定義可能な実数

非公式には、定義可能な実数とは、その記述によって一意に指定できる実数のことである。記述は、構成または形式言語の式として表現できる。例えば、2の正の平方根、$\displaystyle {\sqrt {2}}}$は、方程式の唯一の正の解として定義できます。${\displaystyle x^{2}=2}$そして、コンパスと定規を使って作図することができる。

形式言語の選択や解釈の違いによって、定義可能性の概念も異なってくる。定義可能な数の具体的な種類としては、幾何学 の構成可能数、代数的数、計算可能数などが挙げられる。

実数を指定する方法の一つに、幾何学的手法を用いる方法がある。実数${\displaystyle r}$長さ の線分を構成する方法が存在する場合、 は構成可能な数である。${\displaystyle r}$コンパスと定規を使って、長さ1の固定線分から始めます。

すべての正の整数とすべての正の有理数は構成可能です。2の正の平方根は構成可能です。しかし、2の立方根は構成できません。これは、3乗を2倍にすることが不可能であることに関係しています。

実数${\displaystyle r}$多項式が存在する場合、それは実代数的数と呼ばれます。${\displaystyle p(x)}$、係数は整数のみなので、${\displaystyle r}$は${\displaystyle p}$つまり、${\displaystyle p(r)=0}$各実代数的数は、実数上の順序関係を用いて個別に定義できます。たとえば、多項式${\displaystyle q(x)}$5 つの実根を持ち、3 番目は一意に定義できます${\displaystyle r}$そのため${\displaystyle q(r)=0}$そして、2つの異なる数より小さい数が存在する${\displaystyle r}$その${\displaystyle q}$ゼロです。

すべての有理数は構成可能であり、すべての構成可能な数は代数的である。2の立方根のように、代数的ではあるが構成可能ではない数も存在する。

実代数的数は実数の部分体を形成します。これは、0 と 1 が代数的数であり、さらに、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$が代数的数であれば、${\displaystyle a+b}$、${\displaystyle ab}$、${\displaystyle ab}$そして、もし${\displaystyle b}$ゼロではない、${\displaystyle a/b}$。

実代数的数は、実数の部分体であることに加えて、任意の正の整数に対して次の性質も持ちます。${\displaystyle n}$そして各実代数的数${\displaystyle a}$すべて${\displaystyle n}$th の根${\displaystyle a}$実数であるものは、代数的でもある。

代数的数は可算個しか存在しないが、実数は非可算個存在するため、濃度という意味では、ほとんどの実数は代数的ではない。すべての実数が代数的ではないというこの非構成的な証明は、ゲオルク・カントールが1874年の論文「すべての実数代数的数の集合の性質について」で初めて発表した。

代数的数ではない数は超越数と呼ばれます。最もよく知られている超越数はπとeです。

実数は、自然数が与えられたときに、あるアルゴリズムによって計算可能な数となる。${\displaystyle n}$、数値の小数展開を正確な値で生成します。${\displaystyle n}$小数点以下の桁数。この概念は1936年にアラン・チューリングによって導入されました。 ^{[ 1 ]}

計算可能な数には、代数的数と多くの超越数が含まれます。${\displaystyle \pi }$そして${\displaystyle e}$代数的数と同様に、計算可能数も実数の部分体を形成し、正の計算可能数は演算に関して閉じている。${\displaystyle n}$各正の平方根${\displaystyle n}$。

すべての実数が計算可能であるとは限りません。計算不可能な実数の具体的な例としては、スペッカー数列の極限値や、チャイティンのΩ数などのアルゴリズム的にランダムな実数などが挙げられます。

定義可能性のもう一つの概念は、ペアノ算術のような形式的な算術理論から来ています。算術の言語には、0、1、後続演算、加算、乗算を表す記号があり、これらは自然数上で通常の方法で解釈されることを意図しています。この言語の変数は実数の範囲を取らないため、実数を参照するには別の種類の定義可能性が必要です。実数${\displaystyle a}$は、そのデデキントカットがその言語の述語として定義できる場合、すなわち、一階述語論理式が存在する場合に、算術言語（または算術的）で定義可能である。${\displaystyle \varphi }$算術の言葉で、3つの自由変数を持つ、 $${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$$ ここで、 m、n、pは非負の整数をとります。

二階算術言語は、変数と量化子が自然数の集合を対象とすることができる点を除けば、一階算術言語と同じです。二階算術言語で定義可能な実数は解析的実数と呼ばれます。

計算可能な実数はすべて算術数であり、算術数は解析数と同様に実数の部分体を形成します。すべての算術数は解析数ですが、すべての解析数が算術数であるとは限りません。解析数は可算個しか存在しないため、ほとんどの実数は解析数ではなく、したがって算術数でもありません。

計算可能な数はすべて算術数であるが、すべての算術数が計算可能であるとは限らない。例えば、スペッカー数列の極限は、計算不可能な算術数である。

算術的実数と解析的実数の定義は、算術的階層と解析的階層に階層化できる。一般に、実数が計算可能であるのは、そのデデキント切断がレベルにある場合のみである。${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$算術的階層において、最も低いレベルの一つである。同様に、算術的デデキント切断を持つ実数は、解析的階層において最も低いレベルを形成する。

実数${\displaystyle a}$は、特定のモデルに関して、パラメータなしで集合論の言語で一階述語論理で定義可能である。${\displaystyle M}$ZFCの式がある場合${\displaystyle \varphi }$集合論の言葉で、1つの自由変数を持つ、${\displaystyle a}$は、 ${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle \varphi (a)}$成立する。^{[ 2 ]} これにより、異なるモデルに対して定義可能性の異なる概念が生じ、集合論の言語の式では特徴付けることができない。

すべての解析数、特にすべての計算可能な数は、集合論の言語で定義できます。したがって、集合論の言語で定義できる実数には、0、1、2、3、4、5、6、7、8、1、1、2${\displaystyle \pi }$、${\displaystyle e}$など、すべての代数的数とともに。モデル内でそれらが集合を形成すると仮定すると、集合論の言葉で定義できる実数は体を形成する。

各モデル${\displaystyle M}$数えきれないほどの実数を含むものは、定義できない実数を含む必要がある${\displaystyle M}$（パラメータなし）。これは、式が可算個しか存在しないため、要素も可算個しか存在しないという事実から導かれる。${\displaystyle M}$定義可能${\displaystyle M}$したがって、${\displaystyle M}$数えきれないほどの実数が存在し、「外部」から証明できる${\displaystyle M}$すべての実数が${\displaystyle M}$定義可能${\displaystyle M}$。

この議論は、フォン・ノイマン宇宙のようなZFCのクラスモデルに適用すると、より問題が生じる。「実数${\displaystyle x}$クラスモデル上で定義可能${\displaystyle N}$「は ZFC の式として表現できません。^{[ 3 ] [ 4 ]}同様に、フォン・ノイマン宇宙が定義できない実数を含むかどうかという問題は、ZFC の言語で文として表現できません。さらに、すべての実数、すべての実数の集合、実数上の関数などが定義可能な ZFC の可算モデルが存在します。^{[ 3 ] [ 4 ]}

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