アナトリー・カラツバ

アナトリー・アレクセーエヴィッチ・カラツバ
生まれる	( 1937-01-31 )1937年1月31日 グロズヌイ、ソビエト連邦
死亡	2008年9月28日(2008-09-28)（享年71歳） モスクワ、ロシア
国籍	ロシア
母校	モスクワ国立大学
科学者としてのキャリア
フィールド	数学者
博士課程の指導教員	NM コロボフ

アナトリー・アレクセーヴィチ・カラツバ（ロシア語：Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба、ソビエト連邦、グロズヌイ、1937年1月31日 -ロシア、モスクワ、2008年9月28日^[1]）は、解析的数論、p進数、ディリクレ級数の分野で研究を行ったロシアの数学者である。

彼は学生時代と職業生活のほとんどをモスクワ国立大学の機械工学・数学部に所属し、1966年に「三角関数の和と中間値定理の方法」と題する理学博士号を取得した。 ^{[2]その後、}科学アカデミーのステクロフ数学研究所に勤務した。^[2]

彼の教科書『解析的数論の基礎』は1975年と1983年の2版が出版された。^[2]

カラツバアルゴリズムは、乗算のための最古の分割統治アルゴリズムとして知られており、その直接的な一般化であるトゥーム・クックアルゴリズムの特別なケースとして生き続けています。^[3]

アナトリー・カラツバの主な研究成果は160以上の研究論文とモノグラフとして出版されている。^[4]

彼の娘で数学者のエカテリーナ・カラツバは、FEE 法を構築しました。

モスクワ国立大学の学生だったカラツバは、アンドレイ・コルモゴロフのセミナーに出席し、コルモゴロフが提起した 2 つの問題の解決策を見つけました。これはオートマトン理論の発展に不可欠であり、数学の新しい分野である高速アルゴリズムの理論の始まりとなりました。

エドワード・F・ムーアの論文^[5] では、オートマトン（またはマシン）は、状態、入力記号、出力記号を備えた装置として定義されています。その構造に関する9つの定理と実験が証明されています。後に、このようなマシンはムーアマシンと名付けられました。論文の最後の「新しい問題」の章で、ムーアは定理8と9で得た推定値を改善する問題を定式化しています。 ${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

定理 8 (ムーア)。任意のマシンが与えられ、2 つの状態をそれぞれ区別できる場合、この実験の終了時に の状態を識別する長さ の実験が存在する。${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle S}$

1957年、カラツバは定理8において、実験の長さの推定値を改善することに関するムーア問題を完全に解決する2つの定理を証明した。

定理A (Karatsuba)。が、その 2 つの状態がそれぞれ区別できるようなマシンである場合、長さが最大 ​​の分岐実験が存在し、これを使用して、実験の終了時の状態を見つけることができます。${\displaystyle S}$${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$${\displaystyle S}$

定理B (Karatsuba)。すべての状態が互いに区別できるマシンが存在し、実験終了時のマシンの状態を見つける最短の実験の長さは に等しい。${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$

これら2つの定理は、カラツバが4年生のときに4年生プロジェクトの基礎として証明されました。対応する論文は、1958年12月17日にジャーナル「Uspekhi Mat. Nauk」に投稿され、1960年6月に出版されました。^[6]後に「ムーア-カラツバ定理」というタイトルが付けられたカラツバのこの結果は、今日（2011年）まで、オートマトン理論と計算の複雑さの理論の同様の問題の両方で唯一の正確な（推定の唯一の正確な非線形順序）非線形結果であり続けています。

AAカラツバの主な研究成果は160以上の研究論文とモノグラフとして出版されている。^{[7] [8] [9] [10]}

AAKaratsubaは三角和の理論において新しい-進法を構築した。 ^[11] いわゆる-和の 推定値は、${\displaystyle p}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

^[12]は、素数のべき乗を法とする ディリクレ級数の零点の新しい境界、すなわち、ワーリング合同の数の漸近公式を導き出した。${\displaystyle L}$

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

を法とする整数係数の多項式の小数部の分配問題の解。AA Karatsubaは、オイラー-ヴィノグラドフの「埋め込み原理」を -進形式で初めて実現し^[13] 、ワーリング型の合同式の解の数を推定する際にヴィノグラドフ数の -進類似を計算した。 ${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$

