ローカルゼータ関数

数学では、局所ゼータ関数Z ( V , s )  (合同ゼータ関数またはハッセ・ヴェイユゼータ関数とも呼ばれる) は次のように定義される。

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

ここで、Vは体F _q上の非特異なn次元射影代数多様体であり、 q個の要素を持ち、 N _kはF _qの有限体拡大F _{q ^k}上で定義されたVの点の数である。^{[ 1 ]}

変数変換t  = q ^{− s} を行うと、

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

変数の形式的べき級数として${\displaystyle t}$。

同様に、局所ゼータ関数は次のように定義されることもあります。

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

言い換えれば、有限体F _qの係数を持つ局所ゼータ関数Z ( V , t ) は、その 対数微分が次数k拡大F _{q ^k}におけるVを定義する方程式の解の数N _kを生成する関数として定義される。

有限体Fが与えられたとき、同型を除いて、 を満たす体F _kはただ一つだけ存在する。

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$、

k = 1, 2, ...の場合。Fがq個の要素を持つ唯一の体である場合、F _kは、$\displaystyle q^{k}}$要素。F上で定義された多項式方程式の集合、または代数多様体Vが与えられた場合、要素の数を数えることができます。

${\displaystyle N_{k}\,}$

F _kの解の生成関数を作成する

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$。

Z ( t )の正しい定義は、log ZをGに等しく設定することなので、

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

G (0 ) = 0 なのでZ (0) = 1であり、Z ( t ) は先験的に形式的なべき級数である。

対数微分

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

生成関数に等しい

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$。

例えば、すべてのN _{k が}1 であると仮定します。これは、例えばX = 0 のような方程式から始める場合に発生し、幾何学的にはV を点とみなします。

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

これは対数の展開です（| t | < 1 の場合）。この場合、次のようになります。

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

さらに興味深い例として、V をF上の射影直線とします。Fがq個の要素を持つ場合、これはq + 1 個の点を持ち、その中には無限遠点も含まれます。したがって、次のようになります。

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

そして

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

| t |が十分に小さい場合、したがって

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

これらの関数の最初の研究は、1923 年のエミール・アルティンの博士論文で行われた。彼は超楕円曲線の場合の結果を得て、曲線に適用した場合の理論のさらなる主要な点を推測した。その後、この理論はFK シュミットとヘルムート・ハッセによって発展した。^{[ 2 ]}局所ゼータ関数の最も初期の非自明なケースは、カール・フリードリヒ・ガウスの『算術研究』第 358 条に暗黙のうちに含まれている。そこでは、複素乗法を持つ有限体上の楕円曲線の特定の例が、円分割によって点の数えられている。^{[ 3 ]}

定義といくつかの例については、こちらも参照してください。^{[ 4 ]}

GとZの定義の関係は、様々な方法で説明できます。（例えば、下記のZの無限積公式を参照してください。）実際には、 Zはtの有理関数になります。これは、 Vが有限体上の楕円曲線である場合でも興味深いことです。

ローカルZゼータ関数を乗算してグローバルな値を得る${\displaystyle \zeta }$ゼータ関数、

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

これらは一般的に異なる有限体（例えば、p がすべての素数を走るときの体Z / p Zの族全体）に関係します。

これらの分野では、変数tはp ^−sに置き換えられます。ここでsは、従来ディリクレ級数で用いられてきた複素変数です。（詳細はハッセ・ワイルのゼータ関数を参照してください。）

したがって、前のセクションで例として用いた2つのケースにおけるZのグローバル積は次のようになる。$\displaystyle \zeta (s)$そして${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$許可した後${\displaystyle q=p}$。

非特異なF上の射影曲線Cについては、以下が示せる。

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

P ( t )は次数2gの多項式であり、gはCの種数である。

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

有限体上の曲線に関するリーマン予想は、

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

例えば、楕円曲線の場合、根は2つあり、根の絶対値がq ^1/2であることは容易に示せます。ハッセの定理によれば、根の絶対値は等しく、これは点の数に直接的な影響を与えます。

アンドレ・ヴェイユは、 1940年頃に一般の場合についてこれを証明しました（Comptes Rendus誌、1940年4月号）。その後、彼は関連する代数幾何学の記述に多くの時間を費やしました。これが彼を一般ヴェイユ予想へと導きました。アレクサンダー・グロタンディークは、これらの予想を解決するためにスキーム理論を開発しました。一世代後、ピエール・ドリーニュが証明を完成させました。（一般理論の基本式については、エタールコホモロジーを参照してください。）

フロベニウス射に対するレフシェッツのトレース公式から、

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

ここ${\displaystyle X}$は有限体F上の有限型の分離スキームであり、${\displaystyle q}$要素、そして Frob _qは幾何学的フロベニウスであり、${\displaystyle \ell }$コンパクトサポートを持つ -進エタールコホモロジー${\displaystyle {\overline {X}}}$リフト${\displaystyle X}$体Fの代数的閉包へ。これは、ゼータ関数が有理関数であることを示している。${\displaystyle t}$。

無限積公式 ${\displaystyle Z(X,t)}$は

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

ここで、積はXのすべての閉点xを網羅し、deg( x ) はxの次数です。局所ゼータ関数Z(X, t) は、変数変換q ^−sを介して複素変数sの関数として見なされます。

Xが上述の多様体Vである場合、閉点は、点Pの同値類x=[P]である。${\displaystyle {\overline {V}}}$ここで、2 つの点は、 F上で共役である場合に等価である。xの次数は、 P の座標によって生成されるFの体拡張の次数である。無限積Z(X, t)の対数微分は、上で議論した生成関数、すなわち、であることが容易にわかる。

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$。

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