分離関係

数学において、分離関係とは、一組の物体を向きのない円内に配置する正式な方法である。これは、特定の公理を満たす四元関係 S(a, b, c, d)として定義され、 aとc がb をdから分離することを主張していると解釈される。^[1]

線形順序は集合に正の端と負の端を与えるが、分離関係はどの端がどれであるかを忘れるだけでなく、端がどこに位置しているかも忘れる。このようにして、それは媒介関係と循環順序の概念をさらに弱めることになる。忘れられるものは他にはない。関連する相互定義可能性の意味を除いて、これら3つの関係は有理数の順序付き集合の唯一の非自明な縮約である。^[2]

分離は実射影平面が完備空間であることを示すのに使用できる。分離関係は1898年にジョヴァンニ・ヴァイラティによって公理とともに記述された。^[3]

• abcd =悪いc
• abcd = adcb
• ａｂｃｄ ⇒ ａｃｂｄ ¬ ａｃｄ
• abcd ∨ acdb ∨ adbc
• abcd ∧ acde ⇒ abde .

点の分離関係は、HSM Coxeterの教科書The Real Projective Planeに AC//BD と記されています。^[4]使用される連続性の公理は、「点の単調な列には必ず極限がある」というものです。分離関係は定義を提供するために使用されます。

• { A _n } は単調である≡ ∀ n > 1${\displaystyle A_{0}A_{n}//A_{1}A_{n+1}.}$
• Mは極限≡(∀n > 2 ) ∧(∀P⇒∃n )である。${\displaystyle A_{1}A_{n}//A_{2}M}$${\displaystyle A_{1}P//A_{2}M}$ ${\displaystyle A_{1}A_{n}//PM}$