超越数

数学において、超越数（ちょうせつすう、英: transcendential number ）とは、代数的ではない実数または複素数、すなわち整数（または有理数）係数を持つ非ゼロ多項式の根ではない数である。最もよく知られている超越数はπとeである。^{[1] [2]}数が超越数であるという性質を超越性と呼ぶ。

超越数のクラスはごくわずかしか知られていないが、その理由の 1 つは、与えられた数が超越数であることを示すのが極めて難しいためである。しかし、超越数は珍しいものではない。実際、ほとんどすべての実数と複素数は超越数である。これは、代数的数は可算集合を形成するのに対し、実数の集合と複素数の集合はどちらも不可算集合であり、したがってどの可算集合よりも大きいからである。

すべての超越実数（実超越数または超越無理数とも呼ばれる）は無理数である。これはすべての有理数が代数的であるためである。[ ^{3] [4] [5] [6]}逆は真ではない。すべての無理数が超越数であるわけではない。したがって、実数の集合は、有理数、代数的非有理数、および超越実数の重複しない集合から構成される。^[3]たとえば、2 の平方根は無理数であるが、多項式方程式x ² − 2 = 0の根であるため、超越数ではない。黄金比（またはで表記）は、多項式方程式x ² − x − 1 = 0の根であるため、超越数ではない別の無理数である。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \phi}$

「超越数」という名前はラテン語の trānscendere  「越える、超える」に由来し、^[7]ライプニッツの1682年の論文で初めて数学的概念として使用され、その論文でライプニッツはsin xがxの代数関数ではないことを証明しました。^{[8] 18世紀の}オイラーは、おそらく現代的な意味で超越数を最初に定義した人物です。^[9]

ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、1768年にπが無理数であることを証明する論文の中で、eとπはともに超越数であると推測し、πが超越数であるという暫定的な証明を提案した。^[10]

ジョセフ・リウヴィルは1844年に初めて超越数の存在を証明し^{[11] 、1851年には}リウヴィル定数などの最初の小数の例を示した。

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+ 10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

ここで、小数点以下のn番目の桁は、 nがk ! ( k の階乗)に等しい場合(あるkについて) 1になり、そうでない場合は0 になります。^[12]言い換えると、この数のn番目の桁は、 nが1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24などの数のいずれかである場合にのみ 1 になります。リウヴィルは、この数が、無理数代数数よりも有理数によってより正確に近似できる超越数のクラスに属することを示し、この数のクラスは彼にちなんでリウヴィル数と呼ばれています。リウヴィルは、すべてのリウヴィル数が超越数であることを示しました。^[13]

超越数の存在を証明する目的で特別に構築されることなく超越数であることが証明された最初の数は、 1873 年に シャルル・エルミートによって証明されたeである。

1874年、ゲオルク・カントールは代数的数は可算で実数は不可算であることを証明した。また、彼は超越数を構成する新しい方法も提示した。 ^[14]これは代数的数の可算性の証明によってすでに示唆されていたが、カントールは実数と同じ数の超越数が存在することを証明する構成も発表した。^[a] カントールの研究は超越数の普遍性を確立した。

1882 年、フェルディナント・フォン・リンデマンは、πが超越数であることの完全な証明を初めて発表しました。彼はまず、 a が非ゼロの代数数である場合にe ^aが超越数であることを証明しました。すると、 e ^iπ = −1は代数的であるため (オイラーの恒等式を参照)、iπ は超越数でなければなりません。しかし、 i は代数的であるため、π は超越数でなければなりません。このアプローチは、カール・ワイエルシュトラスによって、現在リンデマン - ワイエルシュトラスの定理として知られているものに一般化されました。π の超越性は、コンパスと定規のみを使用する幾何学的作図では、たとえば円の二乗などの特定の結果を生成できないことを意味します。

1900年にデイヴィッド・ヒルベルトは超越数に関する疑問、ヒルベルトの第7の問題を提起した。aが0でも1でもない代数的数で、 bが無理代数的数である場合、a ^bは必ず超越数であるか？という疑問に対する肯定的な答えは、1934年にゲルフォン・シュナイダーの定理によって与えられた。この研究は、1960年代にアラン・ベイカーによって、代数的数の任意の数の対数における線型形式の下限に関する研究で拡張された。 ^[16]

超越数は、いかなる整数多項式の根でもない（複素数の場合もある）数である。有理数は1次の整数多項式の根であるため、すべての実超越数は無理数でもある。 ^[17]超越数の集合は非可算無限である。有理数係数の多項式は可算であり、そのような多項式はそれぞれ有限個の零を持つため、代数的数も可算でなければならない。しかし、カントールの対角線論法は、実数（したがって複素数も）が非可算であることを証明している。実数は代数的数と超越数の和集合であるため、両方の部分集合が可算であることは不可能である。このため、超越数は非可算である。

