Descriptive set theory

In mathematical logic, descriptive set theory is the study of certain classes of subset of the real line and other Polish spaces satisfying some sort of definability criterion. As well as being one of the primary areas of research in set theory, it has applications to other areas of mathematics such as functional analysis, ergodic theory, the study of operator algebras and group actions, and mathematical logic.

Descriptive set theory begins with the study of Polish spaces and their Borel sets.

A Polish space is a second-countabletopological space that is metrizable with a complete metric. Heuristically, it is a complete separable metric space whose metric has been "forgotten". Examples include the real line${\displaystyle \mathbb {R} }$, the Baire space$\displaystyle {\mathcal {N}}}$, the Cantor space$\displaystyle {\mathcal {C}}}$, and the Hilbert cube${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$.

The class of Borel sets of a topological space X consists of all sets in the smallest σ-algebra containing the open sets of X. This means that the Borel sets of X are the smallest collection of sets such that:

• Every open subset of X is a Borel set.
• If A is a Borel set, so is ${\displaystyle X\setminus A}$. That is, the class of Borel sets are closed under complementation.
• If A_n is a Borel set for each natural number n, then the union ${\displaystyle \bigcup A_{n}}$これはボレル集合である。つまり、ボレル集合は可算和集合に関して閉じている。

基本的な結果として、任意の2つの非可算ポーランド空間XとYはボレル同型であることが示されています。すなわち、 XからYへの全単射が存在し、任意のボレル集合の逆像はボレル集合であり、任意のボレル集合の像もボレル集合となります。これは、ベール空間とカントール空間に注目を限定するという慣習にさらなる正当性を与えます。なぜなら、これらの空間と他のすべてのポーランド空間は、ボレル集合のレベルではすべて同型だからです。

ボレル集合の複雑さのすぐ上に、解析集合と共解析集合がある。ポーランド空間Xの部分集合が解析的であるとは、それが他のポーランド空間のボレル部分集合の連続像である場合をいう。ボレル集合の連続逆像はすべてボレル集合であるが、すべての解析集合がボレル集合であるとは限らない。集合が共解析的であるとは、その補集合が解析的である場合をいう。

記述集合論における多くの問題は、最終的には集合論的な考察と順序数および基数の性質に依存します。この現象は射影集合において特に顕著です。これらは、ポーランド空間X上の射影階層によって定義されます。

• セットは次のように宣言されます${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$それが解析的なものであれば。
• セットとは${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$それが共解析的である場合。
• 集合Aは${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$もし${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$サブセットBの${\displaystyle X\times X}$AはBを最初の座標に射影したものである。
• 集合Aは${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$もし${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$サブセットBの${\displaystyle X\times X}$AはBを最初の座標に射影したものである。
• セットとは${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$両方である場合${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$。

ボレル階層と同様に、各nに対して、任意の${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$セットは両方とも${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$。

射影集合の性質は、ZFCによって完全に決定されるわけではありません。V = L の仮定の下では、すべての射影集合が完全集合の性質やベールの性質を持つわけではありません。しかし、射影決定性の仮定の下では、すべての射影集合が完全集合の性質とベールの性質の両方を持ちます。これは、ZFCがボレル決定性を証明するものの、射影決定性は証明しないという事実に関係しています。

また、一般的な拡張機能もあります。${\displaystyle L}$任意の自然数に対して${\displaystyle n>2}$その中で${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$すべてのライトフェイスで構成されています${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$サブセット${\displaystyle \omega }$[ ^{1 ]​}

より一般的に言えば、ポーランド空間Xの要素の集合全体は、射影階層を一般化した同値類（ワッジ次数と呼ばれる）に分類できる。これらの次数はワッジ階層で順序付けられる。決定性の公理によれば、任意のポーランド空間上のワッジ階層は整礎であり、長さはΘで、構造は射影階層を拡張している。

記述集合論における現代的な研究分野の一つに、ボレル同値関係の研究がある。ポーランド空間X上のボレル同値関係は、ボレル部分集合である。${\displaystyle X\times X}$それはX上の同値関係である。

有効記述集合論の分野は、記述集合論の手法と一般化再帰理論（特に超算術理論）の手法を組み合わせたものです。具体的には、古典的な記述集合論の階層構造のライトフェイス版に焦点を当てています。そのため、ボレル階層の代わりに超算術階層が、射影階層の代わりに解析階層が研究されます。この研究は、クリプキ＝プラテック集合論や二階算術といった、より弱いバージョンの集合論と関連しています。

• ポイントクラス
• プレウェルオーダー
• スケール特性

• Kechris, Alexander S. (1994).古典的記述集合論. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9。
• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980).記述的集合論. ノース・ホランド. ISBN 0-444-70199-0。
• バルトシンスキー、トメク；ジュダ、ハイム（1995）。集合論：実数直線の構造について。ナティック：AKピーターズ／CRCプレス。ISBN 978-1-56881-044-7。

• 記述的集合論、デイビッド・マーカー、2002年。講義ノート。