メルテンス予想

数学において、メルテンス予想とは、メルテンス関数が によって有界であるという主張である。現在では反証されているが、この予想はリーマン予想を意味することが示されていた。この予想は、トーマス・ヨハンネス・スティルチェスが 1885 年にシャルル・エルミートに宛てた手紙（スティルチェス(1905) に再録）で予想され、フランツ・メルテンス(1897) によって再び印刷され、アンドリュー・オドリツコとヘルマン・テ・リーレ(1985) によって反証された 。これは、数学的予想が、それを支持する大量の計算上の証拠があるにもかかわらず誤りであると証明された顕著な例である。 ${\displaystyle M(n)}$${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$

数論では、メルテンス関数は次のように定義される。

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k),}$

ここで、μ(k)はメビウス関数である。メルテンス予想は、すべてのn > 1 に対して、

${\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}.}$

スティルチェスは1885年に、より弱い結果、すなわち が有界であることを証明したと主張したが、証明は公表しなかった。^[1]（ に関して、メルテンス予想は となる。） ${\displaystyle m(n):=M(n)/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle m(n)}$${\displaystyle -1<m(n)<1}$

1985年、アンドリュー・オドリツコとヘルマン・テ・リーレは、レンストラ・レンストラ・ロヴァースの格子基底縮約アルゴリズムを用いてメルテンス予想が誤りであることを証明した。^{[2] [3]}

${\displaystyle \liminf m(n)<-1.009}$  そして  ${\displaystyle \limsup m(n)>1.06.}$

その後、最初の反例は^[4]より下だが 10 ¹⁶より上に現れることが示されました。^[5]それ以来、上限は^[6]または近似値に下げられ、その後再び に下げられました。^[7] 2024 年に、Seungki Kim と Phong Nguyen は上限を に下げましたが、^[8]明示的な反例は知られていません。 ${\displaystyle e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}}$${\displaystyle e^{1.59\times 10^{40}}}$${\displaystyle 10^{6.91\times 10^{39}},}$${\displaystyle e^{1.017\times 10^{29}}\approx 10^{4.416\times 10^{28}}}$${\displaystyle e^{1.96\times 10^{19}}\approx 10^{8.512\times 10^{18}}}$

反復対数の法則によれば、μ を+1 と -1 のランダムなシーケンスに置き換えると、最初のn項の部分和の増加の順序は (確率 1 で) 約√ n log log n となり、これはm ( n )の増加の順序が√ log log nのあたりになる可能性があることを示唆しています。実際の増加の順序はいくらか小さい可能性があります。1990 年代初頭、Steve Gonek はm ( n )の増加の順序がであると推測しました^[9]。これは、リーマン予想とリーマンゼータ関数の零点の平均的動作に関する特定の推測を前提としたヒューリスティックな議論に基づいて、Ng (2004) によって確認されました。^[9]${\displaystyle (\log \log \log n)^{5/4},}$

1979年にコーエンとドレス^[10]は、 M (7766842813) = 50286の既知の最大値を発見し、2011年にクズネツォフは、 M (11609864264058592345) = −1995900927の既知の最大の負の値（絶対値の意味で）を発見しました。 ^{[11] 2016年にハーストは、n} ≤ 10 ¹⁶のすべてのnについてM ( n )を計算しましたが、 m ( n )のそれより大きな値は見つけられませんでした。^[5]${\displaystyle m(n)\approx 0.570591}$${\displaystyle m(n)\approx -0.585768}$

2006年にコトニックとテ・リーレは上限を改良し、m ( n )>1.2184となるnの値は無限に存在することを示したが、そのようなnの具体的な値は示さなかった。^[12] 2016年にハーストは更なる改良を行い、

${\displaystyle \liminf m(n)<-1.837625}$  そして  ${\displaystyle \limsup m(n)>1.826054.}$

リーマン予想との関連は、リーマンゼータ関数 の逆数のディリクレ級数に基づいている。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}, }$

領域 で有効である。これをスティルチェス積分として書き直すことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(s)>1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}dM(x)}$

部分積分した後、ゼータ関数の逆数をメリン変換として得る。

${\displaystyle {\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}{x}}.}$

メリン反転定理を用いると、 Mを1 ⁄ ζで次のように表すことができる。

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds}$

これは1 < σ < 2で有効であり、リーマン予想では1 ⁄ 2 < σ < 2で有効です。このことから、メリン変換積分は収束するはずであり、したがって、 指数eが⁠より大きい場合、 M ( x )はO ( x ^e )でなければなりません。1/2⁠ . このことから、

${\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon }{\Big )}}$

εが正の値であれば、リーマン予想と同値であり、より強いメルテンス予想から導かれるものであり、スティルチェスの予想から次のようになる。

${\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}{\Big )}.}$

• Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006)。「メルテンス予想の再考」。Hess, Florian (編)。アルゴリズム数論。第 7 回国際シンポジウム、ANTS-VII、ベルリン、ドイツ、2006 年 7 月 23 ～ 28 日。議事録。コンピュータ サイエンスの講義ノート。第 4076 巻。ベルリン: Springer-Verlag。pp . 156 ～ 167。doi :10.1007/ 11792086_12。ISBN 3-540-36075-1.ZBL1143.11345  .​
• Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004). 「Mertens関数の順序について」(PDF) .実験数学. 13 (4): 473–481. doi :10.1080/10586458.2004.10504556. S2CID  2093469. 2007-04-03にオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• メルテンス、F. (1897)。 「ユーバーアイネザーレン理論機能」。Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften、Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse、Abpeilung 2a。106 : 761–830。
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• ピンツ、J. (1987)。 「メルテンス予想の効果的な反証」(PDF)。アステリスク。 147–148: 325–333。ズブル 0623.10031。
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)、整数論ハンドブック I、ドルドレヒト: Springer-Verlag、187–189 ページ、ISBN 1-4020-4215-9、Zbl  1151.11300
• Stieltjes、TJ (1905)、「Lettre a Hermite de 11 juillet 1885、Lettre #79」、Baillaud、B. Bourget, H. (編)、Correspondance d'Hermite et Stieltjes、パリ: Gauthier—Villars、160–164 ページ

• ワイスタイン、エリック・W.「メルテンス予想」。マスワールド。

• 「素数の驚き（メルテンス予想）」。Numberphile 2020年1月23日。2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。