循環順序

数学において、巡回順序とは、一連のオブジェクトを円形に配置する方法です。^[nb]順序理論のほとんどの構造とは異なり、巡回順序は「 $a$ $<$ $b$ 」などの2項関係としてモデル化されません。東が西よりも「時計回り」であるとは言いません。代わりに、巡回順序は「 $a の$ 後、 $c の$ 前に $b$ に到達する」という意味の3項関係 $[$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $]$ として定義されます。たとえば、[6月、10月、2月] ですが、[6月、2月、10月] ではありません (図を参照)。3項関係は、巡回、非対称、推移的、および連結されている場合に巡回順序と呼ばれます。「連結」の要件を削除すると、部分的な巡回順序になります。

循環的な順序を持つ集合は、循環的に順序付けられた集合または単にサイクルと呼ばれます。[ nb ]よく知ら^れているサイクルには離散的なものがあり、有限個の要素のみを持ちます。週は 7 日間、4 つの基本方位、半音階には 12 の音があり、じゃんけんには 3 回あります。有限サイクルでは、各要素に「次の要素」と「前の要素」があります。また、平面上の方向付けられた単位円など、要素が無限にある循環順序もあります。

巡回順序は、オブジェクトを直線に配置する、より一般的な線型順序と密接に関連しています。任意の線型順序は円に曲げることができ、任意の巡回順序は点で切断して直線にすることができます。これらの操作は、関連する区間および被覆写像の構築とともに、巡回順序に関する質問が線型順序に関する質問に変換できることが多いことを意味します。巡回には線型順序よりも多くの対称性があり、有限巡回群や実射影直線のように、線型構造の剰余として自然に発生することがよくあります。

有限サイクル

$n 個$ の要素を持つ集合 $Xの循環順序は、$ $n$ 時間の時計の文字盤上の $X$ の配置に似ています。 $X$ 内の各要素 $xには「次の要素」と「前の要素」があり、後続要素または先行要素のいずれかを取ると、要素が$ $x$ $(1)、$ $x$ $(2)、...、$ $x$ $($ $n$ $)$ のように 1 回循環します。

この定義を述べる同等の方法がいくつかあります。X 上の巡回順序は、 $X$ $全体$ を単一のサイクルにする置換と同じであり、これは特殊なタイプの置換である循環置換です。あるいは、 $n$ 個の要素を持つサイクルも $Z$ $n$ -トルソルです。これは、有限巡回群による自由な推移的作用を持つ集合です。^{[1]別の定式化は、要素と頂点の何らかのマッチングによって、} $X を$ $n$ 頂点上の標準的な有向サイクルグラフにすることです。

対称関数に対して巡回順序を使用するのは直感的である。例えば、

xy + yz + zx

最後の単項式を $xz$ と書くと、パターンから注意が逸れてしまいます。

巡回順序の重要な用途は、自由群の共役類の決定です。集合 $Y$ 上の自由群 $Fの 2 つの元$ $g$ と $h が$ 共役であるための必要十分条件は、これらを Y の元 y と y −1 の積として書き、それらの積を巡回順序に並べたとき $、$ 隣接 $する$ y $と$ $y$ −1を削除または追加できる書き換え規則の下で巡回 $順序$ が $同値$ $に$ なること $です$ 。

集合 $X上の巡回順序は、$ $X$ 上の線形順序によって決定できますが、一意に決まるわけではありません。線形順序を選択することは最初の要素を選択することと同じなので、特定の巡回順序を誘導する線形順序はちょうど $n$ 個あります。線形順序の可能な数は $n 個($ 順列の場合と同様) であるため、巡回順序の可能な数は $(n - 1)$ 個(円順列の場合と同様)です。

定義

無限集合は、循環的に順序付けることもできます。無限循環の重要な例としては、単位円、 $S 1$ 、有理数、 $Q$ などがあります。基本的な考え方は同じで、集合の要素を円の周りに配置します。ただし、無限の場合、点に後続点がない場合があるため、直接の後続関係に頼ることはできません。たとえば、単位円上の点が与えられた場合、「次の点」はありません。また、2 つの点のうちどちらが「最初」になるかを決定するために 2 項関係に頼ることもできません。円上を時計回りに移動すると、東も西も最初ではなく、それぞれが他の点に続きます。

代わりに、円を回るときに要素 $a$ 、 $b$ 、 $c が次々に（必ずしもすぐにではないが）出現することを示す三項関係を使用します。たとえば、時計回りの順序では、[東、南、西]です。三項関係$ $[$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $]$ の引数をカリー化することで、巡回順序を、カットと呼ばれる 1 パラメータの 2 パラメータの順序関係の族、または間隔と呼ばれる $K$ のサブセットの 2 パラメータの族として考えることができます。

