単射関数

数学において、単射関数（射影、または一対一関数とも呼ばれる^{[ 1 ]}）とは、定義域の異なる要素を値域の異なる要素に写像する関数fのことである。つまり、 x ₁ ≠ x _2ならばf ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ )である（対偶により、f ( x ₁ ) = f ( x ₂ )ならばx ₁ = x ₂である）。言い換えれば、関数の値域のすべての要素は、その定義域の要素のうち最大で1 つの要素の像である。^{[ 2 ]}一対一関数という用語は、全単射関数を指す一対一対応と混同してはならない。全単射関数とは、値域の各要素が定義域のちょうど 1 つの要素の像であるような関数である。

代数構造間の準同型写像は、その構造の演算と互換性のある関数です。すべての一般的な代数構造、特にベクトル空間の場合、単射準同型写像は単射準同型写像とも呼ばれます。ただし、より一般的な圏論の文脈では、単射準同型写像の定義は単射準同型写像の定義とは異なります。^{[ 3 ]}したがって、代数構造に関しては両者が同値であるという定理があります。詳細については、「準同型写像」§ 「単射写像」を参照してください。 

関数${\displaystyle f}$単射でないものは、多対一と呼ばれることもある。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle f}$定義域が集合である関数とする${\displaystyle X}$⁠。その機能${\displaystyle f}$すべての に対して が成り立つ場合に単射であると言われる。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$で${\displaystyle X,}$もし​${\displaystyle f(a)=f(b)}$⁠、それから⁠${\displaystyle a=b}$つまり、${\displaystyle f(a)=f(b)}$意味する${\displaystyle a=b}$⁠。同様に、もし⁠${\displaystyle a\neq b}$⁠、それから${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$対偶命題において。

象徴的に言えば、$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ これは論理的に対偶と同等である。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$単射関数（またはより一般的には単射写像）は、特殊な矢印 ↣ または ↪ を用いて表されることが多い（例：${\displaystyle f:A\rightarrowtail B}$または⁠${\displaystyle f:A\hookrightarrow B}$ただし、一部の著者は特に↪を包含マップのために予約している。 ^{[ 5 ]}

視覚的な例については、ギャラリーセクションをご覧ください。

• 任意の集合に対して${\displaystyle X}$および任意の部分集合${\displaystyle S\subseteq X}$⁠、インクルージョンマップ${\displaystyle S\to X}$（任意の要素を送信します）${\displaystyle s\in S}$恒等関数は、それ自体に対して単射である。特に、恒等関数は、${\displaystyle X\to X}$常に単射（実際には全単射）である。
• 関数の定義域が空集合である場合、その関数は空関数であり、単射である。
• 関数の定義域が1つの要素しか持たない場合（つまり、単一要素集合である場合）、その関数は常に単射である。
• 機能${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x)=2x+1}$単射である。
• 機能${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle g(x)=x^{2}}$は単射ではない。なぜなら（例えば）${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$しかし、もし${\displaystyle g}$が再定義され、その定義域が非負の実数[0, +∞)となると、${\displaystyle g}$単射である。
• 指数関数${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } は 次のように定義されます。${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$単射である（ただし、負の数に対応する実数値がないため、全射ではない）。
• 自然対数関数${\displaystyle \ln$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } は次のように定義される${\displaystyle x\mapsto \ln x}$単射である。
• 機能${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$は単射ではない。例えば、${\displaystyle g(0)=g(1)=0}$⁠ .

より一般的に言えば、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$どちらも実線です${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠、そして単射関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$グラフがどの水平線とも一度以上交差しないグラフのことである。この原理は水平線テストと呼ばれる。^{[ 2 ]}

左逆関数を持つ関数は常に単射である。つまり、 が与えられた場合、${\displaystyle f:X\to Y}$⁠、関数がある場合${\displaystyle g:Y\to X}$すべての に対して${\displaystyle x\in X}$⁠、 ⁠${\displaystyle g(f(x))=x}$⁠、それから${\displaystyle f}$単射である。証明は $${\displaystyle f(a)=f(b)\rightarrow g(f(a))=g(f(b))\rightarrow a=b.}$$

この場合、${\displaystyle g}$これは撤回と呼ばれます。${\displaystyle f}$逆に、${\displaystyle f}$はのセクションと呼ばれます${\displaystyle g}$例えば：${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},x\mapsto (1,m)^{\intercal }x}$によって撤回されました${\displaystyle g:y\mapsto {\frac {(1,m)}{1+m^{2}}}y}$⁠ .