と仮定し、さらにが素数である場合に、任意の自然数に対してが存在し、任意の に対して任意の自然数はに対して形式 (1) で表すことができ、に対してが存在するので、合同式 (1) に解が存在しないことを証明しました。 ${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 144}$${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle t\geq 20r+1}$${\displaystyle t<r}$${\displaystyle N}$

カラツバによって発見されたこの新しいアプローチは、三角和のヴィノグラドフ法において中心的な役割を果たすヴィノグラドフ平均値定理 の新しい - 進証明につながりました。${\displaystyle p}$

AAカラツバの-進法のもう一つの要素は、未知数の局所的な-進変換を犠牲にして、不完全な方程式系から完全な方程式系への移行を行うことである。^[14]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

を任意の自然数とします。不等式によって整数を決定します。次の方程式系を考えます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1\leq r\leq n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1},{2},{s},{s+1}=n である。}$

カラツバは、この方程式系の解の数が推定値を満たすこと を証明した。${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

変数が小さな素因数を持つ数を通る不完全な方程式系の場合、カラツバは変数の乗法変換を適用しました。これにより、三角関数の和の本質的に新しい推定値と、そのような方程式系に対する新しい平均値定理が生まれました。

${\displaystyle p}$AA カラツバの - 進法には、関数の小さな値を持つ点の集合の測度をそのパラメータ (係数など) の値で推定する手法と、逆に、実数および - 進計量におけるこの集合の測度でそれらのパラメータを推定する手法が含まれています。カラツバ法のこの側面は、三角積分の推定で特に明確に現れ、華洛原の問題の解決につながりました。1979 年、カラツバは、学生の GI アルキポフと VN チュバリコフとともに、積分の収束指数を求める華洛原問題の 完全な解^{[15]を得ました。}${\displaystyle p}$

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

ここで、は固定数です。 ${\displaystyle n\geq 2}$

この場合、収束指数は、が に対して収束し、 が に対して発散するような値 を意味します。ただし、は任意に小さい値です。積分はに対して収束し、 に対して発散すること が示されました。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$

同時に、積分に関する同様の問題が解かれました。 ここで、は条件を満たす整数です。${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$${\displaystyle n,m,\ldots ,r}$${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

カラツバと彼の学生たちは、 の場合に積分が収束し、 の場合に発散することを証明しました。 ${\displaystyle \vartheta _{1}}$${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$

積分と は、いわゆるプルーエ・タリー・エスコット問題の研究で生じる。カラツバと彼の学生は、タリー問題の多次元類似物に関連する一連の新しい結果を得た。特に、 がの形式を持つ 変数 ( ) の多項式である場合、 がゼロ自由項を持つ - 次元ベクトルで あり、の係数からなる場合、積分 : はに対して収束することを証明した。ここで は数 のうちの最大のものである。この結果は最終的なものではないが、収束指数の境界を改善することに関連する三角積分理論の新しい分野を生み出した(IA イクロモフ、MA チャキエフ他)。 ${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle \vartheta _{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$${\displaystyle 2k>mn}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$${\displaystyle \vartheta _{2}}$

1966年から1980年にかけて、カラツバは（学生のGIアルキポフとVNチュバリコフの協力を得て）多重ヘルマン・ワイル三角和の理論を開発した^{[16] [17]。}つまり、

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$、 どこ、${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

${\displaystyle A}$は実係数のシステムです。この理論の中心となるのは、ヴィノグラードフの三角関数の和の理論と同様に、次の平均値定理です。 ${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$

を自然数、、 とします。さらに、 をユークリッド空間 : および :: における形式 :: 、 、 の次元立方体とします。 : すると、任意の および に対して、値は次のように推定できます。 ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$、：

ここで、、、、および自然数は、:: 、となります。 ${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$${\displaystyle s=1,\dots ,r}$

平均値定理と多次元平行六面体の交差の多重度に関する補題は、カラツバによって得られた多重三角和の推定値の基礎をなす（2次元の場合はGIアルキポフ^[18]によって導かれた）。を条件 を持つ数の最小公倍数で表すと、推定値は成立する。 ${\displaystyle Q_{0}}$${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$、

ここで、は整数 の約数の数、 は数 の異なる素因数の数です。 ${\displaystyle \tau (Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \nu (Q)}$${\displaystyle Q}$

