p 群 、あるいはp進 ガロア表現 族であり、像域はp 進数Q p 代数的閉包 である。
p 進L 関数の源は、2 種類の 1 つに分けられます。最初の源は、L 関数の特殊値の p 進補間によるもので、これは、久保田富雄 とハインリヒ・ヴォルフガング・レオポルドが p 進L 関数 の最初の構成を与えたものです( 久保田 & レオポルド 1964 ) 。たとえば、久保田とレオポルドは、ベルヌーイ数 に対するクンマーの合同式を使用して、 p 進L 関数、すなわち p 進リーマン ゼータ関数 ζ p s )を構成しました。この関数の負の奇数における値は、負の奇数におけるリーマン ゼータ関数の値 (明示的な補正係数を除いて) と一致します。このようにして生じるp 進L関数は、通常、 解析的 p 進 L 関数 と呼ばれます。p 進L 関数のもう一つの主要な源泉は、岩澤健吉 によって最初に発見されたもので、 円分体 の算術、より一般的には円分体の塔 、あるいはさらに一般的な塔上の特定のガロア加群 に由来する。このようにして生じるp 進L 関数は、関係するガロア加群の算術データを符号化しているため、通常は算術 p 進 L 関数と呼ばれる。 岩澤理論の主な予想（現在は バリー・マズール とアンドリュー・ワイルズ による定理）は、久保田-レオポルドp 進L 関数と岩澤理論によって構築された算術的類似関数が本質的に同じであるという主張である。解析的 p 進 L 関数と算術的p 進L 関数の両方が構築される（または期待される）より一般的な状況では、それらが一致するという主張が、その状況における岩澤理論の主な予想と呼ばれる。このような推測は、 L 関数の特殊な値には算術的な情報が含まれているという哲学に関する形式的な記述を表している。
ディリクレL 関数 ディリクレL 関数は、次の解析接続 によって与えられる。
L （ s 、 χ ） = ∑ n χ （ n ） n s = ∏ p プライム 1 1 − χ （ p ） p − s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}} 負の整数におけるディリクレL関数は次のように与えられる。
L （ 1 − n 、 χ ） = − B n 、 χ n {\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}} ここで、 B n 、χ 一般化ベルヌーイ数 である。
∑ n = 0 ∞ B n 、 χ t n n ! = ∑ 1 = 1 f χ （ 1 ） t e 1 t e f t − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}} χ は導手fを持つ ディリクレ指標 である。
補間を用いた定義 久保田・レオポルドのp 進L 関数L p s , χ ) は、 p におけるオイラー因子を除去したディリクレL 関数を補間します。より正確には、L p s , χ ) は、 p 進数s の唯一の連続関数であり、
L p （ 1 − n 、 χ ） = （ 1 − χ （ p ） p n − 1 ） L （ 1 − n 、 χ ） {\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi (p)p^{n-1}\right)L(1-n,\chi )} 正の整数n が p − 1で割り切れる場合 。右辺は、p におけるオイラー因子が除去されている点を除いて、通常のディリクレL関数です。そうでないと、 p 進的に連続ではなくなります。右辺の連続性は、クンマーの合同式 と密接に関係しています。
nが p - 1で割り切れない場合、これは通常成り立ちません。代わりに
L p （ 1 − n 、 χ ） = （ 1 − χ ω − n （ p ） p n − 1 ） L （ 1 − n 、 χ ω − n ） {\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1}\right)L\left(1-n,\chi \omega ^{-n}\right)} 正の整数n に対して。ここでχは タイヒミュラー指標 ω のべき乗でねじられています。
p 進尺度として見た場合p 進L関数は、 pプロ有限ガロア群上の p 進測度p 進分布Z p 上のQ p 、マズール-メリン変換 (および類体論 )を介して行われます。
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