局所的にコンパクトな空間

位相幾何学および関連する数学の分野において、大まかに言えば、空間の各小部分がコンパクト空間の小部分のように見える場合、位相空間は局所コンパクトと呼ばれます。より正確には、すべての点がコンパクトな近傍を持つ位相空間です。

数学的解析においては、ハウスドルフである局所コンパクト空間が特に興味深い。これらはLCH空間と略される。^[1]

X を位相空間とします。最も一般的には、Xのすべての点xがコンパクトな近傍を持つ場合、つまり、開集合Uとコンパクト集合Kが存在し、 となる場合、 X は局所コンパクトであると呼ばれます。 ${\displaystyle x\in U\subseteq K}$

他にも一般的な定義があります。Xがハウスドルフ空間(またはプレ正則空間)である場合、これらはすべて同値です。しかし、一般には同値ではありません。

1. Xのすべての点にはコンパクトな近傍があります。

2. Xのすべての点には閉じたコンパクト近傍が存在する。

2′. Xのあらゆる点は比較的コンパクトな近傍を持ちます。

2. Xの各点には、比較的コンパクトな近隣地域のローカル ベースがあります。

3. Xのすべての点には、コンパクトな近隣地域のローカル ベースがあります。

4. Xのすべての点には、閉じたコンパクトな近傍の局所基底があります。

5. X はハウスドルフであり、前述の条件のいずれか（または同等にすべて）を満たします。

条件間の論理関係: ^[2]

• 各条件は（１）を意味する。
• 条件(2)、(2′)、(2″)は同等である。
• 条件（2）、（3）のどちらも他方を意味しない。
• 条件（4）は（2）と（3）を意味する。
• コンパクト性は条件(1)と(2)を意味しますが、条件(3)と(4)は意味しません。

条件(1)はおそらく最も一般的に使用される定義である。なぜなら、これは最も制限が少なく、Xがハウスドルフであるとき他の定義はこれに同値であるからである。この同値性は、ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉じており、コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトであるという事実から生じる。(1)を満たす空間は弱局所コンパクト^[3][4]であり、ここでの条件の中で最も弱いものを満たす。

それらは相対的にコンパクトな集合として定義されているため、(2)、(2')、(2")を満たす空間は、より具体的には局所的に相対的にコンパクトであると言える。^{[5] [6]} SteenとSeebach ^[7]は、(2)、(2')、(2")を強く局所的にコンパクトであると呼び、性質(1)を局所的にコンパクトと呼ぶ。

条件（4）を満たす空間はまさに局所コンパクト正則空間。^[8][2] 確かに、そのような空間は正則であり、すべての点は閉近傍の局所基底を持ちます。逆に、正則局所コンパクト空間では、点がコンパクト近傍 を持つものの任意の近傍が与えられた場合に含まれるの閉近傍が存在し、 はコンパクト集合内の閉集合としてコンパクトです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K\cap U}$${\displaystyle V}$

条件(5)は、例えば、ブルバキ^[9]で使用されている。 局所コンパクト(条件(1)の意味で)かつハウスドルフである空間は、自動的に上記の条件をすべて満たす。ほとんどの応用において局所コンパクト空間はハウスドルフでもあるため、これらの局所コンパクトハウスドルフ( LCH )空間が、この記事で主に扱う空間となる。

すべてのコンパクトなハウスドルフ空間は局所的にコンパクトでもあり、コンパクト空間の多くの例はコンパクト空間の記事で見つけることができます。ここでは次の点についてのみ言及します。

• 単位間隔[0,1]
• カントール集合;
• ヒルベルトキューブ。

• ユークリッド空間 R n ⁽特に実数直線 R ) は、ハイン・ボレルの定理の結果として局所コンパクトである。
• 位相多様体はユークリッド空間の局所的性質を共有しているため、すべて局所コンパクトでもあります。これには、長い直線などの非パラコンパクト多様体も含まれます。
• すべての離散空間は局所的にコンパクトかつハウスドルフです (これらは単に0 次元多様体です)。これらは有限である場合にのみコンパクトです。
• 局所コンパクト ハウスドルフ空間のすべての開いた部分集合または閉じた部分集合は、部分空間位相において局所コンパクトです。これにより、単位円板(開いたバージョンまたは閉じたバージョン)など、ユークリッド空間の局所コンパクト部分集合の例がいくつか得られます。
• p進数の空間Q _{p は}、カントール集合から1 点を引いたものと同相であるため、局所コンパクトです。したがって、局所コンパクト空間は、古典解析と同様にp進解析でも有用です。