ハーディ-リトルウッド-ラマヌジャン-ヴィノグラドフ法の -進形式を三角関数の和の推定に適用し、和を小さな素因数を持つ数に適用することで、カラツバは^[19]ワーリング問題におけるよく知られたハーディ関数の新しい推定値(について) を得ました。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle G(n)}$${\displaystyle n\geq 400}$

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

カラツバはその後のワーリング問題の調査で、次のような2次元的な問題の一般化 を得た^{[20] 。}

方程式のシステムを考える

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ 、、 ​${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$

ここで、 は同じ順序または増加の正の整数が与えられ、および は未知数であり、これらも正の整数です。 この系には、 の場合に解があり、 の場合に解がないため、 が存在することになります。${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$${\displaystyle N_{i}}$

エミール・アルティンは、任意の次数dの形式によるゼロの -進表現に関する問題を提起した。アルティンは当初、現在ではp 進体がC ₂体であると説明される結果を予想した。言い換えれば、変数の数が少なくともd ²であれば、ゼロの非自明な表現が発生する。これは、ガイ・テルジャニアンの例によって当てはまらないことが示された。カラツバは、形式によるゼロの非自明な表現を持つためには、変数の数が次数dで多項式よりも速く増加する必要があることを示した。実際、この数は次数に応じてほぼ指数関数的に増加するはずである。カラツバと彼の学生アルキポフは、^[21]任意の自然数に対して が存在し、任意の自然数に対してより小さい次数の整数係数を持つ形式が存在し、その変数の数は、、 であることを証明した。${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq 2^{u}}$

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

2進数ではゼロの自明な表現しか持たない。また、任意の奇数素数モジュラスに対しても同様の結果を得た。 ${\displaystyle p}$

カラツバは^{[22] [23] [24] (1993-1999) に、短い}クロスターマン和、すなわち次の形式の三角和 を推定する新しい方法を 開発した。

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

ここで、 はと互いに素な数の集合を通過し、の要素の数はより 本質的に小さく、記号はを法として の逆数である合同類を表します。${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$

1990年代初頭まで、このタイプの推定は、主に、被加数の数がより大きい和について知られていました（HD Kloosterman、IM Vinogradov、H. Salié、 L. Carlitz、S. Uchiyama、A. Weil ）。唯一の例外は、が固定された素数で指数が無限大に増加する形式の特別なモジュライでした（このケースは、AG PostnikovによってVinogradovの方法を用いて研究されました）。Karatsubaの方法により、被加数の数がを超えないKloosterman和を推定することができます。 ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$${\displaystyle m=p^{\alpha }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

そして場合によっては

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

ここで、は任意の小さな定数である。この主題に関するカラツバの最後の論文^[25]は死後に出版された。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$

カラツバ法のさまざまな側面は​​、解析的数論の以下の問題に応用されています。

• 形式 : の小数部分の和の漸近線を求める。 ここで、は条件 を満たす整数を順に通過し、 はモジュール(Karatsuba)を割り切れない素数を通過する。${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n,m)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$

• 、、が互いに素である 整数 : : の形式の不等式の解の個数の下限値を求める(Karatsuba) 。${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$
• セグメント内の任意の実数を次の形式の小数部で近似する精度:${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$ : ここで、、 （唐津場） ;${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle (n,m)=1}$${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• ブルン・ティッチマーシュの定理におけるより正確な定数 ：${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$ : ここで はを超えず等差数列に属する素数の数です ( J. Friedlander、H. Iwaniec ) 。 ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$

• 形式の数の積の最大素因数の下限値:

${\displaystyle n^{3}+2}$、 （DRヒースブラウン）; ${\displaystyle N<n\leq 2N}$

• 次の形式の素数が無限に存在することを証明する:

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( J. フリードランダー、H. イワニエツ);

• 数の集合の組み合わせ的性質:

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ （AAグリビチュク）。

1984年にカラツバは、^{[26] [27]}条件を満たす 固定の に対して、十分に大きい、の区間にはリーマンゼータ関数の実数零点が少なくとも含まれることを証明しました。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$${\displaystyle (T,T+H)}$${\displaystyle cH\ln T}$ ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$

この特殊なケースは、1942年初頭にアトレ・セルバーグによって証明されました。^[28]アトレ・セルバーグとカラツバの推定値は 、成長の順序に関して改善することはできません。 ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$${\displaystyle T\to +\infty }$

