非標準分析

微積分学の歴史は、流率や無限小数の意味と論理的妥当性に関する哲学的議論に満ちています。これらの議論を解決する標準的な方法は、無限小ではなく極限を使用して微積分の演算を定義することです。非標準解析^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は、代わりに論理的に厳密な無限小数の概念を使用して微積分を再定式化します。

非標準解析は、1960年代初頭に数学者のアブラハム・ロビンソンによって創始された。^{[ 4 ] [ 5 ]}彼は次のように書いている。

無限に小さい量、あるいは無限小量の概念は、私たちの直観に自然に訴えかけるように思われる。いずれにせよ、微分積分学の形成期には、無限小量の使用が広く行われていた。2つの異なる実数間の距離は無限に小さくはなり得ないという反論に対して、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、無限小量の理論は、実数と比較して無限に小さいか無限に大きいかもしれないが、実数と同じ性質を持つ理想数の導入を意味すると主張した。

ロビンソンは、ライプニッツのこの連続性の法則は、伝達原理の先駆けであると主張した。ロビンソンはさらにこう続けた。

しかし、彼自身も弟子や後継者も、このような体系に至る合理的な展開を示すことができなかった。その結果、無限小の理論は次第に評判を落とし、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。^{[ 6 ]}

ロビンソン氏はさらにこう述べている。

ライプニッツの思想は完全に正当化され、古典解析学をはじめとする多くの数学分野への斬新で実りあるアプローチへとつながる。我々の方法の鍵は、現代のモデル理論の根底にある、数学的言語と数学的構造の関係を詳細に分析することにある。

1973年、直観主義者のアーレント・ヘイティングは非標準解析を「重要な数学研究の標準モデル」として称賛した。^{[ 7 ]}

順序体の非ゼロ要素${\displaystyle \mathbb {F} }$は、その絶対値がのどの要素よりも小さい場合に限り、無限小である。${\displaystyle \mathbb {F} }$それは次の形式です${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$、 のために${\displaystyle n}$標準自然数。無限小の要素を持つ順序付き体も非アルキメデス的と呼ばれます。より一般的には、非標準解析とは、非標準モデルと転送原理に依存するあらゆる形式の数学を指します。実数に対する転送原理を満たす体は実閉体と呼ばれ、非標準実解析ではこれらの体を実数の非標準モデルとして使用します。

ロビンソンの独創的なアプローチは、実数体の非標準モデルに基づいていた。この分野における彼の古典的な基礎書である『非標準解析』は1966年に出版され、現在も出版され続けている。^{[ 8 ]} 88ページで、ロビンソンは次のように書いている。

非標準算術モデルの存在は、トーラルフ・スコレム（1934年）によって発見された。スコレムの方法は、超冪構成を予見するものである[...]

無限小の計算体系を構築するには、いくつかの技術的な課題に対処する必要があります。例えば、無限小を用いて順序体を構成するだけでは不十分です。関連する概念については、「超実数」の記事を参照してください。

このセクションでは、超実数体を定義する最も単純なアプローチの1つを概説します。${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$。 させて${\displaystyle \mathbb {R} }$を実数体とし、${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の半環とする。$\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$実数列の集合。体${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$は、適切な商として定義される。$\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$以下のように。非主成分超フィルターを例にとる。${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$。 特に、${\displaystyle F}$フレシェフィルターが含まれています。2つのシーケンスを考えてみましょう。

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

私たちはこう言います${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$それらは、超フィルターの要素であるインデックスの集合で一致する場合、または式において一致する場合に同等である。

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

商$\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$結果として得られる同値関係は超実数体である${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$、以下の式で要約される状況${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$。

非標準的な分析を検討すべき理由は、少なくとも3つある。歴史的、教育的、そして技術的な理由である。

非標準解析には、主に2つの異なるアプローチがある。意味論的（モデル理論的）アプローチと構文論的アプローチである。これらのアプローチは、解析学以外の数学分野、例えば数論、代数学、位相幾何学などにも応用できる。