有理数は超越数ではなく、すべての実超越数は無理数です。無理数には、すべての実超越数と、二次無理数やその他の形式の代数的無理数を含む代数的数のサブセットが含まれます。

任意の非定数一変数代数関数を超越引数に適用すると、超越値が生成されます。たとえば、πが超越数であることがわかれば、、、、などの数も超越数であることがすぐにわかります。 ${\displaystyle 5\pi }$${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle ({\sqrt {\pi}}-{\sqrt {3}})^{8}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

ただし、多変数の代数関数を超越数に適用すると、これらの数が代数的に独立でない場合は代数的数になる可能性があります。たとえば、πと(1 − π )は両方とも超越数ですが、π + (1 − π ) = 1は明らかに超越数ではありません。たとえば、e + π が超越数であるかどうかは不明ですが、 e + πとeπの少なくとも 1 つは超越数でなければなりません。より一般的には、任意の 2 つの超越数aとbについて、 a + bとabの少なくとも 1 つは超越数でなければなりません。これを確認するには、多項式( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + abを考えます 。( a + b )とab が両方とも代数的であれば、これは代数係数を持つ多項式になります。代数的数は代数的に閉じた体を形成するため、多項式の根aとbは代数的でなければならないということになります。しかし、これは矛盾であり、したがって係数の少なくとも 1 つは超越的でなければなりません。

計算不可能な数は超越数の厳密なサブセットです。

すべてのリウヴィル数は超越数ですが、その逆は成り立ちません。任意のリウヴィル数は、単純な連分数展開において、有界な部分商を持たなければなりません。計数論的議論を使用すると、有界な部分商を持つ超越数が存在するため、リウヴィル数ではないことが示されます。

eの明示的な連分数展開を使用すると、 e がリウヴィル数でないことを示すことができます(ただし、その連分数展開の部分商は無限大です)。 Kurt Mahler は1953 年にπもリウヴィル数でないことを実証しました。 有界項を持ち、「単純な」構造を持ち、最終的に周期的ではないすべての無限連分数は超越的であると推測されています^{[18] (言い換えると、少なくとも 3 次多項式の代数的無理数根は、その連分数展開に明らかなパターンがありません。これは、最終的に周期的な連分数が 2 次無理数に対応するためです。}エルミートの問題を参照してください)。

超越的であることが証明された数字:

• π (リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による)。
• ${\displaystyle e^{a}}$が代数的でゼロでない（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により）場合、特にオイラー数eの場合。${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ここで は正の整数、特にゲルフォン定数（ゲルフォン・シュナイダーの定理による）です。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi}}$
• との代数的結合は、 と（それらの代数的独立性に従う）などである。 ^[19]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \pi +e^{\pi}}$${\displaystyle \pi e^{\pi}}$
• ${\displaystyle a^{b}}$ここで、は代数的であるが 0 または 1 ではなく、 は無理代数的であり、特にゲルフォン・シュナイダー定数(ゲルフォン・シュナイダー定理による) です。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
• 自然対数 は代数的であり、対数関数のどの枝に対しても 0 または 1 に等しくありません (リンデマン - ワイエルシュトラスの定理による)。${\displaystyle \ln(a)}$${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle \log_{b}(a)}$およびが正の整数である場合、両方とも同じ整数の累乗ではなく、は1 に等しくありません (ゲルフォン・シュナイダーの定理より)。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$
• 形式のすべての数は超越数であり、 はすべてに対して代数的であり、 はすべてに対して非ゼロ代数的である(ベイカーの定理による)。${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$${\displaystyle \beta_{j}}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• 任意の非ゼロ代数的数に対する三角関数 とその双曲関数。ラジアンで表されます（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）。${\displaystyle \sin(x),\cos(x),...}$${\displaystyle x}$
• 任意の代数的数に対して、逆三角関数 とその双曲関数の非ゼロの結果（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）。${\displaystyle \arcsin(x),\arccos(x),...}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \pi^{-1}{\arctan(x)}}$となる有理数に対して。^[20]${\displaystyle x}$${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$
• 余弦関数の不動点（ドッティ数とも呼ばれる）は、方程式 の唯一の実数解であり、ラジアン単位である（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）。^[21] ${\displaystyle d}$${\displaystyle \cos(x)=x}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle W(a)}$が代数的でゼロ以外の場合、ランベルトのW関数の任意の分岐（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）、特にオメガ定数Ωに対して当てはまります。${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle W(r,a)}$と の順序が代数的である場合、一般化ランバートW関数の任意の枝に対して となる。^[22]${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$、任意の自然数の平方超根は整数または超越数のいずれかです（ゲルフォン・シュナイダーの定理により）。
• またはの形をした有理数のガンマ関数の値。^[23]${\displaystyle \Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)}$${\displaystyle \Gamma (n/6)}$
• およびまたは および の代数的結合、例えばレムニスケート定数（それぞれの代数的独立性に従う）。^[19]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Gamma (1/3)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \varpi }$
• およびが非整数有理数である場合のベータ関数 の値は^{[24]である。}${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a+b}$
• が有理数で代数的かつ非零のとき、第一種ベッセル関数 、その一次導関数、および商は超越関数である。 ^[25]また、が有理数であるとき、およびのすべての非零根は超越関数である。^[26]${\displaystyle J_{\nu }(x)}$${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle x}$${\displaystyle J_{\nu }(x)}$${\displaystyle J'_{\nu }(x)}$${\displaystyle \nu }$
• 数、ここでおよび はベッセル関数であり、はオイラー・マスケローニ定数である。^{[27] [28]}${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \gamma }$
• 任意のリウヴィル数、特にリウヴィル定数。
• 大きな無理数測度を持つ数、例えば、シャンパーノウン定数 （ロスの定理による）。${\displaystyle C_{10}}$
• 代数的周期にならないように人工的に作られた数。^[29]
• 計算不可能な任意の数、特にチャイティン定数。
• いかなる基数においても単純に正規化できない無理数を構築した。 ^[30]
• ある固定された基数に対する数字がシュトゥルム語を形成する数。^[31]
• プルーエ・テュー・モース定数^[32]とそれに関連するウサギ定数^{[33] 。}
• コモルニク・ロレティ定数[ ^34]
• 紙折り定数（「ガウス・リウヴィル数」とも呼ばれる）。^[35]
• Y. GaoとJ. Gaoによって定義された高速収束速度を持つ無限級数の値は、例えば^[36]${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• およびの形の数値b > 1の場合、 は床関数です。^{[11] [37] [38] [39] [40] [41]}${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-b^{k}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor b^{k}\right\rfloor }}$${\displaystyle b\mapsto \lfloor b\rfloor }$

