最小上限特性

{\displaystyle M} — 空でないすべての部分集合 $M$ 実数 $\mathbb {R}$ 上から制限されているものには、最小上界が存在する。

数学において、最小上界性質（完全性、上限性質、またはlub性質とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、実数の基本的な性質である。より一般的には、半順序集合 $X$ は、上限を持つ $X$ のすべての空でない部分集合が $Xにおいて$ 最小上界（上限）を持つ場合、最小上界性質を持つ。すべての（半）順序集合が最小上界性質を持つわけではない。例えば、集合 $\mathbb {Q}$ 自然順序を持つすべての有理数の中で、最小上界の性質を持たないもの。

最小上界の性質は、実数の完全性公理の一形式であり、デデキント完全性と呼ばれることもあります。^{[ 2 ]}これは、中間値の定理、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、極値定理、ハイネ・ボレルの定理など、実解析の多くの基本的な結果を証明するために使用できます。これは通常、実数の総合的構成における公理として採用され、デデキント切断を使用した実数の構成とも密接に関連しています。

順序理論において、この性質は任意の半順序集合に対する完全性の概念に一般化できる。稠密で最小上界の性質を持つ線形順序集合は、線形連続体と呼ばれる。

物件に関する声明

実数に関する記述

$S を$ 空でない実数の集合とする。

実数 $x は、すべての$ $s$ $\in$ $S$ に対して $x$ $\geq$ $s$ が成り立つ場合、 $S$ の上限と呼ばれます。
実数 $xが$ $S$ の最小上界(または上限)であるとは、 $x が$ $S$ の上界であり、 $S$ のすべての上界 $yに対して$ $x$ $\leq$ $y が$ 成り立つ場合をいう。

最小上限の性質とは、上限を持つ空でない実数の集合は、必ず実数における最小上限を持つという性質である。

順序集合への一般化

{\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}} — 赤：セット $\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}$ .青:の上限の集合 $\mathbf {Q}$ 。

より一般的には、半順序集合 $X$ の任意の部分集合に対して、上限と最小上限を定義することができます。ここで、「実数」は「 $X$ の要素」に置き換えられます。この場合、上限を持つ $Xの空でない部分集合すべてに$ $X$ 内に最小上限が存在する場合、 $X は$ 最小上限特性を持つと言います。

例えば、有理数の集合 $Q は$ 、通常の順序では最小上界の性質を持ちません。例えば、集合 Q は、

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)

$Q$ には上限がありますが、 $Q$ には最小上限がありません(2 の平方根は無理数であるため)。デデキント切断を用いた実数の構成では、この制約を利用して、無理数を有理数の特定の部分集合の最小上限として定義しています。

証拠

論理ステータス

実数の場合、最小上界の性質は、コーシー列の収束や入れ子区間定理など、完全性公理の他の形式と同等です。この性質の論理的地位は、使用される実数の構成方法によって異なります。総合的なアプローチでは、この性質は通常公理として扱われます。他のアプローチでは、この性質は、構成から直接、または他の形式の完全性の結果として、定理として証明されなければなりません。

コーシー列を用いた証明

最小上界の性質は、アルキメデスの性質と $、$ 実数のコーシー列がすべて収束するという仮定から証明できます。^{[ 3 ]} $S を$ 空でない実数の集合とします。Sがちょうど1 つの要素を持つ場合、その唯一の要素は最小上界です。そこで、複数の要素を持つ $S を考え、$ $S が$ 上界 $B$ $1$ を持つと仮定します。S は空ではなく、複数の要素を持つので $、$ $S$ の上界ではない実数 $A$ $1$ が存在します。数列 $A$ $1$ $、$ $A$ $2$ $、$ $A$ $3$ $、 ...$ および $B$ $1$ $、$ $B$ $2$ $、$ $B$ $3$ $、 ...$ を再帰的に次のように定義します。

$(A n + B n) ⁄ 2が$ $S$ の上限であるかどうかを確認します。
そうであれば、 $A n +1 = A n$ とし、 $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ とする。
$そうでなければ、 S$ の中に $s$ $> ($ $A$ $n$ $+$ $B$ $n$ $) ⁄ 2$ となる要素 $s$ $が$ 存在しなければならない。A $n$ $+1$ $=$ $s$ とし、 $B$ $n$ $+1$ $=$ $B$ $n$ とする。

すると $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ となります。ここで、アルキメデスの性質により、 $n$ $\to \infty$ のとき $| A n - B n | \to 0 と$ なります。したがって、両方の数列はコーシー列であり、同じ極限 $Lを持ち、これは$ $S$ の最小上界でなければなりません。

アプリケーション

$R$ の最小上界の性質は、実解析における多くの主要な基礎定理を証明するために使用できる。

中間値の定理

関数 $f : [a, b] \to R を$ 連続関数とし、 $f (a) < 0$ かつ $f (b) > 0$ であると仮定します。この場合、中間値の定理によれば、 $f は$ 区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]内に$ 根を持つ必要があります。この定理は、集合を考えることで証明できます。

