内部集合論

以下の原理は、上記の直感的な動機から導き出されるものであり、形式的な公理からも演繹できるはずである。ここでは、議論の対象領域を、おなじみの整数集合とする。

• 新しい述語基準を明示的または暗黙的に使用しない数学的表現はすべて内部式である。
• そうする定義はすべて外部式である。
• 内部式によって一意に指定された数値はすべて標準値である（定義上）。
• 非標準数とは、時間や空間の制約により、内部的な数式では一意に特定できない数のことである。
• 非標準数は捉えどころがない。それぞれが巨大すぎて、どんなに巧妙な表記法を用いても、十進数表記やその他の明示的・暗黙的な表現では扱いきれない。どうにかして表現できたとしても、それは定義上、単なる別の標準数に過ぎない。
• それにもかかわらず、 Nの任意の無限部分集合には、（多くの）非標準整数が存在する。
• 非標準数は、小数表現や素因数分解などを持つ、ごく普通の数です。自然数に適用されるあらゆる古典的な定理は、非標準自然数にも適用されます。私たちは新しい数を作り出したのではなく、既存の数を区別するための新しい方法を考案したのです。
• さらに、すべての標準数に対して成り立つ古典的な定理は、必然的にすべての自然数に対しても成り立つ。そうでなければ、「定理を満たさない最小の数」という表現は、非標準数を一意に定義する内部式になってしまうだろう。
• 述語「非標準」は、大きな数を区別するための論理的に一貫した方法であり、通常は「無限大」という用語が用いられます。これらの無限大の逆数は、必然的に極めて小さな実数、すなわち「無限小」となります。これらの用語の他の解釈との混同を避けるため、ISTに関する新しい記事では、これらの用語は「i-large」と「i-small」という構成語に置き換えられています。
• 標準数は必然的に有限個しか存在しないが、注意が必要である。それらをまとめて、明確に定義された数学的集合であると主張することはできない。これは形式論では支持されない（直感的な根拠としては、この集合の正確な境界は時間や歴史によって変化するということである）。特に、最大の標準数や最小の非標準数について論じることはできない。すべての標準数を含む有限集合について論じることは妥当であるが、この非古典的な定式化は非標準集合にのみ適用できる。

• 内部式の場合${\displaystyle \phi }$zが自由に出現しない限り、次の式の普遍閉包は公理である。

  $\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }z\,(z{\text{は有限}}\to \exists y\,\forall x\in z\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}))\leftrightarrow \exists y\,\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}).}$

• 言い換えると、すべての内部関係Rと、他のすべての自由変数の任意の値に対して、各標準有限集合Fに対して、次のgが存在するならば、${\displaystyle R(g,f)}$⁠ がFのすべてのfに対して成り立つならば任意の標準fに対して ⁠ となるような特定のG が存在する。${\displaystyle R(g,f)}$⁠ 、逆に、任意の標準fに対して、次のGが存在する場合、${\displaystyle R(g,f)}$⁠、すると各有限集合Fに対して、次の条件を満たすgが存在する。${\displaystyle R(g,f)}$⁠はFのすべてのfに対して成り立つ。

この公理の記述は、2つの含意から成り立っています。右から左への含意は、標準有限集合の要素は標準であるという単純な記述で言い換えることができます。より重要な左から右への含意は、すべての標準集合の集合が有限（非標準）集合に含まれること、さらに、この有限集合はすべての標準有限集合に共通する任意の内部特性を満たすものとみなせることを示しています。

この非常に一般的な公理体系は、適切な状況下で「理想的な」要素の存在を支持する。3つの具体的な応用例が、重要な帰結を示している。

• もし${\displaystyle \phi }$は、 yの自由出現を含まない任意の式 (外部式でも可) であり、 の普遍閉包で ある。

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }x\,\exists ^{\mathrm {st} }y\,\forall ^{\mathrm {st} }t\,(t\in y\leftrightarrow (t\in x\land \phi (t,u_{1},\dots ,u_{n})))}$

これは公理である。

• 言い換えると、Aが標準集合であり、Pが内部的または外部的な任意の性質である場合、Aの標準要素がPを満たすAの標準要素と正確に一致する、Aの一意の標準部分集合Bが存在する（ただし、 Bの非標準要素の振る舞いは規定されていない）。

• もし${\displaystyle \phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})}$は、示されたもの以外の自由変数を持たない内部式です。

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }u_{1}\dots \forall ^{\mathrm {st} }u_{n}\,(\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})\to \forall x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n}))}$

これは公理である。

• 言い換えると、内部式Fのすべてのパラメータ A、B、C、...、Wが標準値を持つ場合、F ( x、A、B、...、W )はすべての標準 x に対して成り立つと同時にすべての x に対して成り立ちます。このことから、古典数学における一意に定義されたすべての概念または対象は標準的であるという結論が導き出されます。