ロビンソンの非標準解析の原型は、意味論的アプローチの範疇に属する。彼が論文で展開したように、それは理論のモデル（特に飽和モデル）の研究に基づいている。ロビンソンの研究が最初に発表されて以来、より単純な意味論的アプローチ（エリアス・ザコンによる）が、スーパーストラクチャと呼ばれる純粋に集合論的な対象を用いて開発されてきた。このアプローチでは、理論のモデルは、集合S上のスーパーストラクチャV ( S )と呼ばれる対象に置き換えられる。スーパーストラクチャV ( S )から出発して、超冪構成と転送原理を満たす写像V ( S ) → * V ( S )を用いて、別の対象* V ( S )を構築する。写像 * は、V ( S )と* V ( S )の形式的性質を関連付ける。さらに、可算飽和と呼ばれるより単純な飽和形式を考えることも可能である。この簡略化されたアプローチは、モデル理論や論理学の専門家ではない数学者にとってもより適している。

構文的アプローチは、理解して使用するために論理とモデル理論をはるかに少なく必要とします。このアプローチは、1970 年代半ばに数学者のエドワード・ネルソンによって開発されました。ネルソンは、内部集合理論(IST)と呼ばれる非標準解析の完全に公理的な定式化を導入しました。 ^{[ 13 ]} IST は、基本的な二項メンバーシップ関係 ∈ に加えて、数学的宇宙の要素に適用できる新しい単項述語standardを導入するという点で、ツェルメロ-フレンケル集合理論(ZF)の拡張です。この新しい述語で推論するためのいくつかの公理も導入されています。

構文的非標準解析では、数学者が通常当然のことと考えている集合形成の原理（正式には内包公理として知られる）を適用する際に細心の注意を払う必要がある。ネルソンが指摘するように、IST における推論の誤謬の一つは、不正な集合形成である。例えば、IST には、要素が正確に標準整数である集合は存在しない（ここで標準とは新しい述語の意味で理解される）。不正な集合形成を避けるには、部分集合を定義するために ZFC の述語のみを使用しなければならない。^{[ 13 ]}

構文的アプローチのもう1つの例は、ヴォペンカの代替集合論^{[ 14 ]}であり、ZFの公理よりも非標準分析とより互換性のある集合論の公理を見つけようとするものである。

アブラハム・ロビンソンの著書『非標準解析』は1966年に出版された。本書で展開されているトピックの一部は、すでに1961年の同名の論文（Robinson 1961）に登場していた。^{[ 15 ]}本書は非標準解析を初めて本格的に扱っただけでなく、詳細な歴史的セクションも含まれており、ロビンソンは非標準解析以前の時代における無限小を矛盾した存在とみなす認識に基づく数学史に関する定説に異議を唱えている。このように、ロビンソンはオーギュスタン＝ルイ・コーシーの『解析学講義』における連続関数の収束に関する「和の定理」が誤りであるという考えに異議を唱え、正しい定理をもたらす無限小に基づく仮説の解釈を提案している。

アブラハム・ロビンソンとアレン・バーンスタインは非標準解析を用いて、ヒルベルト空間上のすべての多項式コンパクト線形作用素が不変部分空間を持つことを証明した。^{[ 16 ]}

ヒルベルト空間H上の作用素Tが与えられたとき、 Tの反復によるH内の点vの軌道を考えます。グラム・シュミットの直交基底( e _i )_をHの対応する「座標」部分空間の入れ子列とします。( e _i )に関してTを表す行列a _{i,j は、}係数a _{i +1, i だけが非ゼロの副対角係数であるという意味で、ほぼ上三角です。Bernstein と Robinson は、T が多項式コンパクトであれば、行列係数 a w +1,} wが無限小となるような超有限インデックス w が存在することを示しています。次に、* _{Hの部分空間}H wを考えます。H w_内のyが_有限ノルムを持つ場合、T ( y )はH _wに無限に近くなります。