次の節で述べるように、ハウスドルフ空間が局所コンパクトであれば、それはチコノフ空間でもあります。このため、チコノフ空間ではないために局所コンパクトにならないハウスドルフ空間の例は、チコノフ空間に関する記事で見つけることができます。しかし、次のような、局所コンパクトにならないチコノフ空間の例もあります。

• 有理数の空間Q （ Rからの位相を備える）。任意の近傍には無理数に対応するコーシー列が含まれるが、その無理数はQに収束する部分列を持たないためである。
• のサブスペース。原点はコンパクトな近傍を持たないため。${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$
• 実数の集合R上の下限位相または上限位相（片側極限の研究に有用）
• 任意のT ₀、つまりハウスドルフの、無限次元の位相ベクトル空間（無限次元ヒルベルト空間など） 。

最初の 2 つの例は、局所コンパクト空間の部分集合は必ずしも局所コンパクトである必要はないことを示しています。これは、前のセクションの開部分集合と閉部分集合とは対照的です。最後の例は、前のセクションのユークリッド空間とは対照的です。より具体的には、ハウスドルフ位相ベクトル空間が局所コンパクトであるためには、有限次元である必要があります (この場合はユークリッド空間です)。この例は、コンパクト空間の例としてのヒルベルト キューブとも対照的です。このキューブはヒルベルト空間内のどの点の近傍にもなれないため、矛盾はありません。

• 有理数Qの1点コンパクト化はコンパクトであり、したがって(1)と(2)の意味で局所コンパクトであるが、(3)と(4)の意味で局所コンパクトではない。
• 任意の無限集合上の特定の点位相は、(1)と(3)の意味で局所コンパクトであるが、(2)と(4)の意味で局所コンパクトではない。これは、任意の近傍の閉包が空間全体であり、非コンパクトであるためである。
• 上記2つの例の互いに素な和は、(1)の意味で局所コンパクトであるが、(2)、(3)、(4)の意味で局所コンパクトではない。
• 実数直線上の右順序位相は、 ( 1)と(3)の意味で局所コンパクトであるが、(2)と(4)の意味で局所コンパクトではない。これは、任意の近傍の閉包が非コンパクト空間全体であるためである。
• シェルピンスキー空間は、(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトであり、コンパクトでもあるが、ハウスドルフでも正則でもない(あるいは前正則でもない)ため、(4)や(5)の意味で局所コンパクトではない。シェルピンスキー空間の可算なコピーの非交差和は非コンパクト空間であり、(1)、(2)、(3)の意味ではまだ局所コンパクトであるが、(4)や(5)の意味でではない。
• より一般的には、排除点位相は(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトであり、(4)または(5)の意味でコンパクトだが局所コンパクトではない。
• 無限集合上のコ有限位相は、(1)、(2)、(3)の意味で局所コンパクトであり、コンパクトでもあるが、ハウスドルフでも正則でもないので、(4)や(5)の意味で局所コンパクトではない。
• 少なくとも2つの要素を持つ集合上の非離散位相は、 (1)、(2)、(3)、(4)の意味で局所コンパクトであり、コンパクトでもあるが、ハウスドルフではないため、(5)の意味で局所コンパクトではない。

• アレクサンドロフ位相を持つすべての空間は、(1)と(3)の意味で局所コンパクトである。^[10]

実際、すべての局所コンパクトな前正則空間は完全に正則です。^{[11] [12]} したがって、すべての局所コンパクトなハウスドルフ空間はチコノフ空間です。^[13] 直線正則性は前正則性 (通常はより弱い) や完全正則性 (通常はより強い) よりもよく知られている条件であるため、局所コンパクトな前正則空間は、数学の文献では通常、局所コンパクトな正則空間と呼ばれます。同様に、局所コンパクトなチコノフ空間は通常、単に局所コンパクトなハウスドルフ空間と呼ばれます。

あらゆる局所コンパクトな正則空間、特にあらゆる局所コンパクトなハウスドルフ空間はベール空間である。^{[14] [15]} つまり、ベールの範疇定理の結論が成り立つ。つまり、どこにも稠密でない部分集合のあらゆる可算和の内部は空である。