三項関係

一般的な定義は以下のとおりです。集合 $X上の巡回順序とは、$ $[$ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $]$ と表記される関係 $C \subset X 3$ であり、次の公理を満たします。^[nb]

循環性: $[a, b, c]$ ならば $[b, c, a]$
非対称性: $[a, b, c]ならば$ $[$ $c$ $,$ $b$ $,$ $a$ $]$ ではない
推移性: $[a, b, c]$ かつ $[a, c, d]$ ならば $[a, b, d]$
連結性: $a$ 、 $b$ 、 $c$ が異なる場合、 $[a 、 b 、 c]$ または $[c 、 b 、 a]のいずれかになります。$

これらの公理は、厳密な線形順序を定義する二項関係の非対称性、推移性、連結性公理との類推で名付けられています。エドワード・ハンティントン (1916、1924) は、循環順序と媒介関係の類似性を強調することを意図したリストを含む、他の可能な公理のリストを検討しました。最初の 3 つの公理を満たすが、必ずしも全体性の公理を満たすとは限らない三項関係は、部分的な循環順序です。

ローリングとカット

集合 $X$ 上の線形順序 $<が与えられたとき、$ $<$ によって誘導される $X$ 上の巡回順序は次のように定義される: ^[2]

[a, b, c]

ただし、

a < b < c

または

b < c < a

または

c < a < bの場合のみ

2つの線形順序は、トランプを切るときのように、循環的な再配置によって互いに変換できる場合、同じ循環順序を誘導します。^[3]循環順序関係は、上記のような厳密な線形順序によって誘導される3値関係として定義できます。^[4]

巡回順序から1点を切り取ると、線型順序が残る。より正確には、巡回順序集合が与えられたとき、各要素は集合の残りの部分に対して、次の規則により自然な線型順序を定義する: ^[5] $(K,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])$ $a\in K$ $<_{a}$ $K\setminus \{a\}$

x<_{a}y

の場合に限ります。

[a,x,y]

さらに、は最小元として隣接することで拡張することができ、上の線形順序は最小元との主切断と呼ばれる。同様に、を最大元として隣接させることで切断が得られる。^[6] $<_{a}$ $a$ $K$ $a$ $a$ $<^{a}$

間隔

2つの要素が与えられたとき、からまでの開区間はとなるすべてのものの集合である。開区間のシステムは巡回順序を完全に定義し、巡回順序関係の代替定義として使用することができる。^[7] $a\neq b\in K$ $a$ $b$ $(a,b)$ $x\in K$ $[a,x,b]$

区間はによって与えられる自然な線型順序を持つ。を最小元および/または最大元として付加することにより、半閉区間および閉区間、、を定義できる。^[8]特殊なケースとして、開区間はカットとして定義される。 $(a,b)$ $<_{a}$ $[a,b)$ $(a,b]$ $[a,b]$ $a$ $b$ $(a,a)$ $K\setminus a$

より一般的には、の真部分集合は、すべての点のペアの間に区間が含まれる場合、凸集合と呼ばれます。の場合、またはもに含まれていなければなりません。^[9]凸集合は、に含まれない任意の点について、カットによって線形順序付けられます。この順序付けはの選択とは無関係です。 $S$ $K$ $a\neq b\in S$ $(a,b)$ $(b,a)$ $S$ $<_{x}$ $x$ $x$

自己同型

円には時計回りと反時計回りの順序があるように、巡回順序を持つ任意の集合には2つの意味があります。順序を保存する集合の全単射は、順序付き対応と呼ばれます。意味が以前と同じように維持される場合は直接対応であり、そうでない場合は反対対応と呼ばれます。^[10] Coxeterは、巡回順序を説明するために分離関係を使用しており、この関係は巡回順序の2つの意味を区別するのに十分強いです。巡回順序付き集合の自己同型は、直接対応と反対対応の2要素群である C ₂と同一視できます。

単調な関数

「循環順序 = 円状に並べる」という考え方は、循環の任意の部分集合はそれ自体が循環であるため機能します。この考えを使用して、平面内の単位円の実際には部分集合ではない集合に循環順序を課すには、集合間の関数を考慮する必要があります。

