リース関数

数学において、リース関数は、リーマン予想に関連してマルセル・リースによって定義された整関数であり、べき級数によって定義される。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left({\frac {-x}{n^{2}}}\right).}$

と設定すれば、ゼロ付近の双曲コタンジェント（または同等の通常のコタンジェント）の ローラン級数展開の係数で定義できる。${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {リース}}(4\pi ^{2}x)}$

${\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }$

は次のように定義される 。${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }$

の値はkの増加とともに1に近づき、リース関数の級数をの級数と比較すると、それが完全な関数を定義していることがわかります。あるいは、Fは次のように定義されます 。${\displaystyle \zeta (2k)}$${\displaystyle x\exp(-x)}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}.\ }$

${\displaystyle n^{\overline {k}}}$はDE Knuthの表記法で階乗の上昇を表し、数はベルヌーイ数です。この級数は交互項の 1 つであり、 の値が負に大きくなるにつれて関数は急速に負の無限大に近づきます。 の値が正の場合、より興味深く繊細です。 ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )}$

より大きい任意の指数に対して成り立ちます。ここでこれはビッグオー記法で、正と負の両方の値を取ります。リースは、リーマン予想は、上記がより大きい任意のeに対して成り立つという主張と同等であることを示しました。^[1]同じ論文で、彼はやや悲観的な注釈も付け加えています。 「この条件が仮説の検証を容易にするかどうかはまだ判断できません」。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1/4}$

リース関数はメリン変換を介してリーマンゼータ関数と関連している。

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\rm {リース}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {リース}}(z)z^{s}{ \frac {dz}{z}}}$

すると、 ${\displaystyle \Re (s)>-1}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {リース}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

収束しますが、成長条件から次の ことが分かります。${\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {リース}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

収束します。これをまとめると、リース関数のメリン変換がストリップ上で定義されていることがわかります。このストリップ上では、（ラマヌジャンのマスター定理を参照）${\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))}$

逆メリン変換から、リース関数の式は次のようになる。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)} }z^{-s}ds}$

ここで、c はマイナス 1 からマイナス 1/2 までです。リーマン予想が正しい場合、積分線をマイナス 1/4 未満の任意の値に移動できるため、リース関数の 4 乗根増加率とリーマン予想は等価になります。

マクローリン級数の係数は、の 40 番目の項で最大値に達するまで絶対値が増加します。109 番目の項までに絶対値は 1 未満に低下します。 の最初の 1000 項を取得すれば、 に対する の非常に正確な値を得ることができます。ただし、これには、分子または分母の係数が大きい有理数演算を使用するか、100 桁を超える浮動小数点計算を使用して、1000 次多項式を評価する必要があります。別の方法としては、上で定義した逆メリン変換を使用して数値積分する方法があります。どちらの方法も計算上は簡単ではありません。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle -1.753\times 10^{17}}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle |z|<9}$

もう一つのアプローチは、収束の加速を利用することです。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k -1)!\ゼータ (2k)}}.}$

kが大きくなるにつれて1に近づくので、この級数の項は ${\displaystyle \zeta (2k)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)}$実際、リース氏は次のように述べています。${\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(x/n^{2})=x\exp(-x)}.}$

クンマーの収束加速法を用いると、

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}$

収束率が向上しました。

このプロセスを継続すると、収束特性がはるかに優れた Riesz 関数の新しい級数が得られます。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k -1)!\ゼータ (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{ -2k}\右)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}$

ここでメビウスのミュー関数は、項の並び替えは絶対収束によって正当化される。ここで再びクンマー法を適用して、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}$

の項は、最終的には の 4 乗に反比例して減少します。 ${\displaystyle n}$

上記の級数はどこでも絶対収束するため、項ごとに微分することができ、リース関数の導関数の次の式が得られます。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)}$

これは次のように並べ替えられる。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}$

マレク・ウルフは^[2]でリーマン予想を仮定して、大きな に対して次が成り立つことを示した。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)\sim Kx^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right)}$

ここで、はゼータ関数の最初の非自明な零点の虚数部であり、である。これは、1964年にハーバート・ウィルフによって証明されたリース関数の零点に関する一般定理と一致する。^[3]${\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...}$${\displaystyle K=7.7750627...\times 10^{-5}}$${\displaystyle \phi =-0.54916...=-31,46447^{\circ }}$

0 から 50 までの範囲のプロットは上記に示されています。このグラフは、それほど急速な成長を示しておらず、リーマン予想が正しいことを示す良い兆候であると考えられます。

GHハーディとJEリトルウッド^{[4] [5]は}同様の方法により、リーマン予想は、より大きい任意の指数に対して以下が成り立つという主張と同等であることを証明した。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle -1/4}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\zeta (2k+1)}}=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty ).}$

• ティッチマーシュ, EC ,リーマンゼータ関数の理論、第2改訂版（ヒース・ブラウン版）、オックスフォード大学出版局、1986年、[第14.32節 ]