カラツバはまた、臨界線の「短い」区間におけるの零点の分布に関する多くの結果を得ている^{[29] 。彼は、}セルバーグ予想の類似物が、 が任意の小さな固定された正の数である「ほぼすべての」区間、に対して成り立つことを証明した。カラツバ (1992) は、臨界線の「超短い」区間、つまり、長さが、任意に小さい次数 よりも遅く増加する区間 におけるリーマンゼータ関数の零点を調べるための新しいアプローチを開発した。特に、彼は、条件を満たす任意の与えられた数 に対して、のほぼすべての区間に関数 の零点が少なくとも含まれることを証明した。この推定値は、リーマン予想から得られる推定値にかなり近い。 ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

カラツバは、ディリクレ級数の線形結合として表される関数の零点を調べる新しい方法^{[30] [31]}を開発した。このタイプの関数の最も単純な例は、次の式で定義されるダベンポート-ハイルブロン関数である。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),}$

ここで、は( 、...​​​ ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle 5}$${\displaystyle \chi (1)=1}$${\displaystyle \chi (2)=i}$${\displaystyle \chi (3)=-i}$${\displaystyle \chi (4)=-1}$${\displaystyle \chi (5)=0}$${\displaystyle \chi (n+5)=\chi (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.}$

リーマン予想は正しくありませんが、臨界線にはそれでも異常に多くのゼロが含まれています。 ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle Re\ s={\tfrac {1}{2}}}$

カラツバは、区間、には少なくとも ${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H=T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数 の零点。Karatsuba は、任意の（有限）数の加数を含む線形結合についても同様の結果を出しました。次数指数は、ここでは線形結合の形式にのみ依存するより小さな数 に置き換えられています。 ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \beta }$

カラツバは、多次元ディリクレ因子問題における画期的な成果^[32]を生み出した。これは、自然数における不等式の解の数を見つけることと関係している。 次のような漸近式が存在する。 ${\displaystyle D_{k}(x)}$${\displaystyle x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle D_{k}(x)}$

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)}$、

ここで は次数 の多項式であり、その係数は に依存し、 は明示的に求められ、は剰余項であり、その既知の推定値はすべて（1960年まで）次の形式であった。 ${\displaystyle P_{k-1}(u)}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R_{k}(x)}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$、

ここで、は絶対的な正の定数です。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{ak+b}}}$${\displaystyle a,b,c}$

カラツバは のより正確な推定値を得た。その値はのオーダーであり、以前の推定値よりもはるかにゆっくりと減少していた。カラツバの推定値はおよびで一様であり、特に が増加するにつれて値は増加する可能性がある（ の対数の何らかのべき乗として）。（似たような、しかしより弱い結果は、1960 年にドイツの数学者リヒャルトによって得られたが、彼の論文は少なくとも 70 年代半ばまでソ連の数学者に知られていなかった。） ${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle k^{-2/3}}$${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

の推定値の証明は、ヴィノグラドフの方法で得られたリーマンゼータ関数の零点境界に関する定理、すなわち、領域に零点がない と主張する定理と本質的に同等の一連の主張に基づいています。${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10}$。

カラツバは^[33] (2000)で、直線付近での の挙動と 値の推定値の逆相関関係を発見した。特に、 が条件を満たす任意の非増加関数である場合、すべての推定値 に対して となることを証明した。${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle Re\ s=1}$${\displaystyle \alpha (y)}$${\displaystyle 1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$

が成り立つ場合、領域内にゼロは存在しない ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}}$

（絶対定数もあります）。 ${\displaystyle c,c_{1}}$

カラツバは、等式によって定義される 関数とを導入し研究した^[34]。${\displaystyle F(T;H)}$${\displaystyle G(s_{0};\Delta )}$

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

ここで、十分に大きい正の数、、、、です。以下から、およびの値を推定すると、臨界線の短い間隔、または臨界ストリップ にある点の小さな近傍で、(絶対値で) がどのくらい大きな値を取ることができるかがわかります。このケースは、以前 Ramachandra によって研究されました。十分に大きい定数で ある の場合は、自明です。${\displaystyle T}$${\displaystyle 0<H\ll \ln \ln T}$${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+iT}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1}$${\displaystyle 0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle 0\leq Re\ s\leq 1}$${\displaystyle H\gg \ln \ln T}$${\displaystyle \Delta >c}$${\displaystyle c}$