局所コンパクト ハウスドルフ空間Yの部分空間 Xは、 XがYにおいて局所的に閉じている場合（つまり、X はYの 2 つの閉じた部分集合の集合論的な差として表すことができる場合）に限り、局所コンパクトである。特に、局所コンパクト ハウスドルフ空間内のすべての閉集合とすべての開集合は局所コンパクトである。また、系として、局所コンパクト ハウスドルフ空間Yの稠密な部分空間Xが局所コンパクトである場合は、 XがYにおいて開いている場合に限り、局所コンパクトである。さらに、任意のハウスドルフ空間Yの部分空間Xが局所コンパクトである場合、X はYにおいて局所的に閉じている必要があるが、その逆は一般には成り立たない。

ハウスドルフの仮説がなければ、これらの結果のいくつかは、より弱い局所コンパクトの概念で破綻します。弱局所コンパクト空間 (= 上記の定義の条件 (1)) 内のすべての閉集合は、弱局所コンパクトです。しかし、弱局所コンパクト空間内のすべての開集合が弱局所コンパクトであるとは限りません。たとえば、有理数の1 点コンパクト化は コンパクトであり、したがって弱局所コンパクトです。しかし、これには弱局所コンパクトではない開集合が 含まれます。${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

局所コンパクト ハウスドルフ空間の商空間はコンパクトに生成される。逆に、コンパクトに生成されるハウスドルフ空間はすべて、何らかの局所コンパクト ハウスドルフ空間の商である。

局所コンパクト空間上で定義された関数の場合、局所一様収束はコンパクト収束と同じです。

このセクションでは、局所コンパクト空間のコンパクト化について説明します。すべてのコンパクト空間は、それ自身のコンパクト化です。したがって、些細なことを避けるため、以下では空間Xはコンパクトではないと仮定します。

すべての局所コンパクト ハウスドルフ空間Xはチコノフなので、ストーン–チェフのコンパクト化を使用してコンパクト ハウスドルフ空間に埋め込むことができます。しかし実際には、局所コンパクトな場合にはより簡単な方法があります。1点コンパクト化は、X を1 点だけ追加したコンパクト ハウスドルフ空間に埋め込みます。(1 点コンパクト化は他の空間にも適用できますが、X が局所コンパクトかつハウスドルフである場合に限り、ハウスドルフになります。) したがって、局所コンパクト ハウスドルフ空間は、コンパクト ハウスドルフ空間の開集合として特徴付けることができます。 ${\displaystyle b(X)}$${\displaystyle a(X)}$${\displaystyle a(X)}$

直感的には、 の余分な点は無限遠点と考えることができる。無限遠点は、Xのすべてのコンパクト部分集合の外側にあると考えるべきである。この考え方を使うと、無限遠への傾向に関する多くの直感的な概念を、局所コンパクトハウスドルフ空間で定式化することができる。例えば、任意の正の数eが与えられたときに、点x がKの外側にあるときは常に、 となるXのコンパクト部分集合Kが存在するとき、ドメインXを持つ連続実数値または複素数値関数f は無限遠で消滅すると言われる。この定義は、任意の位相空間Xに対して意味がある。Xが局所コンパクトかつハウスドルフである場合、そのような関数は、その 1 点コンパクト化上の連続関数gに拡張可能な関数とまったく同じである。${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle |f(x)|<e}$ ${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$${\displaystyle g(\infty )=0.}$

局所コンパクトなハウスドルフ空間X に対して、無限遠で消えるX上の連続複素数値関数全体の集合は可換C*-代数です。実際、すべての可換 C*-代数は、ある一意の(同相を除いて) 局所コンパクトなハウスドルフ空間Xに対して と同型です。これは、ゲルファント表現を使用して示されます。 ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$

局所コンパクト性の概念は、主にすべてのハウスドルフ局所コンパクト群 G が、 G 上で定義された測定可能な関数を積分することを可能にするハール測度と呼ばれる自然な測度を持つため、位相群の研究 において重要です。実数直線上のルベーグ測度は、この特別なケースです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

位相アーベル群Aのポントリャーギン双対が局所コンパクトであるためには、Aが局所コンパクトでなければなりません。より正確には、ポントリャーギン双対は、局所コンパクトアーベル群のカテゴリの自己双対を定義します。局所コンパクトアーベル群の研究は調和解析の基礎であり、この分野はその後、非アーベル局所コンパクト群にも広がっています。

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