最大の要素と最小の要素

最大要素は上限と密接に関係している。

させて${\displaystyle (P,\leq )}$予約注文セットにして${\displaystyle S\subseteq P.}$ 上限​​${\displaystyle S}$で${\displaystyle (P,\leq )}$要素です${\displaystyle u}$そのため${\displaystyle u\in P}$そして$s ≤ u$すべての人々のために${\displaystyle s\in S.}$重要なことに、上限は${\displaystyle S}$で${\displaystyle P}$要素である必要はありません${\displaystyle S.}$

もし${\displaystyle g\in P}$それから${\displaystyle g}$は最大の要素です${\displaystyle S}$かつその場合に限り${\displaystyle g}$は上限です${\displaystyle S}$で${\displaystyle (P,\leq )}$そして${\displaystyle g\in S.}$特に、${\displaystyle S}$は上限でもある${\displaystyle S}$（で${\displaystyle P}$）しかし上限は${\displaystyle S}$で${\displaystyle P}$は最大の要素です${\displaystyle S}$に該当する場合に限り${\displaystyle S.}$ 特に${\displaystyle P=S,}$「${\displaystyle u}$は上限です${\displaystyle S}$で${\displaystyle S}$「 」は次のようになります。${\displaystyle u}$は、${\displaystyle u\in S}$そして$s ≤ u$すべての人々のために${\displaystyle s\in S,}$これは、先に述べた最大要素の定義と完全に同一である。したがって${\displaystyle g}$は最大の要素です${\displaystyle S}$かつその場合に限り${\displaystyle g}$は上限です${\displaystyle S}$で${\displaystyle S}$。

もし${\displaystyle u}$は上限です${\displaystyle S}$で${\displaystyle P}$それは上限ではありません${\displaystyle S}$で${\displaystyle S}$（これは、${\displaystyle u\not \in S}$） それから${\displaystyle u}$最大の要素にはなり得ない${\displaystyle S}$（ただし、他の要素が最大の要素である可能性もある）${\displaystyle S}$特に、${\displaystyle S}$同時に最大要素を持たず、かつ何らかの上限が存在する${\displaystyle S}$で${\displaystyle P}$。

集合に上限が存在する場合でも、必ずしも最大要素が存在するとは限りません。負の実数の例がそれを物語っています。この例は、最小上限（この場合は0）が存在するからといって、最大要素が存在するとは限らないことも示しています。

順序付けられた集合の部分集合の最大要素は、集合内の他のどの要素よりも厳密に小さいとは言えない要素である、集合の最大要素と混同してはならない。

させて${\displaystyle (P,\leq )}$予約注文セットにして${\displaystyle S\subseteq P.}$ 要素${\displaystyle m\in S}$は最大要素であると言われている${\displaystyle S}$以下の条件が満たされる場合：

いつでも${\displaystyle s\in S}$満たす${\displaystyle m\leq s,}$そうすれば必然的に${\displaystyle s\leq m.}$

もし${\displaystyle (P,\leq )}$は部分的に順序付けられた集合である。${\displaystyle m\in S}$は最大要素です${\displaystyle S}$存在しない場合に限り${\displaystyle s\in S}$そのため${\displaystyle m\leq s}$そして${\displaystyle s\neq m.}$ 最大要素${\displaystyle (P,\leq )}$は、部分集合の最大要素を意味すると定義される。${\displaystyle S:=P.}$

集合には最大要素がなくても、複数の極大要素が存在する可能性がある。上限や極大要素と同様に、最大要素も存在しない場合がある。

完全順序集合では、最大要素と最大要素は一致します。また、最大値とも呼ばれます。関数値の場合は、局所最大値との混同を避けるために絶対最大値とも呼ばれます。^{[ 1 ]} 双対の用語は最小値と絶対最小値です。これらを合わせて絶対極値と呼びます。最小要素についても同様の結論が成り立ちます。