カラツバは特に、値とが特定の十分に小さい定数を超えると、推定値は ${\displaystyle H}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

ここで、絶対定数はいくつかあります。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

カラツバは、関数 の挙動に関する多くの新しい結果^{[35] [36]}を得た。これは、リーマンゼータ関数の臨界線 (ここでは、点と を結ぶ破線に沿ったの任意の連続枝の増分) 上の引数と呼ばれる。それらの結果には、関数 の平均値定理と実数直線の区間上の第 1 積分、および のすべての区間が少なくとも を含む という定理がある。${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$${\displaystyle \arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$${\displaystyle \arg \zeta (s)}$${\displaystyle 2,2+it}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H\geq T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数の符号が変わる点です。以前、 Atle Selbergによって の場合に 同様の結果が得られました。 ${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$

60年代の終わりに、カラツバは、ディリクレ指標の短和を推定し、有限体 の指標の短和の非自明な推定値を得ることを可能にした新しい方法^[37]を開発した。 を固定整数、多項式、有理数体 上で既約、方程式 の根、体 の対応する拡大、の基底、、、とします。さらに、 を を法として既約となるような十分に大きい素数、を 基底とするガロア体、体 の非主ディリクレ指標とします。最後に、 を非負整数、ガロア体 の元の集合、 ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle F(\theta )=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \omega _{1}=1}$${\displaystyle \omega _{2}=\theta }$${\displaystyle \omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$${\displaystyle D(X)}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}}$、

任意の、に対して、次の不等式が成り立つ。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X}$。

カラツバは、任意の固定された、、および任意のに対して、条件を満たすこと を証明した。${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq n+1}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}$

次の推定が成り立ちます。

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },}$

ここで、定数はと基底のみに依存します。 ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$

カラツバは、素数の和を推定するヴィノグラドフ法と組み合わせたいくつかの新しいツールを開発し、1970年に^[38]、シフトされた素数の列上の素数を法とする非主文字の値の合計の推定値、すなわち、 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

ここで、 は条件 を満たす整数、は任意の小さい固定数、であり、定数 はのみに依存します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k\not \equiv 0(\mod q)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N\geq q^{1/2+\varepsilon }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varepsilon }$

この主張は、 に対して非自明である Vinogradov の推定値よりもかなり強力です。 ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$

1971 年、イヴァン・マトヴェイエヴィチ・ヴィノグラードフの 80 歳の誕生日を記念した国際数論会議で講演したアカデミー会員のユーリ・リンニクは、次のように述べました。

「非常に重要なのは、シフトされた素数 上のディリクレ指標の漸近解析の領域でヴィノグラードフが行った調査です。この調査では、と比較してのべき乗が減少し、となります。ここで、 は指標の係数です。この推定値は、拡張されたリーマン予想以上のものを与えるほど深いため、極めて重要です。また、その方向では、その予想よりも深い事実であると思われます (予想が正しい場合)。最近、この推定値は AAKaratsuba によって改善されました。」${\displaystyle \sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q}$

この結果は、 が等差数列の素数を通過し、 の増分が法 とともに増加する 場合にまで Karatsuba によって拡張されました。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

カラツバは、多項式の引数が短い素数列を通る場合の2次多項式におけるディリクレ指標の和の推定値をいくつか発見した^{[37] [39]} 。例えば、が十分に高い素数 で、と が条件 を満たす整数であるとし、 がルジャンドル記号を表すとすると、 が条件 に固定され、 の合計 に対して、 ${\displaystyle q}$${\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)}$${\displaystyle \left({\frac {n}{q}}\right)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle N>q^{3/4+\varepsilon }}$${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},}$

次の推定が成り立ちます。

${\displaystyle |S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(ここで は後続の素数まで実行され、は を超えない素数の数、 はのみに依存する定数です)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \pi (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varepsilon }$

同様の推定は、 が等差数列の素数列を通過する場合についても Karatsuba によって得られており、 の増分は法 とともに増加する可能性があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

カラツバは、の和の非自明な推定値は に比べて「小さい」が、を を法とする平方ではない 次数の任意の多項式で置き換えた場合にも真であると予想した。この予想はまだ未解決である。 ${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

カラツバは^[40]、を法とする完全な平方数ではないような、素数の無限列と整数係数の次数多項式の列を構築した。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},}$

