メビウス関数

メビウス関数を生成するディリクレ級数は、リーマンゼータ関数の（乗法）逆関数である。${\displaystyle s}$は実部が 1 より大きい複素数です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

これはオイラー積からわかる。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

また：

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$どこ${\displaystyle \gamma }$はオイラー定数です。

メビウス関数のランベルト級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

これは、${\displaystyle |q|<1}$プライム会員向け$\alpha \geq 2$また、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

ガウス^{[ 1 ]}は素数に対して${\displaystyle p}$その原始根の和は、${\displaystyle \mu (p-1)\mod p}$。

もし${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$位数の有限体を表す${\displaystyle q}$（どこ${\displaystyle q}$は必ず素数のべき乗である)、その数は${\displaystyle N}$次数が の単項既約多項式の${\displaystyle n}$以上${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$^{[ 5 ]}で与えられる

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

メビウス関数は、メビウス反転公式で使用されます。

The Möbius function also arises in the primon gas or free Riemann gas model of supersymmetry. In this theory, the fundamental particles or "primons" have energies ${\displaystyle \log(p)}$. Under second quantization, multiparticle excitations are considered; these are given by ${\displaystyle \log(n)}$ for any natural number${\displaystyle n}$. This follows from the fact that the factorization of the natural numbers into primes is unique.

In the free Riemann gas, any natural number can occur, if the primons are taken as bosons. If they are taken as fermions, then the Pauli exclusion principle excludes squares. The operator ${\displaystyle (-1)^{F}}$ that distinguishes fermions and bosons is then none other than the Möbius function ${\displaystyle \mu (n)}$.

The free Riemann gas has a number of other interesting connections to number theory, including the fact that the partition function is the Riemann zeta function. This idea underlies Alain Connes's attempted proof of the Riemann hypothesis.^[6]

The formula

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

can be written using Dirichlet convolution as: ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$ where ${\displaystyle \varepsilon }$ is the identity under the convolution.

この公式を証明する一つの方法は、2つの乗法関数のディリクレ畳み込みが再び乗法関数であることに注目することです。したがって、素数のべき乗について公式を証明すれば十分です。実際、任意の素数に対して ${\displaystyle p}$そしてどんな${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$、

その間${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$。

メビウス関数の平均値（平均次数という意味で）はゼロである。この記述は、実際には素数定理と同等である。^{[ 10 ]}

${\displaystyle \mu (n)=0}$かつその場合に限り${\displaystyle n}$素数の平方で割り切れる。この性質を持つ最初の数は

4、8、9、12、16、18、20、24、25、27、28、32、36、40、44、45、48、49、50、52、54、56、60、63、... （ OEISの配列A013929）。

もし${\displaystyle n}$素数である場合、${\displaystyle \mu (n)=-1}$しかし、その逆は真ではない。最初の非素数${\displaystyle n}$そのために${\displaystyle \mu (n)=-1}$は${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$3つの異なる素因数を持つ最初の数（球形数）は

30、42、66、70、78、102、105、110、114、130、138、154、165、170、174、182、186、190、195、222、... （ OEISのシーケンスA007304）。

そして、5つの異なる素因数を持つ最初の数は

2310、2730、3570、3990、4290、4830、5610、6006、6090、6270、6510、6630、7410、7590、7770、7854、8610、8778、8970、9030、9282、9570、9690、... （ OEISの配列A046387）。

組み合わせ論において、局所的に有限な半順序集合（poset）には必ず接続代数が割り当てられます。この代数の重要な構成要素の一つが、その半順序集合の「メビウス関数」です。本稿で扱う古典的なメビウス関数は、本質的には、整除性によって半順序付けられたすべての正の整数の集合のメビウス関数と等しくなります。これらの一般的なメビウス関数の正確な定義といくつかの例については、接続代数に関する記事を参照してください。

メビウス関数は乗法関数であるため、その（反復）ディリクレ畳み込みも乗法関数である。${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$になる${\displaystyle k}$メビウス関数とそれ自身との - 重ディリクレ畳み込み。すると次のようになる。$${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}}$$ ここで、二項係数は、${\displaystyle a>k}$^{[ 12 ]}この定義は複雑なものにも拡張できる。${\displaystyle k}$二項式を多項式として読むことで${\displaystyle k}$[ ^{13 ]​}