2 つの循環的な順序集合間の関数 $f : X \to Y$ $は、 Y$ 上の順序を戻す場合、単調関数または準同型と呼ばれます。つまり、 $[$ $f$ $($ $a$ $),$ $f$ $($ $b$ $),$ $f$ $($ $c$ $)]$ であれば、 $[$ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $]$ となります。同様に、 $[$ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $]$ かつ $f$ $($ $a$ $),$ $f$ $($ $b$ $)$ , $f$ $($ $c$ $)$ がすべて異なる場合、[ f ( a ), f ( b ), f ( c )] であれば、 f は単調です $。$ $単調$ $関数$ $の$ $典型$ $的$ $な$ $例$ $は$ $、$ $6$ $つ$ $の$ $要素$ を持つサイクル上の次の関数です。

f (0) = f (1) = 4、

f (2) = f (3) = 0、

f (4) = f (5) = 1です。

関数が単調かつ単射である場合、その関数は埋め込みと呼ばれます。^[nb]同様に、埋め込みは $X$ 上の順序付けを前進させる関数です。つまり、 $[a, b, c]であればいつでも、$ $[f (a), f (b), f (c)]$ が成り立ちます。重要な例として、 $X が循環順序集合$ $Y$ のサブセットであり、 $X$ に自然な順序付けが与えられている場合、包含写像 $i : X \to Y$ は埋め込みです。

一般に、順序なし集合 $X$ からサイクル $Y$ への単射関数 $f は、$ $X$ 上に一意の巡回順序を誘導し、 $f$ を埋め込みにします。

有限集合上の関数

$有限集合X$ 上の巡回順序は、単位円への注入、 $X \to S 1$ によって決定できます。同じ巡回順序を誘導する関数は多数あり、実際には無限にあります。この冗長性を定量化するには、単純な数よりも複雑な組み合わせオブジェクトが必要です。このようなマップすべての配置空間を調べると、サイクロヘドロンと呼ばれる $(n - 1)$ 次元多面体が定義されます。サイクロヘドロン (cyclohedron) は、最初に結び目不変量の研究に適用されました。^{[11]最近では、}生物時計の研究で周期的に発現する遺伝子の実験的検出に適用されています。^[12]

標準的な有限サイクルの準同型のカテゴリは巡回カテゴリと呼ばれ、アラン・コヌの巡回ホモロジーを構築するために使用できます。

連続写像の次数と同様に、サイクル間の関数の次数を定義することができます。たとえば、五度圏から半音圏への自然な写像は次数 7 の写像です。回転数を定義することもできます。

完了

最小元と最大元の両方を持つカットはジャンプと呼ばれます。たとえば、有限サイクルZnのすべてのカットは $ジャンプ$ $です$ 。ジャンプのないサイクルは稠密と呼ばれます。^[13]^[14]
最小元も最大元もないカットはギャップと呼ばれる。例えば、有理数 $Qは無理数ごとにギャップを持つ。また、無限大、つまり通常の順序にもギャップがある。ギャップのないサイクルは$ 完全と呼ばれる。^[15]^[14]
ちょうど1つの端点を持つカットは主カットまたはデデキントカットと呼ばれます。たとえば、円 $S 1$ のすべてのカットは主カットです。すべてのカットが主であり、稠密かつ完全であるサイクルは連続と呼ばれます。^[16]^[14]

すべてのカットの集合は、次の関係によって循環的に順序付けられる： $[< 1 、< 2 、< 3]であり、かつ次の条件を満たす$ $x 、 y 、 z$ が存在する場合に限る：^[17]

x < 1 y < 1 z

、

x < 1

y < 2 z < 2 x

であり、

x < 1 y < 1

z < 3 x < 3 y

。

このカットのサイクルの特定のサブセットは、元のサイクルのデデキント完成です。

さらなる建設

展開とカバー

循環的に順序付けられた集合 $K$ から始めて、それを無限の線に沿って展開することで線形順序を形成することができる。これは、円を何回周ったかを記録するという直感的な概念を捉えている。正式には、要素 $aを固定し、すべての$ $i$ に対して次のことを要求することで、直積 $Z \times K$ 上の線形順序を定義する。ここで $Z は$ 整数の集合である。 ^[18]

[a, x, y]

の場合、

a i < x i < y i < a i +1

です。

たとえば、2024 年 1 月、2024 年 5 月、2024 年 9 月、2025 年 1 月がその順序で発生します。

$Z \times K$ のこの順序付けは、 $K$ の普遍被覆と呼ばれます。^[nb]その順序型は $a$ の選択とは独立していますが、表記法は独立ではありません。これは、整数座標が $a$ で「ロールオーバー」するためです。たとえば、ピッチクラスの循環順序はA から G のアルファベット順と互換性がありますが、各オクターブの最初の音として C が選択されるため、音符オクターブ表記では、 B _{3 の次には C}₄が続きます。

