ヴィタリセット

数学において、ヴィタリ集合は、 1905年にジュゼッペ・ヴィタリによって発見された、ルベーグ測定不可能な実数の集合の基本的な例である。 ^[1]ヴィタリの定理は、そのような集合が存在するという存在定理である。各ヴィタリ集合は無数であり、無数個のヴィタリ集合が存在している。それらの存在の証明は選択公理に依存する。

特定の集合には、明確な「長さ」または「質量」があります。たとえば、区間[ 0, 1] の長さは 1 とみなされます。より一般的には、区間 [ a , b ]、a ≤ bの長さはb  −  aとみなされます。このような区間を均一な密度の金属棒と考えると、同様に明確に定義された質量を持ちます。集合 [0, 1] ∪ [2, 3] は長さ 1 の区間 2 つで構成されているため、その合計の長さは 2 になります。質量で言えば、質量 1 の棒が 2 本あるため、合計の質量は 2 です。

ここで当然の疑問が湧きます。Eが実数の任意の部分集合である場合、その部分集合には「質量」や「全長」があるのでしょうか。たとえば、区間[0, 1] の質量が 1 である場合、0 から 1 までの有理数集合の質量はいくらかと問うことができます。有理数は実数に密集しているため、0 から 1 までの範囲の任意の値が妥当であると考えられます。

しかし、質量に最も近い一般化はシグマ加法性であり、これはルベーグ測度を生じます。これは区間 [ a , b ] に測度b − aを割り当てますが、有理数の集合は可算であるため、測度 0 を割り当てます。明確に定義されたルベーグ測度を持つ集合は「測定可能」であると言われていますが、ルベーグ測度の構成 (たとえば、カラテオドリの拡張定理を使用) では、測定不可能な集合が存在するかどうかは明らかになりません。その質問の答えは選択公理に関係します。

ヴィタリ集合は、実数の区間の部分集合で、各実数 に対して、 が有理数となる数がちょうど 1 つ存在するような集合です。ヴィタリ集合が存在するのは、有理数が加法の下で実数の正規部分群を形成し、これによって、これら 2 つの群の加法商群(加法の下で実数の部分群として有理数の剰余類によって形成される群)の構成が可能になるためです。この群は、この商群の各要素が内のいくつかの に対して の形式の集合であるという意味において、 の互いに素な「シフトされたコピー」で構成されます。の無数個の要素は互いに素な集合に分割され、各要素は内で稠密です。 の各要素はと交差し、選択公理によって の各要素からちょうど 1 つの代表を含むの部分集合の存在が保証されます。このようにして形成された集合は、ヴィタリ集合と呼ばれます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle vr}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$

すべての Vitali 集合は非可算であり、任意の に対して無理数です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle vu}$${\displaystyle u,v\in V,u\neq v}$

ヴィタリ集合は非測定です。これを示すために、 が測定可能であると仮定し、矛盾を導きます。を における有理数の列挙とします(有理数は可算 であることを思い出してください)。 の構築から、平行移動された集合、が一対一で互いに素であることを示すことができます。 (そうでない場合は、となる異なるおよびが存在するため、矛盾が生じます。) ${\displaystyle V}$${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle v,u\in V}$${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {N} }$${\displaystyle v+q_{k}=u+q_{\ell }\implies vu=q_{\ell }-q_{k}\in \mathbb {Q} }$

次に、

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].}$

最初の包含関係を確認するには、 の任意の実数を考え、 を同値類における代表とします。すると、 における何らかの有理数 に対して はがであることを意味します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [r]}$${\displaystyle rv=q_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle r}$${\displaystyle V_{i}}$

シグマ加法性を用いてこれらの包含物にルベーグ測度を適用します。

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

ルベーグ測度は並進不変なので、 ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

しかし、これは不可能です。定数を無限に合計すると、定数がゼロか正かに応じて、ゼロか無限大になります。どちらの場合も、 の合計はではありません。したがって、 は結局測定可能ではなかったはずです。つまり、ルベーグ測度はに対していかなる値も定義してはならないということです。 ${\displaystyle \lambda (V)}$${\displaystyle [1,3]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda (V)}$

ヴィタリ集合にはバイレの性質はない。^[2]

上記の証明を修正すると、各ヴィタリ集合にはバナッハ測度0 があることが示されます。バナッハ測度は可算加法ではなく有限加法であるため、これによって矛盾は生じません。

上記のヴィタリ集合の構築では、選択公理が使用されています。ここで疑問が生じます。ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明するために選択公理は必要でしょうか? 答えは、到達不可能基数が集合論の最も一般的な公理化、いわゆるZFCと一致している限り、必要です。

1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ測定可能であるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した。これはソロヴェイモデルとして知られている。^[3]ソロヴェイは証明において、到達不可能基数の存在はツェルメロ＝フランケル集合論の他の公理と矛盾しないと仮定した。つまり、矛盾は生じないということである。この仮定は集合論者の間では広く正しいと信じているが、ZFCだけでは証明できない。^[4]

1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果を到達不可能な基数に関する仮定なしに証明することは不可能であることを証明した。^[4]

• バナッハ・タルスキーのパラドックス – 幾何定理
• カラテオドリの基準 – 測定可能な集合の必要かつ十分な条件フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 測定不可能な集合 – 意味のある「量」を割り当てることができない集合
• 外測度 – 数学関数
• 無限パリティ関数 – 入力ベクトルに奇数個の1がある場合に値が1になるブール関数フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• ヘルリッヒ、ホルスト(2006)。選択の公理。スプリンガー。 p. 120.ISBN​ 9783540309895。
• ヴィターリ、ジュゼッペ(1905)。 「問題はミスラ・デイ・グルッピ・ディ・プンティ・ディ・ウナ・レッタ」。ボローニャ、ヒント。ガンベリーニとパルメジャーニ。