均一空間

この定義は、近傍システムの観点から位相空間の表現を調整するものです。空でない集合${\displaystyle \Phi }$サブセットの${\displaystyle X\times X}$は均一な構造（または均一性）以下の公理を満たす場合：

1. もし${\displaystyle U\in \Phi }$それから${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$どこ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$対角線は${\displaystyle X\times X.}$
2. もし${\displaystyle U\in \Phi }$そして${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$それから${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. もし${\displaystyle U\in \Phi }$そして${\displaystyle V\in \Phi }$それから${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. もし${\displaystyle U\in \Phi }$すると、いくつか${\displaystyle V\in \Phi }$そのため${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$、 どこ${\displaystyle V\circ V}$は、${\displaystyle V}$それ自体との合成。2つの部分集合の合成${\displaystyle V}$そして${\displaystyle U}$の${\displaystyle X\times X}$定義される$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. もし${\displaystyle U\in \Phi }$それから${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$どこ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$は逆です${\displaystyle U.}$

空虚でない${\displaystyle \Phi }$（２）と（３）を合わせて考えると、${\displaystyle \Phi }$フィルターは​${\displaystyle X\times X.}$最後のプロパティが省略されている場合、スペースを準均一。要素${\displaystyle U}$の${\displaystyle \Phi }$と呼ばれる近隣またはentourageはフランス語で「周囲」を意味する言葉に由来する。

通常はこう書く${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$どこ${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$は垂直断面です${\displaystyle U}$そして${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$は、2 番目の座標への正準射影です。グラフ上では、典型的な周囲は「」を囲む塊として描かれます。${\displaystyle y=x}$斜め; すべて異なる${\displaystyle U[x]}$は垂直断面を形成します。${\displaystyle (x,y)\in U}$そしてこう言う${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は${\displaystyle U}$-閉じる。同様に、サブセット内のすべての点のペアが${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$は${\displaystyle U}$-閉じる（つまり、${\displaystyle A\times A}$に含まれる${\displaystyle U}$)${\displaystyle A}$と呼ばれる${\displaystyle U}$-小規模。一行${\displaystyle U}$は対称の場合${\displaystyle (x,y)\in U}$まさにその時${\displaystyle (y,x)\in U}$または同等に、${\displaystyle U^{-1}=U}$最初の公理は、各点が${\displaystyle U}$-各側近にとって、それ自身に近い${\displaystyle U.}$3番目の公理は「両方」であることを保証する${\displaystyle U}$-閉じて${\displaystyle V}$-close」は均一性における近接関係でもある。第4公理は、各アントラージュについて、${\displaystyle U}$取り巻きがいる${\displaystyle V}$つまり「半分以下」ということである。最後に、最後の公理は、均一な構造に関する「近さ」という性質は対称であると述べている。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y.}$

A側近の拠点または均一性の（または周辺）の基本システム${\displaystyle \Phi }$任意の集合${\displaystyle {\mathcal {B}}}$取り巻きの${\displaystyle \Phi }$そのため、あらゆる取り巻きが${\displaystyle \Phi }$に属するセットが含まれています${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$したがって、上記の特性2により、基本的なアントラージュのシステム${\displaystyle {\mathcal {B}}}$均一性を指定するには十分です${\displaystyle \Phi }$明確に：${\displaystyle \Phi }$は、 の部分集合の集合です。${\displaystyle X\times X}$セットを含む${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$均一な空間には、対称的な周囲関係からなる基本的な周囲関係のシステムが存在する。

一様性についての直感は、距離空間の例によって得られる。${\displaystyle (X,d)}$は距離空間であり、集合は $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ 標準的な均一構造のための基本的な側近システムを形成する${\displaystyle X.}$それから${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は${\displaystyle U_{a}}$-距離がちょうど閉じるとき${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$最大で${\displaystyle a.}$

均一性${\displaystyle \Phi }$別の均一性よりも細かい${\displaystyle \Psi }$同じセットの場合${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi$ ;} その場合${\displaystyle \Psi }$より粗いと言われている${\displaystyle \Phi .}$