• の形式の任意の数（ただし、、は変数の多項式、、は代数的、、は1より大きい任意の整数）。^[42]${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$${\displaystyle E_{n}(z)}$${\displaystyle F_{n}(z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle r}$
• とは、 2つの異なる10進数のみを持ち、その非ゼロ桁の位置はモーザー・デ・ブリュイン数列とその倍数で与えられる。^[43]${\displaystyle \alpha =3.3003300000...}$${\displaystyle \alpha ^{-1}=0.3030000030...}$
• ロジャース・ラマヌジャン連分数 の値は、が代数的であり、である。^[44]シータ関数のレムニスカティック値（ の同じ条件下で）も超越的である。^[45]${\displaystyle R(q)}$${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$${\displaystyle {q}}$
• j ( q )代数的だが虚数二次関数で例外的な集合は上の拡大次数が 2 である数体である）。${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 定数およびは、Gijswijtのシーケンスの最初の出現インデックスの式で、kは1より大きい任意の整数です。^[46]${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle \nu _{k}}$

超越数または代数数であることがまだ証明されていない数:

• 2つ以上の超越数の非自明な組み合わせのほとんどは、それ自体が超越数または無理数であることすら知られていない: eπ、e + π、π ^π、e ^e、π ^e、π ^{√ 2}、e ^{π 2}。e + πとπ / e は^{どちらも、平均サイズが10 9}の次数と整数係数の多項式方程式を満たさないことが示されている。^{[47] [48]}少なくとも1つの数はe ^eとe ^{e 2 が}超越数である。^[49]シャヌエルの予想は、上記の数がすべて超越数であり、代数的に独立していることを意味する。^[50]${\displaystyle \leq 8}$
• オイラー・マスケローニ定数 γ : 2010年に、オイラー・レーマー定数の無限リスト（ γ /4を含む）には最大で1つの代数的数しか含まれないことが示された。^{[51] [52] 2012年には、} γとゴンペルツ定数 δの少なくとも1つが超越数であることが示された。^[53]
• 奇数の正の整数におけるリーマンゼータ関数 ζ (n)の値。特にアペリの定数ζ (3)は無理数であることが知られています。他の数ζ (5)、ζ (7)、ζ (9)、…については、これもわかっていません。${\displaystyle n\geq 3}$
• ディリクレのベータ関数 β (n)の偶数正整数における値、特にカタラン定数β (2)。(いずれも無理数ではないことが知られている)。^[54]${\displaystyle n\geq 2}$
• ガンマ関数 Γ (1 /n)の正の整数に対する値は、無理数であることは知られておらず、ましてや超越数であることは知られていない。^{[55] [56]}少なくとも1つの数Γ (1/n)とΓ (2/n)は超越数である。^[24]${\displaystyle n=5}$${\displaystyle n\geq 7}$${\displaystyle n\geq 2}$
• 明らかに代数的ではない何らかの限界によって与えられる任意の数。 ^[56]

