最小上限プロパティ

数学において、最小上限性（完全性、上限性、またはlub性と呼ばれることもある）^[1]は、実数の基本的な性質である。より一般的には、半順序集合 X が最小上限性を持つとは、上限を持つXの空でない部分集合のすべてがXにおいて最小上限（上限）を持つことを意味する。すべての（半）順序集合が最小上限性を持つわけではない。例えば、すべての有理数の自然な順序による集合は、最小上限性を持た ない。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

最小上限性は実数の完全性公理の一種で、デデキント完全性と呼ばれることもある。^[2]これは中間値定理、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、極値定理、ハイン・ボレルの定理など、実解析の基本的な結果の多くを証明するために使用できる。これは通常、実数の総合的な構成における公理として扱われ、デデキント切断を用いた実数の構成にも深く関係している。

順序理論では、この性質は、任意の半順序集合の完全性の概念に一般化できます。稠密で最小の上限特性を持つ線形順序集合は、線形連続体と呼ばれます。

S を実数の空でない集合とします。

• 実数x がSの上限であるとは、すべてのs ∈ Sに対してx ≥ s が成立する場合をいいます。
• 実数x がSの最小の上限(または上限)であるとは、 x がSの上限であり、Sのすべての上限yに対してx ≤ y が成り立つことをいいます。

最小上限特性は、上限を持つ空でない実数の集合は、必ず実数の最小上限を持つというものです。

より一般的には、半順序集合Xの任意の部分集合に対して、「実数」を「Xの要素」に置き換えて、上限と最小上限を定義できます。この場合、上限を持つXの空でない部分集合のすべてがXに最小上限を持つ 場合、 X は最小上限特性を持つと言います。

例えば、有理数の集合Qは、通常の順序では最小上限の性質を持たない。例えば、集合

${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)}$

はQに上限を持ちますが、 Qに最小上限を持ちません(2 の平方根は無理数であるため)。デデキント切断を使用した実数の構成では、この欠点を利用して、無理数を有理数の特定の部分集合の最小上限として定義します。

最小上限特性は、コーシー数列の収束や入れ子の区間定理など、他の形式の完全性公理と同等です。特性の論理的ステータスは、使用される実数の構成に依存します。合成アプローチでは、特性は通常、実数の公理として採用されます (最小上限公理を参照)。構成的アプローチでは、構成から直接、または他の形式の完全性の結果として、特性は定理として証明されなければなりません。

実数のコーシー列はすべて収束するという仮定を使って、最小上限特性を証明することができます。S を空でない実数の集合とします。 S にちょうど 1 つの要素がある場合、その唯一の要素は最小上限です。そこで、複数の要素を持つS を考え、 S に上限B ₁があるとします。Sは空でなく、複数の要素を持つため、 Sの上限ではない実数A ₁が存在します。列A ₁、A ₂、A ₃、...およびB ₁、B ₂、B ₃、...を次のように再帰的に定義します。

1. ( A _n + B _n ) ⁄ 2 がSの上限であるかどうかを確認します。
2. そうであれば、A _{n +1} = A _n、B _{n +1} = ( A _n + B _n ) ⁄ 2とします。
3. それ以外の場合、 Sにはs >( A _n + B _n ) ⁄ 2となる要素sが存在する必要があります。A _{n +1} = s、B _{n +1} = B _nとします。

すると、A ₁ ≤ A ₂ ≤ A ₃ ≤ ⋯ ≤ B ₃ ≤ B ₂ ≤ B ₁かつn → ∞のとき| A _n − B _n | → 0となる。したがって、両方のシーケンスはコーシーであり、同じ極限L を持ち、これがSの最小の上限でなければならない。

Rの最小上限特性は、実解析における主要な基礎定理の多くを証明するために使用できます。

f  : [ a , b ] → R を連続関数とし、f​​ ( a ) < 0 かつ f ( b ) > 0 とする。 この場合、中間値 定理によれば、 fは区間[ a , b ]内に根を持つ必要がある。この定理は、集合

S  = { s ∈ [ a , b ] :  すべてのx ≤ sに対してf  ( x ) < 0 }。

つまり、S は、 f の下で負の値を取る[ a , b ]の最初のセグメントです。b はSの上限であり、最小の上限はfの根である必要があります。

Rのボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は、閉区間[ a , b ]内の実数列xnに_は必ず収束する部分列が存在することを述べている。この定理は、集合

S  = { s ∈ [ a , b ] :  s ≤ x _n （ nは無限個） }

明らかに、 で あり、S は空ではありません。さらに、b はSの上限であるため、S には最小の上限c があります。この場合、c はシーケンスx _nの極限点である必要があり、x _{n に}はcに収束する部分シーケンスがあることがわかります。 ${\displaystyle a\in S}$

f  : [ a , b ] → R を連続関数とし、M = sup f ([ a , b ]) とする。ここで f ( [ a , b ]  )に上限がない場合は M = ∞ となる。極値定理は、 Mが有限であり、あるc ∈ [ a , b ]に対してf  ( c ) = M となることを述べている。これは、集合

S  = { s ∈ [ a , b ] : sup f  ( [ s , b ] ) = M }です。

Mの定義により、a ∈ Sであり、また S 自身の定義により、S はbによって制限されます。c がSの最小の上限である場合、連続性からf  ( c ) = Mが導かれます。

[ a , b ] をRの閉区間とし、{ U α } を [ a , b ] を覆う開集合の集合とします。この_とき、ハイネ・ボレルの定理は、{ U α }の有限_部分集合も[ a , b ]を覆うことを述べています。この主張は、集合

S  = { s ∈ [ a , b ] : [ a , s ] は有限個のU _αでカバーされる}。

集合S には明らかにa が含まれ、構成によりbで制限されます 。最小上界特性により、S には最小上界c ∈ [ a , b ]があります。したがって、c自体は何らかの開集合U _αの要素であり、c < bの場合、[ a , c + δ ]は、十分に小さいδ > 0に対して有限個のU _αでカバーできることがわかります。これは、 c + δ ∈ Sであり、c がSの上限ではないことを証明しています。したがって、c = bです。

最小上限特性の重要性は、バーナード ボルツァーノによって1817 年の論文「Rein Analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege」で初めて認識されました。^[3]

• 実解析トピックのリスト

• アボット、スティーブン（2001）。『分析を理解する』。数学の学部テキスト。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-95060-5。
• Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (1998).実解析の原理(第 3 版). 学術書. ISBN 0-12-050257-7。

• バートル、ロバート G.、シャーバート、ドナルド R. (2011)。実解析入門(第 4 版)。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 978-0-471-43331-6。
• ブレソウド、デイヴィッド（2007）。実解析へのラディカルなアプローチ。MAA。ISBN 978-0-88385-747-2。
• ブラウダー、アンドリュー（1996）。『数学的解析：入門』。数学の学部テキスト。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94614-4。
• ダンジェロ、フランク; セイフリード、マイケル (1999)。実解析入門。ブルックス・コール。ISBN 978-0-395-95933-6。
• ルディン、ウォルター (1976)。数学的解析の原理。ウォルター・ルディン上級数学学生シリーズ (第 3 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054235-8。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版。ISBN 9780486434797。