一様空間は、擬距離体系を用いて代替的かつ同等に定義することができ、このアプローチは関数解析において特に有用である（擬距離は半ノルムによって提供される）。より正確には、${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$集合上の擬距離である${\displaystyle X.}$反転画像${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$のために${\displaystyle a>0}$均一性の周囲を囲む基本的なシステムを形成することが示される。${\displaystyle U_{a}}$単一の擬似距離によって定義される均一性${\displaystyle f.}$擬距離によって位相が定義される空間をゲージ空間と呼ぶ著者もいる。

家族向け${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$擬似距離の${\displaystyle X,}$族によって定義される均一構造は、個々の擬似距離によって定義される均一構造の最小上界である。${\displaystyle f_{i}.}$この均一性の基本的なアントラージュシステムは、個々の擬似距離によって定義される均一性のアントラージュの有限な交差の集合によって提供される。${\displaystyle f_{i}.}$擬距離の族が有限である場合、単一の擬距離、すなわち上包絡線によって同じ均一構造が定義されることがわかる。${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$家族の。

より複雑な例として、可算個の基本的なアントラージュ系を許容する均一構造（したがって特に、可算個の擬距離族によって定義される均一性）は、単一の擬距離によって定義できることが示せる。その結果、任意の均一構造は、（おそらく非可算個の）擬距離族によって上記のように定義できる（Bourbaki: General Topology Chapter IX §1 no. 4を参照）。

均一な空間${\displaystyle (X,\Theta )}$セット${\displaystyle X}$優れたカバー類を装備${\displaystyle \Theta ,}$「ユニフォームカバー」と呼ばれる、カバーのセットから抽出されたもの${\displaystyle X,}$星の細分化によって順序付けられるとフィルターを形成する。カバーは${\displaystyle \mathbf {P} }$カバーのスター洗練です${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$書かれた${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$すべての${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$があります${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$もし${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$それから${\displaystyle B\subseteq U.}$公理的に言えば、フィルターであるという条件は次のように簡略化される。

1. ${\displaystyle \{X\}}$は均一カバー（つまり、${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$)
2. もし${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$と${\displaystyle \mathbf {P} }$ユニフォームカバーと${\displaystyle \mathbf {Q} }$カバー${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \mathbf {Q} }$制服カバーとしても使用できます。
3. もし${\displaystyle \mathbf {P} }$そして${\displaystyle \mathbf {Q} }$制服カバーがあるならば、制服カバーがある${\displaystyle \mathbf {R} }$両方を星のように精製する${\displaystyle \mathbf {P} }$そして${\displaystyle \mathbf {Q} }$

ある点が与えられた場合${\displaystyle x}$ユニフォームカバー${\displaystyle \mathbf {P} ,}$メンバーの連合を考察することができる${\displaystyle \mathbf {P} }$含まれる${\displaystyle x}$典型的な近隣地域として${\displaystyle x}$「大きさ」の${\displaystyle \mathbf {P} ,}$そして、この直感的な尺度は空間全体に均一に適用される。

周囲空間の意味で均一な空間が与えられたとき、カバーを定義する。${\displaystyle \mathbf {P} }$付き添いがいる場合は統一する${\displaystyle U}$各${\displaystyle x\in X,}$そこには${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$そのため${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$これらの均一カバーは、2番目の定義にあるように均一空間を形成します。逆に、均一カバーの意味で均一空間が与えられた場合、スーパーセットは${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$として${\displaystyle \mathbf {P} }$均一カバーの範囲は、最初の定義にあるように、均一空間の周囲である。さらに、これら 2 つの変換は互いに逆である。^{[ 1 ]}

位相空間はトポロジーと互換性のある均一な構造が存在する場合、均一化可能である。

すべての均一化可能な空間は、完全正則位相空間である。さらに、均一化可能な空間については、${\displaystyle X}$以下は同等です。

• ${\displaystyle X}$はコルモゴロフ空間である
• ${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間である
• ${\displaystyle X}$はチホノフ空間である
• 互換性のある均一な構造の場合、すべてのアントラージュの交点は対角線になります。${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

