非アルキメデス的順序体

数学において、非アルキメデスの順序体とは、アルキメデスの性質を満たさない順序体のことである。このような体には、適切に定義された無限小要素と無限大要素が含まれる。

意味

$F が$ 順序付き体であると仮定します。 $F$ の任意の2 つの正の元 $x$ と $yに対して、$ $nx$ $>$ $y$ となる自然数 $n が$ 存在する場合、 $F は$ アルキメデスの性質を満たすといいます。ここで、 $n は$ 体元 $1の$ $n$ 個のコピーの合計から得られる体元を表します。つまり、 $nx は$ $x$ の $n$ 個のコピーの合計です。

アルキメデスの性質を満たさない順序体とは、非アルキメデス順序体です。

例

有理数体と実数体は、通常の順序で、アルキメデスの性質を満たします。

非アルキメデス的順序体の例としては、レヴィ-チヴィタ体、超実数、超現実数、デーン体、実係数を持つ有理関数体（ここで、 $f > g は$ 、十分に大きいtに対して $f (t)> g (t)$ となることを意味すると定義する）がある。

無限要素と無限小要素

非アルキメデスの順序体では、すべての自然数 $n$ に対して、 $nx$ $\leq$ $y$ となる2 つの正の元 $x$ と $y$ が見つかります。これは、正の元 $y$ $/$ $xがすべての自然数$ $n$ よりも大きい (したがって「無限元」である) ことと、正の元 $x$ $/$ $yがすべての自然数$ $n$ に対して $1/$ $n$ よりも小さい(したがって「無限小元」である) ことを意味します。

逆に、順序付けられた体にこの意味での無限要素または無限小要素が含まれている場合、それは非アルキメデス順序付けられた体です。

アプリケーション

超実数体、つまり実数を部分体として含む非アルキメデス的順序体を使用して、非標準解析の数学的基礎を提供します。

マックス・デーンは、非アルキメデス的秩序体の例であるデーン体を用いて、平行線公理が成り立たないにもかかわらず三角形の角度の合計が $π$ になる非ユークリッド幾何学を構築した。^[1]

上の有理関数の体を使って、コーシー完全（コーシー列の収束の意味で）だが実数ではない順序体を構築することができる。 ^[2]この完備化は、上の形式ローラン級数の体として記述することができる。これは非アルキメデス順序体である。「完全」という用語は、最小上限特性が成り立つことを意味するために使用されることがある。つまり、デデキント完全性を意味する。デデキント完全な非アルキメデス順序体は存在しない。完全という単語のこの 2 つの用法の微妙な違いは、時折混乱の原因となる。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

参考文献

^ Dehn、Max (1900)、「Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck」、Mathematische Annalen、53 (3): 404–439、doi :10.1007/BF01448980、ISSN 0025-5831、JFM 31.0471.01、S2CID 122651688。
^ Bernard R. GelbaumとJohn MH Olmsted著『分析における反例』第1章、例7、17ページ。

[1] Dehn、Max (1900)、「Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck」、Mathematische Annalen、53 (3): 404–439、doi :10.1007/BF01448980、ISSN 0025-5831、JFM 31.0471.01、S2CID 122651688。

[2] Bernard R. GelbaumとJohn MH Olmsted著『分析における反例』第1章、例7、17ページ。