ここで、T _{w を}演算子とする${\displaystyle P_{w}\circ T}$H _wに作用する。ここでP _{w は}H _wへの直交射影である。q を、q ( T )がコンパクトとなるような多項式とする。部分空間H _wは超有限次元の内部である。有限次元複素ベクトル空間の演算子の上三角化を移すことにより、k が 1 から w まで変化する H w の内部正規直交ヒルベルト空間基底 ( e k ) が存在し、対応するk次元部分空間E kは_それぞれT不変で_ある。Π kを部分_空間E kへの射影とする_。Hの有限ノルム_の非ゼロベクトルxに対して、q ( T )( x )が非ゼロである、または| q ( T )( x )| > 1 であると仮定して、考え方を固定することができる。q ( T )はコンパクト演算子であるため、( q ( T _w ))( x )はq ( T )( x )に無限に近く、したがって| q ( T _w )( x )| > 1。ここで、jを、$\left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$すると、 E _jに無限に近づくすべての標準要素の空間が、求める不変部分空間となる。

バーンスタインとロビンソンの論文のプレプリントを読んだポール・ハルモスは、標準的な手法を用いて彼らの証明を再解釈した。^{[ 17 ]}両論文はパシフィック・ジャーナル・オブ・マセマティクスの同じ号に連続して掲載された。ハルモスの証明で使用されたアイデアの一部は、何年も後にハルモス自身の準三角形作用素に関する研究で再び登場した。

その他の成果は、既知の結果を再解釈または再証明する流れに沿って得られた。特に興味深いのは、Teturo Kamaeによる個体エルゴード定理の証明^{[ 18 ]}、またはL. van den DriesとAlex Wilkieによる多項式成長群に関するGromovの定理の扱い^{[ 19 ]}である。Larry ManevitzとShmuel Weinbergerは、非標準解析を用いて代数トポロジーの結果を証明した^{[ 20 ] 。}

しかし、非標準解析の真の貢献は、非標準集合論の新しい拡張言語を利用する概念と定理にある。数学における新しい応用例の中には、確率論^{[ 11 ]} 、 流体力学^{[ 21 ]}、測度論^{[ 22 ]} 、非平滑および調和解析^{[ 23 ]}などへの新しいアプローチがある。

非標準解析は確率過程の理論にも応用されており、特にブラウン運動をランダムウォークとして構成する。Albeverio ら^{[ 12 ]}はこの研究分野の概要を述べている。

公理学の観点から見ると、ボッファの超普遍性公理は、公理的非標準分析の基礎として応用されている。^{[ 24 ]}

非標準分析のいくつかの側面には優雅さと魅力がある一方で、エレット・ビショップ、アラン・コンヌ、ポール・ハルモスなどによる批判も表明されている。

任意の集合Sに対して、集合S上のスーパーストラクチャは、条件によって定義される集合V ( S )である。

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

したがって、 S上のスーパー構造は、 Sから始めて、 Sの冪集合を隣接させ、結果として得られる数列の和集合を取る操作を繰り返すことによって得られます。実数上のスーパー構造には、豊富な数学的構造が含まれています。たとえば、すべての可分距離空間と距離化可能な位相ベクトル空間の同型コピーが含まれています。解析者が関心を持つ数学のほぼすべては、 V ( R )内で展開されます。

非標準解析の基本的な考え方は、集合* Rと、いくつかの追加的な性質を満たす写像*  : V ( R ) → V (* R )です。これらの原理を定式化するために、まずいくつかの定義を述べます。

式が有界量化であるのは、式中に現れる量化子がすべて集合の範囲に制限されている場合、つまり、すべてが次の形式である場合に限る。

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

例えば、この式

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

は有界量化を持ち、全称量化変数xはAの範囲を取り、存在量化変数yはBの冪集合の範囲を取ります。一方、

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

yの量化は制限されていないため、有界量化は存在しません。

集合xが内部であるのは、 x がV ( R )の何らかの要素Aに対して* Aの要素である場合に限る。 * A自体が内部であるのは、A がV ( R )に属する場合である。