自然対数の底eが超越数であることの最初の証明は1873 年にさかのぼります。ここでは、シャルル・エルミートの元の証明を簡略化したデイヴィッド・ヒルベルト(1862–1943)の戦略に従います。その考え方は次のとおりです。

矛盾を見つけるために、e は代数的であると仮定します。すると、次の式を満たす 整数係数c ₀、c ₁、...、c _nの有限集合が存在します。 これらの係数に無理数eの累乗を掛けた場合、その整数状態を利用することは困難ですが、それらの累乗を「ほとんど」整数値をとる積分に取り込むことができます。正の整数kに対して、多項式を定義し 、上記の式の両辺にを掛けて、 次の式を得ます。 $${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$$${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,}$$$${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.}$$

それぞれの積分領域を分割することにより、この方程式は次の 形式で表すことができます。 ここでP は整数になりますが、さらに重要なのは、kとともに急速に増加することです。 $${\displaystyle P+Q=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}}$$

がゼロでない整数となるような任意の大きさのkが存在します。${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

証明。任意の自然数 に対して有効な標準積分（ガンマ関数の場合） を思い出してください。より一般的には、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!}$$ ${\displaystyle j}$

ならば。​${\displaystyle g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!}$

これにより、 を正確に計算できるようになります。 の任意の項は、変数の変更 によってとして書き直すことができるため です。したがって、 後者の和は、整数係数を持つ の多項式です。つまり、整数係数を持つべき乗の線形結合です。したがって、数は、同じ整数係数を持つ階乗の線形結合であり、特に、は整数です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$$${\displaystyle P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{j}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j!}$${\displaystyle P}$

より小さな階乗はより大きな階乗を割り切るので、その線形結合に現れる最小の階乗は 全体をも割り切ります。はに非ゼロの係数で現れる最も小さいべき項から得られますが、この最小の指数は、この多項式の根としての の重複度でもあります。 は、根の重複度とに対する根の重複度を持つように選択されるので、 に対して最小の指数はであり、に対してはとなります。したがって はを割り切ります。 ${\displaystyle j!}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j!}$${\displaystyle t^{j}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f_{k}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle a=1,\dots ,n}$${\displaystyle t^{k}}$${\displaystyle f_{k}(t)}$${\displaystyle t^{k+1}}$${\displaystyle f_{k}(t+a)}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle P}$

補題の最後の主張、すなわち が非ゼロであることを証明するには、 が を割り切れないことを証明すれば十分です。そのためには、およびより大きい任意の素数をとします。上記から、に対してが のそれぞれを割り切ることが分かっているので、特にそれらはすべてで割り切れます。これは最初の項に帰着します。 が成り立ち (下降階乗 および上昇階乗を参照) 、それらの高次項はすべて以上の階乗を生じます。したがって、 その右辺は素数 未満の非ゼロの整数因数の積であるため、その積は で割り切れず、 についても同じことが成り立ちます。特に はゼロになることはできません。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |c_{0}|}$${\displaystyle (k+1)!}$${\displaystyle \textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant n}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}}$$${\displaystyle (k+1)!}$$${\displaystyle P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}}$$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

十分に大きいkの場合、.${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

証明 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

ここでu ( x )、v ( x ) は任意のxに対してxの連続関数であるため、区間[0, n ]で制限されます。つまり、定数G、H > 0が存在し、

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

したがって、 Qを構成する各積分は有界であり、最悪のケースは

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

合計Q を制限することも可能になりました。

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

ここでMはkに依存しない定数である。従って、

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

この補題の証明を終える。

両方の補題を満たすkの値を選択すると、ゼロでない整数を非常に小さな量に加えるとゼロに等しくなりますが、これは不可能です。したがって、 e が整数係数を持つ多項式方程式を満たすことができるという元の仮定も不可能になります。つまり、e は超越的です。 ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

リンデマンの元のアプローチとは異なる同様の戦略を使用して、数πが超越数であることを示すことができます。eの証明におけるガンマ関数といくつかの推定値に加えて、対称多項式に関する事実が証明で重要な役割を果たします。

πとeの超越性の証明に関する詳細な情報については、参考文献と外部リンクを参照してください。

• 超越数論、超越数に関する問題の研究
• 超越要素、抽象代数における超越数の一般化
• ゲルフォン・シュナイダー定理
• ディオファントス近似
• 周期は、積分方程式によって定義される可能性のある可算な数の集合（すべての代数的数と一部の超越数を含む）。