逆の構成は、線形順序集合から始まり、それを巡回順序集合に巻き上げる。線形順序集合 $L$ と、無限軌道を持つ順序保存単射 $T : L \to L$ が与えられたとき、軌道空間 $L / T$ は、次の要件によって巡回順序付けられる: ^[7]^[nb]

a < b < c < T (a)

の場合、

[[a], [b], [c]]

。

特に、 $Z$ $\times$ $K$ 上で $T$ $($ $x$ $i$ $) =$ $x$ $i$ $+1$ を定義することで $Kを$ 回復することができます。

$有限なn$ に対して $n$ 重被覆も存在する。この場合、1 つの循環順序集合が別の循環順序集合を被覆する。たとえば、24 時間制は12 時間制の二重被覆である。幾何学では、向き付けられた平面上の点から発する光線束は、同じ点を通過する向き付けられていない線束の二重被覆である。 ^[19]これらの被覆写像は、普遍被覆まで持ち上げることで特徴付けることができる。^[7]

製品と撤回

巡回順序集合 $(K, [ ])$ と線形順序集合 $(L, <)$ が与えられたとき、 (全) 辞書式積は積集合K $\times L 上$ $の巡回順序であり、 [(a, x), (b, y), (c, z)]$ で定義され、次のいずれかが成り立つ。^[20]

$[a 、 b 、 c]$
$a = b \neq c$ かつ $x < y$
$b = c \neq a$ かつ $y < z$
$c = a \neq b$ かつ $z < x$
$a = b = c$ かつ $[x, y, z]$

辞書式積 $K \times L は$ $全体的にはK$ のように見え、局所的には $L$ のように見える。これは $Lの$ $K 個$ のコピーと考えることができる。この構成は、循環的に順序付けられたグループを特徴付けるために使用されることがある。^[21]

異なる線型集合を貼り合わせて、円型集合を形成することもできる。例えば、2 つの線型集合 $L 1$ と $L 2$ がある場合、正の無限大と負の無限大でこれらを結合して円を形成することができる。非結合集合 $L 1 \cup L 2 \cup {-\infty, \infty } 上の円型順序は、$ $\infty < L 1 < -\infty < L 2 < \infty$ で定義され、ここで $L 1$ 上の誘導された順序は元の順序の逆である。例えば、すべての経度の集合は、西のすべての点と東のすべての点、および本初子午線と180 度子午線を結合することによって円型順序付けされる。Kuhlmann、Marshall、Osiak (2011) は、実閉体上の二重形式ローラン級数の順序付けと実数の場所の空間を特徴付ける際にこの構成を使用している。^[22]

トポロジー

開区間は、自然な位相、巡回順序位相の基礎を形成します。この位相における開集合は、あらゆる両立する線形順序において開いている集合とまったく同じです。 ^[23]違いを説明すると、集合[0, 1)において、部分集合[0, 1/2)は線形順序では0の近傍ですが、巡回順序では近傍ではありません。

周期的に順序付けられた空間の興味深い例としては、単連結なローレンツ面の共形境界^[24]や、ある3次元多様体の持ち上げられた本質的積層の葉空間^{[25]などがある。周期的に順序付けられた空間上の} 離散力学系も研究されている。^[26]

区間位相は巡回順序の元の方向を忘れます。この方向は、区間を誘導された線形順序で充実させることで復元できます。すると、重なり合う部分で互換性のある線形順序のアトラスで覆われた集合が得られます。言い換えると、巡回順序付き集合は、局所的に線形順序付けされた空間、つまり多様体のようなオブジェクトですが、座標チャートの代わりに順序関係を持つものと考えることができます。この観点により、被覆マップなどの概念を正確に表現しやすくなります。局所的に部分的に順序付けされた空間への一般化は、Roll (1993) で研究されています。有向位相も参照してください。

対称性とモデル理論

Evans、Macpherson、Ivanov (1997) は、サイクルの被覆マップのモデル理論的記述を提供しています。

Tararin (2001, 2002) は、さまざまな推移特性を持つサイクルの自己同型群を研究しています。Giraudet と Holland (2002) は、完全な自己同型群が自由に推移的に作用するサイクルを特徴付けています。Campero-Arena と Truss (2009) は、自己同型群が推移的に作用する可算な色付きサイクルを特徴付けています。Truss (2009) は、唯一の (同型性を除いて) 可算な稠密サイクルの自己同型群を研究しています。