そして、

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.}$

言い換えれば、任意の に対して の値はを法とする平方剰余となる。この結果は、アンドレ・ヴェイユの推定値 が${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}}$

は本質的に改善できず、後者の不等式の右辺は、例えば絶対定数 という値に置き換えることはできません。 ${\displaystyle C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}}$${\displaystyle C}$

カラツバは新しい方法を発見し、^[41]加法列、つまり の形式の数からなる列上の非主ディリクレ指標の値の合計のかなり正確な推定値を得ることを可能にしました。ここで、変数と は、互いに独立していくつかの集合を通過します。その種の最も特徴的な例は、ディリクレ指標の値の合計に関連する幅広いクラスの問題を解く際に適用される次の主張です。 を任意の小さな固定数、 、十分に大きな素数、 を法とする非主指標とします。さらに 、をを法とする完全な合同類システムの任意の部分集合とし、条件 、 のみを満たします。このとき、次の推定値が成り立ちます。 ${\displaystyle x+y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$${\displaystyle \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.}$

カラツバ法では、上で定式化した集合およびの条件を異なる条件に置き換えることで、他の特定のケースでもそのような非自明な推定値を得ることができます。たとえば、 、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$${\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.}$

およびがそれぞれ区間 内の素数の集合である場合、 、 の場合には、次の形式の推定値 が得られる。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (1,X]}$${\displaystyle (1,Y]}$${\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }}$${\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},}$

が成り立ちます。ここで、 はを超えない素数の数、 は絶対定数です。 ${\displaystyle \pi (Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c_{1}}$

カラツバは^[42] (2000)「重み付き」ディリクレ指標の値の和、つまり形式 の成分の和の非自明な推定値を得た。ここで は自然偏角の関数である。この種の推定値は、べき乗合同類の分布や特定の数列の原始根など、数論の幅広い問題を解く際に適用される。 ${\displaystyle \chi (n)f(n)}$${\displaystyle f(n)}$

を整数、十分に大きい素数、、、とし、最後に、 ${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (a,q)=1}$${\displaystyle |a|\leq {\sqrt {q}}}$${\displaystyle N\geq q^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$${\displaystyle 0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}}$

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum \limits _{x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}1=\sum \limits _{n\leq x}\tau _{k}(n)}$

（ の漸近的表現については、上記のディリクレ因子の多次元問題のセクションを参照）。 を法とする平方剰余（それぞれ非剰余）となる値の和と を値 に拡張した場合、Karatsuba は次の形式の漸近的公式を得た。 ${\displaystyle D_{k}(x)}$${\displaystyle V_{1}(x)}$${\displaystyle V_{2}(x)}$${\displaystyle \tau _{k}(n)}$${\displaystyle n\leq x}$${\displaystyle (n+a)}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle V_{1}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )},\quad V_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$。

同様に、を法とする原始根 を全体にわたってとった値 の和に対して、次の形式の漸近表現が得られる。 ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle \tau _{k}(n)}$${\displaystyle n\leq x}$${\displaystyle (n+a)}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{s}}}\right)D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$、

ここで、 はすべて数 の素因数です。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{s}}$${\displaystyle q-1}$

カラツバは、その方法を、型など の整数のシフトされた素数列におけるべき乗剰余（非剰余）の分布の問題にも適用しました。${\displaystyle p+a}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+a}$

晩年、カラツバは数論の研究（カラツバ現象^[43]を参照）とは別に、特に場の量子論の分野で理論物理学のいくつかの問題を研究した。彼はATS定理と他の数論的アプローチを適用して、量子光学におけるジェインズ・カミングスモデルで新しい結果^[44]を得た。

• 1981年：ソビエト科学アカデミーPLTチェビシェフ賞
• 1999年：ロシアの著名な科学者
• 2001年：ロシア科学アカデミーイムヴィノグラードフ賞

• ATS定理
• カラツバアルゴリズム
• ムーアマシン

• GIアルキポフ; VN チュバリコフ (1997)。 「AAカラツバ教授の数学的業績について」。手順ステクロフ研究所数学。218 .

• 数学系譜プロジェクトのアナトリー・カラツバ
• 「Karatsuba Anatolii Alexeevitch (個人ホームページ)」。2008年10月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年11月17日閲覧。
• ステクロフ数学研究所の研究業績一覧