最大要素と最大要素を区別する際の（非）比較可能性の役割

最も重要な要素の1つは${\displaystyle g}$そして最大要素${\displaystyle m}$予約注文したセットの${\displaystyle (P,\leq )}$比較対象となる要素は何かに関係している。2つの要素${\displaystyle x,y\in P}$比較可能であると言われるのは、${\displaystyle x\leq y}$または${\displaystyle y\leq x}$比較できない場合は比較不能と呼ばれます。前置順序は反射的であるため（つまり、${\displaystyle x\leq x}$すべての要素に当てはまります${\displaystyle x}$）、すべての要素${\displaystyle x}$は常にそれ自身と比較可能である。したがって、比較不可能な要素のペアは、異なるペアのみである。しかし一般に、順序付けられた集合（および有向半順序集合）には、比較不可能な要素が存在する可能性がある。

定義上、要素${\displaystyle g\in P}$は最大の要素です${\displaystyle (P,\leq )}$もし${\displaystyle s\leq g,}$すべての${\displaystyle s\in P}$;したがって、その定義上、最大の要素は${\displaystyle (P,\leq )}$特に、すべての要素と比較可能である必要がある${\displaystyle P.}$ これは最大要素には要求されません。${\displaystyle (P,\leq )}$すべての要素と比較可能である必要はありません${\displaystyle P.}$ これは、「最大要素」の定義とは異なり、「極大要素」の定義には重要なif文が含まれているためです。${\displaystyle m\in P}$最大要素となる${\displaystyle (P,\leq )}$次のように言い換えることができます。

すべての人にとって${\displaystyle s\in P,}$もし${\displaystyle m\leq s}$（したがって、比較できない要素${\displaystyle m}$無視される）${\displaystyle s\leq m.}$

すべての要素が最大値であるが、最大値は存在しない例

仮に${\displaystyle S}$は、少なくとも 2 つの(異なる) 要素を含む集合であり、部分順序を定義します。${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle S}$宣言することによって${\displaystyle i\leq j}$かつその場合に限り${\displaystyle i=j.}$ もし${\displaystyle i\neq j}$に属する${\displaystyle S}$そしてどちらも${\displaystyle i\leq j}$または${\displaystyle j\leq i}$が成り立ち、これは、すべての異なる（つまり等しくない）要素のペアが${\displaystyle S}$比較可能です。したがって、${\displaystyle (S,\leq )}$最大要素を持つことはあり得ない（なぜなら、最大要素は${\displaystyle S}$特に、あらゆる要素と比較可能でなければならない${\displaystyle S}$しかし${\displaystyle S}$そのような要素はありません）。ただし、すべての要素${\displaystyle m\in S}$は最大要素です${\displaystyle (S,\leq )}$要素がちょうど 1 つあるため${\displaystyle S}$それはどちらも${\displaystyle m}$そして${\displaystyle \geq m,}$その要素は${\displaystyle m}$それ自体（もちろん、${\displaystyle \leq m}$) ^{[注1 ]}

対照的に、事前順序付けされたセットの場合${\displaystyle (P,\leq )}$最も優れた要素を持っている${\displaystyle g}$それから${\displaystyle g}$必然的に最大要素となる${\displaystyle (P,\leq )}$さらに、最大の要素の結果として${\displaystyle g}$あらゆる要素に匹敵する${\displaystyle P,}$もし${\displaystyle (P,\leq )}$も部分的に順序付けられている場合、次の結論を導き出すことができる。${\displaystyle g}$は、​${\displaystyle (P,\leq ).}$ しかし、予約済みセットの場合、一意性の結論はもはや保証されません${\displaystyle (P,\leq )}$は部分順序付けもされていません。たとえば、${\displaystyle R}$は空でない集合であり、先行順序を定義します${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle R}$宣言することによって${\displaystyle i\leq j}$常にすべての人に当てはまる${\displaystyle i,j\in R.}$有向順序付き集合${\displaystyle (R,\leq )}$は、以下の場合に限り部分的に順序付けられる。${\displaystyle R}$要素がちょうど 1 つあります。${\displaystyle R}$比較可能であり、すべての要素${\displaystyle R}$は、 の最大要素（したがって極大要素でもある）である。${\displaystyle (R,\leq ).}$特に、${\displaystyle R}$少なくとも2つの要素を持つ${\displaystyle (R,\leq )}$複数の明確に異なる最も優れた要素を持っている。