Kulpeshov & Macpherson (2005) は、循環順序構造、つまり循環順序関係を含む一階言語のモデルにおける極小条件を研究している。これらの条件は、線形順序構造の場合のo-極小性と弱 o-極小性の類似物である。Kulpeshov (2006, 2009) は、 ω-カテゴリカル構造のいくつかの特徴付けを続けている。^[32]

認知

ハンス・フロイデンタールは、線形順序のみを論じるジャン・ピアジェとは対照的に、認知発達における周期的順序の役割を強調しました。1 年の月などの周期的に順序付けられた集合の心的表現を調査する実験がいくつか行われました。

使用上の注意

^巡回順序この関係は、巡回順序(Huntington 1916, p. 630)、循環順序(Huntington 1916, p. 630)、巡回順序(Kok 1973, p. 6)、または循環順序(Mosher 1996, p. 109) と呼ばれることがあります。一部の著者は、このような順序を全巡回順序(Isli & Cohn 1998, p. 643)、完全巡回順序(Novák 1982, p. 462)、線形巡回順序(Novák 1984, p. 323)、またはl-巡回順序または ℓ-巡回順序(Černák 2001, p. 32) と呼び、より広いクラスの部分巡回順序(彼らは単に巡回順序と呼ぶ) と区別しています。最後に、一部の著者は、循環秩序を無指向の四元分離関係を意味すると解釈するかもしれない(Bowditch 1998、p. 155)。

^サイクル循環的な順序を持つ集合は、サイクル(Novák 1982、p. 462) またはサークル(Giraudet & Holland 2002、p. 1) と呼ばれることがあります。上記のバリエーションは、形容詞の形でも使用されます: cyclically ordered set ( cyklicky uspořádané množiny、Čech 1936、p. 23)、 circularly ordered set、 total cyclically ordered set 、 complete cyclically ordered set、 linearly cyclically ordered set、 l-cyclically ordered set、ℓ- cyclically ordered set。すべての著者は、サイクルが全順序であることに同意しています。

^三項関係巡回関係には数種類の記号が使われています。 Huntington (1916, p. 630) は連結 $ABC を$ 使用しています。Čech (1936, p. 23) と (Novák 1982, p. 462) は順序付き 3 つ組と集合の帰属関係の記号 $(a, b, c) \in C$ を使用しています。 Megiddo (1976, p. 274) は連結と集合の帰属関係 $abc \in C$ を使用し、 $abc を$ 巡回的に順序付けられた 3 つ組と理解しています。 Świerczkowski (1959a, p. 162) や Černák & Jakubík (1987, p. 157) などのグループに関する文献では、角括弧 $[a, b, c]$ が使用される傾向があります。 Giraudet & Holland (2002, p. 1) は丸括弧 $(a, b, c)$ を使用し、角括弧は媒介関係のために留保しています。Campero-Arena & Truss (2009, p. 1) は関数スタイルの表記法 $R (a, b, c)$ を使用しています。Rieger (1947) (Pecinová 2008, p. 82 より引用) は、区切り記号として「小なり」記号 $< x, y, z < を$ 使用しています。著者の中には、中置表記法 $a < b < c を使用する人もいますが、これは、ある 2 項関係 < (Černy 1978, p. 262) に対する$ $a < b$ および $b < c$ の通常の意味にはならないことを理解しています。 Weinstein (1996, p. 81)は、要素を繰り返すことによって循環的な性質を強調しています: $p ↪ r ↪ q ↪ p$ 。

^埋め込みNovák (1984, p. 332) は埋め込みを「同型埋め込み」と呼んでいます。

^rollこの場合、Giraudet & Holland (2002、p. 2) は、 $K$ は $L$ を「巻き上げたもの」であると書いています。

^軌道空間T写像、Bowditch (2004, p. 33) ではアルキメデス写像、 Campero-Arena & Truss (2009, p. 582) では共末端写像、McMullen (2009, p. 10) ではその変換と呼ばれています。

^普遍被覆McMullen (2009, p. 10) は $Z \times K を$ $K$ の「普遍被覆」。Giraudet と Holland (2002, p. 3) $は、 Kは$ $Z \times K$ の「コイル状」である $と書いています。Freudenthal と Bauer (1974, p. 10) は、 Z \times K を$ $K$ の「∞回被覆」と呼んでいます $。この構成は、 K \times Z$ 上の反辞書式順序として記述されることが多いです。

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