ここで、非標準分析の基本的な論理的枠組みを定式化する。

• 拡張原理：写像 * はR上の恒等写像である。
• 転送原理：有界量化を持ち、自由変数x ₁、 ... 、 x _nを持つ任意の式P ( x ₁、 ... 、 x _n )と、 V ( R )の任意の要素A ₁、 ...、A _nに対して、次の同値性が成り立つ。

${\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}$

• 可算飽和：{ A _k } _{k ∈ N}が自然数の範囲をとる空でない内部集合の減少列である場合、

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

超積を用いて、そのような写像 * が存在することを示すことができる。V ( R )の要素は標準と呼ばれる。* Rの要素は超実数と呼ばれる。

記号* Nは非標準自然数を表します。拡張原理により、これはNの上位集合です。集合* N − Nは空集合ではありません。これを確認するには、内部集合の列に可算飽和を適用します。

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

数列{ A _n } _{n ∈ N}は空でない共通部分を持つので、結果が証明される。

まずいくつかの定義から始めます。超実数r、s が無限に近いのは、次の場合に限ります。

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta }$

超実数rは、0 に限りなく近い場合に限り無限小である。例えば、nが超整数、つまり* N − Nの要素である場合、1/ nは無限小である。超実数rは、その絶対値が標準整数より小さい場合に限り、有限（または制限付き）である。有限超実数は、実数を含む* Rの部分環を形成する。この環において、無限小超実数はイデアルである。

限定超実数の集合または無限小超実数の集合は、V (* R )の外部部分集合です。実際には、境界が内部集合である有界量化は、これらの集合を範囲とすることはありません。

例： xとyが* Rの範囲にある平面( x , y )は内部平面であり、平面ユークリッド幾何学のモデルです。xとyが限られた値に制限されている平面（デーン平面に類似）は外部平面であり、この制限された平面では平行線公準が破られます。例えば、 y軸上の点(0, 1)を通り、傾きが無限小の直線はx軸に平行です。

定理。任意の限定超実数rに対して、 rに無限に近づく一意の標準実数st( r )が存在する。写像st は、限定超実数の環からRへの環準同型である。

マッピングstも外部です。

超実数の標準部分を考える一つの方法は、デデキント切断という観点から考えることです。任意の有限超実数s は、標準有理数 a が s より小さい集合Lと標準有理数bがs より大きい集合Uのペア( L , U ) を考えることで切断を定義します。( L , U )に対応する実数は、sの標準部分であるという条件を満たすことがわかります。

連続性に関する直感的な特徴づけの一つは以下のとおりである。

定理。区間[ a , b ]上の実数値関数fが連続であるのは、区間*[ a , b ]内のすべての超実数xに対して、次の式が成り立つ場合かつその場合に限る。 * f ( x ) ≅ * f (st( x ))。

同様に、

定理。実数値関数fが実数値xで微分可能であるのは、任意の無限小超実数hに対して、値

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

は存在し、 hとは独立している。この場合、f ′( x )は実数であり、xにおけるfの導関数である。

より高いカーディナリティのコレクションの交差を許可することで、飽和度を「改善」することが可能です。モデルは、次の場合にκ飽和します。${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$は有限交差特性を持つ内部集合の集合であり、${\displaystyle |I|\leq \kappa }$、

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

これは、例えば位相空間Xにおいて、標準的な近傍基底の交差が空でないことを保証するために|2 ^X | -飽和が必要な場合に役立ちます。^{[ 25 ]}

任意の基数κに対して、κ飽和拡張を構築することができる。^{[ 26 ]}

• EE Rosinger、[math/0407178]。非標準解析の簡単な紹介。arxiv.org。

• Wikiquoteにおける非標準分析に関する引用
• リンジー・キーガン著『失われた量の幽霊』。 2018年4月25日にウェイバックマシンにアーカイブ済み。