一部の著者（例えばエンゲルキング）は、この最後の条件を均一化可能な空間の定義に直接追加している。

一様化可能な空間の位相は常に対称位相である。つまり、その空間はR ₀ -空間である。

逆に、完全正則空間はそれぞれ一様化可能である。完全正則空間の位相と互換性のある一様性${\displaystyle X}$は、すべての連続実数値関数を にするような最も粗い均一性として定義できます。${\displaystyle X}$一様に連続している。この一様性のための基本的なアントラージュシステムは、すべての有限集合の交差によって提供される。${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$どこ${\displaystyle f}$は連続な実数値関数である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle V}$均一な空間の周囲${\displaystyle \mathbf {R} .}$この均一性はトポロジーを定義し、それは明らかに元のトポロジーよりも粗い。${\displaystyle X;}$それが元のトポロジーよりも細かい（したがってそれと一致する）ことは、完全な正則性の単純な帰結である。任意の${\displaystyle x\in X}$そして近隣地域${\displaystyle X}$の${\displaystyle x,}$連続な実数値関数が存在する${\displaystyle f}$と${\displaystyle f(x)=0}$そして、補数では 1 に等しい。${\displaystyle V.}$

特に、コンパクトハウスドルフ空間は一様化可能である。実際、コンパクトハウスドルフ空間の場合、${\displaystyle X}$対角線上のすべての近傍の集合${\displaystyle X\times X}$トポロジーに適合する独自の均一性を形成する。

ハウスドルフ一様空間は、その一様性が可算個の擬距離族によって定義できる場合に距離化可能である。実際、上で述べたように、そのような一様性は単一の擬距離によって定義でき、空間がハウスドルフであれば、それは必然的に距離となる。特に、ベクトル空間の位相がハウスドルフであり、かつ可算個の半ノルム族によって定義できる場合、その空間は距離化可能である。

距離空間と同様に、すべての均一空間${\displaystyle X}$持っているハウスドルフ完備化：すなわち、完備なハウスドルフ一様空間が存在する。${\displaystyle Y}$そして均一に連続する地図${\displaystyle i:X\to Y}$（もし${\displaystyle X}$ハウスドルフ一様空間である場合${\displaystyle i}$は、以下の性質を持つ位相埋め込みです。

任意の一様連続写像に対して${\displaystyle f}$の${\displaystyle X}$完全なハウスドルフ均一空間へ${\displaystyle Z,}$一意の均一連続マップが存在する${\displaystyle g:Y\to Z}$そのため${\displaystyle f=gi.}$

ハウスドルフの完成${\displaystyle Y}$同型を除いて一意です。集合として、${\displaystyle Y}$は、最小コーシーフィルターから構成されると考えることができる。${\displaystyle X.}$近隣フィルターとして${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$各ポイントの${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$最小コーシーフィルター、マップ${\displaystyle i}$マッピングによって定義できます${\displaystyle x}$に${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$地図${\displaystyle i}$このように定義されたものは一般に単射ではない。実際、同値関係のグラフは${\displaystyle i(x)=i(x')}$すべてのアントラージュの交差点${\displaystyle X,}$そしてこうして${\displaystyle i}$は、まさに次の場合に単射である。${\displaystyle X}$ハウスドルフです。

均一な構造${\displaystyle Y}$は次のように定義されます。対称的な周囲${\displaystyle V}$（つまり、${\displaystyle (x,y)\in V}$暗示する${\displaystyle (y,x)\in V}$）、 させて${\displaystyle C(V)}$すべてのペアの集合とする${\displaystyle (F,G)}$少なくとも１つの共通点を持つ最小コーシーフィルター${\displaystyle V}$-小さなセット。セット${\displaystyle C(V)}$これらは基本的な側近システムを形成することが示される。${\displaystyle Y}$このように定義された均一な構造を備えている。

セット${\displaystyle i(X)}$は、${\displaystyle Y.}$ もし${\displaystyle X}$ハウスドルフなら、${\displaystyle i}$ は同型写像である${\displaystyle i(X),}$そしてこうして${\displaystyle X}$その完成度の密な部分集合と識別できる。さらに、${\displaystyle i(X)}$常にハウスドルフです。ハウスドルフ一様空間に関連付けられている${\displaystyle X.}$ もし${\displaystyle R}$同値関係を表す${\displaystyle i(x)=i(x'),}$すると商空間${\displaystyle X/R}$は同相である${\displaystyle i(X).}$