岩沢理論

数論において、岩澤理論は数体の無限塔上の算術的興味の対象の研究である。岩澤理論はイデアル類群のガロア加群理論として始まり、円分体理論の一部として岩澤健吉 (1959) によって提唱さ れた。1970 年代初頭、バリー・メイザーは岩澤理論のアーベル多様体への一般化を検討した。より最近 (1990 年代初頭)、ラルフ・グリーンバーグはモチーフに対する岩澤理論を提唱した。

岩澤は、いわゆる-拡大、すなわちある素数pに対してp 進整数の加法群と同型のガロア群を持つ数体の無限拡大を研究した。（これらは初期の論文では -拡大と呼ばれていた。^[1]） のすべての閉部分群は の形になるので、ガロア理論によれば、-拡大は体の塔と同じものである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle F_{\infty }/F}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty}}$

岩澤は、上の古典的なガロア加群の構造について質問することによって、上の加群を研究した。${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{\infty }.}$

より一般的には、岩澤理論は、ガロア群がp進リー群である拡大上のガロア加群の構造について疑問を投げかけます。

を素数とし、を 上に の 1 の累乗根によって生成される体とします。岩澤は次の数体の塔を考察しました。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

ここで、p n ^+1次単位根 に付加して生成されるフィールドであり、${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

という事実は、無限ガロア理論により、次のことを意味します。興味深いガロア加群を得るために、岩澤は の理想類群を取り、 をそのp -捩れ部分としました。のときは常にノルム写像が存在し、これは逆システムのデータを与えます。 と設定すると、 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p }.}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

逆極限構成から が上の加群であることは容易に分かる。実際、は岩沢代数上の加群である。これは2 次元の正則局所環であり、これにより 上の加群を記述することができる。この記述から、の類群のp部分に関する情報を復元することができる。${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$${\displaystyle K.}$

ここでの動機は、の理想類群におけるp捩れが、フェルマーの最終定理の直接証明に対する主な障害としてクンマーによってすでに特定されていたことです。 ${\displaystyle K}$

1950 年代のこの始まりから、実質的な理論が構築されてきました。モジュール理論と、1960 年代に久保田とレオポルドによって定義されたp 進 L 関数の間には基本的なつながりが認められました。後者はベルヌーイ数から始まり、補間を使用してディリクレ L 関数の p 進類似物を定義します。理論は最終的に、正則素数に関するクンマーの 100 年前の結果から前進する見込みがあることが明らかになりました。

岩澤は、p 進 L 関数を定義する 2 つの方法 (モジュール理論による方法、補間による方法) は、明確に定義されている限りにおいて一致するはずであるという主張として、岩澤理論の主要予想を定式化した。これは、 に対して Mazur と Wiles (1984) によって証明され、すべての完全実数体に対してWiles (1990) によって証明された。これらの証明は、ケン・リベットによるエルブランの定理の逆の証明 (いわゆるエルブラン-リベットの定理)をモデルにしている。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

カール・ルービンは、ラング（1990年）とワシントン（1997年）で説明されているコリヴァギンのオイラー系を使用して、マズール・ワイルズの定理のより基本的な証明を見つけ、後に虚二次体に対する主予想の他の一般化を証明した。

無限塔のガロア群、開始体、および研究される算術モジュールの種類はすべて変えることができます。いずれの場合も、塔をp進 L 関数 に結び付ける主な予想があります。

2002年、クリストファー・スキナーとエリック・アーバンは、GLの主要予想の証明を主張しました（2）。2010年に彼らはプレプリントを発表しました（Skinner & Urban 2010）。

• フェレロ・ワシントン定理
• 数体のTateモジュール

出典

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• グリーンバーグ、ラルフ(2001)、「岩澤理論---過去と現在」、三宅克也 (編)、類体理論---その百年と展望 (東京、1998)、純粋数学研究会誌、第30巻、東京: 日本数学会、pp. 335–385、ISBN 978-4-931469-11-2、MR  1846466、Zbl  0998.11054
• 岩沢 健吉(1959)、「代数体の Γ 拡張について」、米国数学協会紀要、65 (4): 183–226、doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7、ISSN  0002 -9904、MR  0124316、Zbl  0089.02402
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• ラング、セルジュ（1990）、円分体IおよびII、Graduate Texts in Mathematics 、第121巻、カール・ルービンによる付録付き（第2版を統合）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96671-7、ZBL  0704.11038
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• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg、Kay (2008)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323 (第 2 版)、ベルリン: Springer-Verlag、土井:10.1007/978-3-540-37889-1、ISBN 978-3-540-37888-4、MR  2392026、Zbl  1136.11001
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引用

• de Shalit, Ehud (1987)、「複素乗算を伴う楕円曲線の岩澤理論。p進L関数」、数学の展望、第3巻、ボストンなど：Academic Press、ISBN 978-0-12-210255-4、Zbl  0674.12004

• 「岩澤理論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]