S = {s \in [a, b] : f (x) < 0 for all x \leq s}

。

つまり、 $Sは$ $f$ の下で負の値をとる $[a, b]$ の最初の区間です。すると $bは$ $S$ の上限となり、最小上限は $f$ の根でなければなりません。

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

$R$ に関するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は、閉区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]内の実$ 数列 $x$ $n$ は必ず収束する部分列を持つと述べている。この定理は、集合を考えることで証明できる。

S = {s \in [a, b] : s \leq x n (n は無限に存在する) }

明らかに、 $a\in S$ また、 $S$ は空ではありません。さらに、 $bは$ $S$ の上限であるため、 $S に$ は最小上限 $c が$ あります。すると、 $c は$ 数列 $x$ $n$ の極限点でなければならず、 $x$ $n に$ $はc$ に収束する部分列が存在することがわかります。

極値定理

$f : [a, b] \to R を$ 連続関数とし、 $M = sup f ([a, b])$ とします。ただし、 $f$ $([$ $a$ $,$ $b$ $])$ に上限がない場合は $M = \infty とします。$ 極値定理によれば、 $M は$ 有限であり、ある $c$ $\in [$ $a$ $,$ $b$ $]に対して$ $f$ $($ $c$ $) =$ $M$ となります。これは、集合を考えることで証明できます。

S = {s \in [a, b] : sup f ([s, b]) = M}

。

$M$ の定義により、 $a \in S$ であり、また定義により、 $S は$ $b$ で制限されます。c $が$ $S$ の最小上界である場合、連続性から $f (c) = M$ が成り立ちます。

ハイネ・ボレル定理

$[a, b]を$ $R$ の閉区間とし、{ $U α} を$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ を覆う開集合の集合とする。このとき、ハイネ・ボレル定理によれば、 ${$ $U$ $α$ $}$ の有限部分集合も $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ を覆う。この主張は、集合を考えることで証明できる。

S = {s \in [a, b] : [a, s ] は有限個の U α でカバーできる}

。

集合 $Sは明らかに$ $a を$ 含み、構成上 $b$ によって境界付けられています。最小上界の性質により、 $S は$ 最小上界 $c \in [a, b]$ を持ちます。したがって、 $cはそれ自体が何らかの開集合$ $U α$ の要素であり、 $c < b$ の場合、 $[a, c + δ]は、十分小さい$ $δ$ $> 0$ に対して有限個の $U α$ でカバーできることがわかります。これにより、 $c$ $+$ $δ$ $\in$ $S$ であり、 $c は$ $S$ の上界ではないことが証明されます。したがって、 $c$ $=$ $b$ です。

歴史

最小上限特性の重要性は、バーナードボルツァーノによって1817 年の論文「Rein Analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege」で初めて認識されました。^{[ 4 ]}

注記

↑バートルとシャーバート（2011）は「完全性」を定義し、それが「上限性」とも呼ばれると述べている。（39ページ）
↑ウィラードは、順序空間Xが「上界を持つXのすべての部分集合が最小上界を持つ場合、Xはデデキント完全である」と述べている。（124-5ページ、問題17E）
↑シラリ、サティシュ。 Vasudeva、Harkrishan L. (2006)。「0.11」。メトリックスペース。スプリンガー。 p. 22.ISBN 978-1-85233-922-7。
↑ Raman-Sundström, Manya (2015 年 8 月～9 月). "コンパクト性の教育史". American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635 . arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

参考文献

アボット、スティーブン（2001）。解析学の理解。数学学部教科書。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-95060-5。
Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (1998).実解析の原理（第3 版）. Academic. ISBN 0-12-050257-7。

バートル、ロバート・G.、シャーバート、ドナルド・R. (2011).実解析入門（第4 版）. ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-43331-6。
ブレッソー、デイヴィッド（2007）。実解析へのラディカルなアプローチ。MAA。ISBN 978-0-88385-747-2。
ブラウダー、アンドリュー（1996）。数学解析入門。学部生向け数学テキスト。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94614-4。
ダンジェロ、フランク、セイフリート、マイケル（1999）。入門実解析。ブルックス・コール。ISBN 978-0-395-95933-6。
ルーディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理。ウォルター・ルーディン高等数学学生シリーズ（第3 版）。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054235-8。
ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 9780486434797。

[1] バートルとシャーバート（2011）は「完全性」を定義し、それが「上限性」とも呼ばれると述べている。（39ページ）

[2] ウィラードは、順序空間Xが「上界を持つXのすべての部分集合が最小上界を持つ場合、Xはデデキント完全である」と述べている。（124-5ページ、問題17E）

[3] シラリ、サティシュ。 Vasudeva、Harkrishan L. (2006)。「0.11」。メトリックスペース。スプリンガー。 p. 22.ISBN 978-1-85233-922-7。

[Sundström-4] Raman-Sundström, Manya (2015 年 8 月～9 月). "コンパクト性の教育史". American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635 . arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

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