オイラー積

数論において、オイラー積とは、ディリクレ級数を素数で添え字付けされた無限積に展開したものである。元々は、レオンハルト・オイラーによって証明されたように、すべての正の整数をあるべき乗に累乗した和として定義されていた。この級数とその複素平面全体への拡張は、後にリーマンゼータ関数として知られるようになった。

一般に、a が有界乗法関数である場合、ディリクレ級数は

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

に等しい

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

ここで、積は素数pについて取られ、P ( p , s )は和である。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

実際、これらを形式的な生成関数と考えると、このような形式的なオイラー積展開の存在は、a ( n )が乗法的であるための必要十分条件となります。これは、nが異なる素数pの^べき乗pkの積として因数分解されるとき、a ( n )がa ( pk )の積であることを意味します。

重要な特殊なケースは、a ( n )が全乗法性を持つ場合であり、その場合P ( p , s )は等比級数となる。すると

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

リーマンゼータ関数の場合、a ( n )=1となり、より一般的にはディリクレ指標の場合も同様です。

実際には、重要なケースはすべて、無限級数展開と無限積展開が何らかの領域で絶対収束するようなものである。

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

すなわち、複素数におけるある右半平面において、無限積が収束するためにはゼロでない値を与える必要があるため、このことから既に何らかの情報が得られます。したがって、無限級数によって与えられる関数は、そのような半平面においてゼロではありません。

モジュラー形式の理論では、分母に二次多項式を含むオイラー積が現れるのが一般的です。ラングランズ哲学全般には、次数mの多項式の関連性やGL _mの表現論に関する同様の説明が含まれています。

以下の例では、表記法を使用します。${\displaystyle \mathbb {P} }$すべての素数の集合、すなわち次のとおりです。

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \mid p{\text{ is prime}}\}.}$

等比級数の和を用いて、リーマンゼータ関数ζ ( s )に付随するオイラー積は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

リウヴィル関数λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )}の場合、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

メビウス関数μ ( n )の2つのオイラー積は、それらの逆数を用いて次のように表される。

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

そして

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

これら2つの比率を取ると

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

偶数sの場合、リーマンゼータ関数ζ ( s )はπ ^sの有理数倍で解析的に表現されるため、偶数指数の場合、この無限積は有理数に評価されます。例えば、ζ (2) = π 2 / ⁶、ζ ( 4 ) = π 4 ^/ 90 、 ζ ( 8 ) = π ⁸ / 9450なので、

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

そして、ラマヌジャンが最初に知った結果に至るまで、以下同様である。この無限積の族は、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

ここで、ω ( n )^はnの異なる素因数の数を表し、2ω ^{( n )}は平方因子を持たない約数の数を表します。

χ ( n )が導手Nのディリクレ指標であり、χが全乗法的で、χ ( n )がn mod Nのみに依存し、nがNと互いに素でない場合はχ ( n ) = 0である場合、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

ここでは、導体Nと積を分けるプライム記号pを省略するのが便利です。

多くのよく知られた定数にはオイラー積展開が存在する。

πに関するライプニッツの公式

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

これは、法4の（一意な）ディリクレ指標を用いたディリクレ級数として解釈でき、超粒子比（分子と分母の差が1である分数） のオイラー積に変換できます。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

ここで、各分子は素数であり、各分母は4の最も近い倍数である。^{[ 1 ]}

オイラー積を分割して${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$前述の製品、バーゼル問題として知られるものから、次のことがわかる。

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right).}$

前の2つの製品の比率を取ると、

${\displaystyle 2=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p-1}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p+1}{p-1}}\right).}$

無限個の積は、素数の昇順で取らなければならない。

既知の定数に対するその他のオイラー積には以下が含まれます。

• ハーディ・リトルウッドの双子素数定数：

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161\ldots }$

• ランダウ・ラマヌジャン定数：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223\ldots \\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223\ldots \end{aligned}}}$

• 村田定数（OEISのシーケンスA065485）：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419\ldots }$

• 非常に気楽な定数× ζ (2) ² OEIS : A065472  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883\ldots }$

• Artin の定数OEIS : A005596  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955\ldots }$

• ランダウの全定数OEIS : A082695  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596\ldots }$

• 無頓着定数× ζ (2) OEIS : A065463  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442\ldots }$

およびその相互OEIS：A065489 ：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562\ldots }$

• フェラー・トルニエ定数OEIS : A065493  :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317\ldots }$

• 二次クラス数定数OEIS : A065465  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513\ldots }$

• 総和定数OEIS : A065483  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

• サルナク定数OEIS : A065476  :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648\ldots }$

• 気楽な定数OEIS : A065464  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249\ldots }$

• 非常に気楽な定数OEIS : A065473  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747\ldots }$

• スティーブンスの定数OEIS : A065478  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959\ldots }$

• バルバン定数OEIS : A175640  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536\ldots }$

• 谷口定数OEIS : A175639  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234\ldots }$

• ヒース・ブラウン定数およびモロズ定数OEIS : A118228  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176\ldots }$