逆に、注射のたびに${\displaystyle f}$空でない定義域を持つものは左逆関数を持つ${\displaystyle g}$要素を選択することで定義できます。${\displaystyle a}$の領域において${\displaystyle f}$設定${\displaystyle g(y)}$原像のユニークな要素へ${\displaystyle f^{-1}[y]}$（空でない場合）または${\displaystyle a}$（それ以外の場合）。^{[ 6 ]}

左逆${\displaystyle g}$は必ずしも逆ではない${\displaystyle f,}$なぜなら、別の順序での構成では、${\displaystyle f\circ g}$⁠、 のアイデンティティと異なる場合があります⁠${\displaystyle Y}$つまり、単射関数は左逆関数によって「反転」できますが、必ずしも可逆であるとは限りません。可逆であるためには、関数が全単射である必要があります。

実際、単射関数を${\displaystyle f:X\to Y}$全単射（したがって可逆）関数にするには、その値域を置き換えるだけで十分である。${\displaystyle Y}$実際の画像によって${\displaystyle J=f(X).}$つまり、${\displaystyle g:X\to J}$そのため${\displaystyle g(x)=f(x)}$すべての人にとって${\displaystyle x\in X}$⁠ ;それから${\displaystyle g}$は全単射である。${\displaystyle f}$次のように因数分解できます。${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g}$⁠、そこで${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$包含関数は${\displaystyle J}$へ​${\displaystyle Y}$⁠ .

より一般的には、単射部分関数は部分全単射と呼ばれます。

• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$両方とも単射である場合${\displaystyle f\circ g}$単射である。
• もし${\displaystyle g\circ f}$単射である場合、${\displaystyle f}$単射である（ただし${\displaystyle g}$必ずしもそうである必要はない）。
• ${\displaystyle f:X\to Y}$は、任意の関数が与えられた場合に限り単射である。${\displaystyle g}$⁠、${\displaystyle h:W\to X}$いつでも${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$⁠、それから⁠${\displaystyle g=h}$つまり、単射関数はまさに集合の集合の圏における単射である。
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$単射であり、${\displaystyle A}$はのサブセットです${\displaystyle X}$⁠、それから⁠${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$したがって、${\displaystyle A}$その画像 から復元できる${\displaystyle f(A)}$⁠ .
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$単射であり、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$どちらものサブセットです${\displaystyle X}$⁠、それから⁠${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$⁠ .
• すべての機能${\displaystyle h:W\to Y}$分解すると次のようになる${\displaystyle h=f\circ g}$適切な注射のために${\displaystyle f}$そして全射${\displaystyle g}$この分解は同型を除いて一意であり、${\displaystyle f}$範囲の包含関数と考えることができる${\displaystyle h(W)}$の${\displaystyle h}$終域のサブセットとして${\displaystyle Y}$の⁠${\displaystyle h}$⁠ .
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$は単射関数である。${\displaystyle Y}$少なくとも同じくらいの要素があります${\displaystyle X,}$基数の意味において。特に、さらに、から注入がある場合。${\displaystyle Y}$⁠から⁠${\displaystyle X}$⁠、それから${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同じ基数を持つ。（これはカントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理として知られている。）
• 両方${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$要素数が同じ有限である場合、${\displaystyle f:X\to Y}$単射であるのは、${\displaystyle f}$は全射である（その場合）${\displaystyle f}$（全単射である）。
• 2 つの代数構造間の準同型である単射関数は埋め込みである。
• 全射性は関数のグラフとその終域の間の関係であるのに対し、単射性は関数のグラフのみの性質です。つまり、関数が全射か全射かということです。${\displaystyle f}$単射かどうかは、グラフのみを考慮することによって決定できます（値域は考慮しません）。${\displaystyle f}$⁠ .

関数の証明${\displaystyle f}$単射であるかどうかは、関数の表現方法と関数が持つ性質に依存します。何らかの式で与えられる関数には基本的な考え方があります。単射性の定義、つまり の場合 を使用します。${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠、それから⁠${\displaystyle x=y}$⁠ . ^{[ 7 ]}

以下に例を示します。 $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

証明: ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$⁠ . 仮に⁠${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠。だから${\displaystyle 2x+3=2y+3}$意味する${\displaystyle 2x=2y}$⁠、これは、${\displaystyle x=y}$したがって、定義から次のことが導かれる。${\displaystyle f}$単射である。

関数が単射であることを証明する方法は他にも複数あります。例えば、微積分では、${\displaystyle f}$が、ある区間で定義された微分可能な関数である場合、その区間で導関数が常に正であるか、常に負であるかを示すだけで十分です。線形代数では、${\displaystyle f}$は線形変換であり、核が${\displaystyle f}$ゼロベクトルのみが含まれています。${\displaystyle f}$は有限の定義域を持つ関数であるため、各定義域要素の画像のリストを調べて、同じ画像がリスト内で2回出現しないことを確認するだけで十分です。

実数値関数のグラフ的アプローチ${\displaystyle f}$実変数の${\displaystyle x}$は水平線テストです。すべての水平線が曲線と交差する場合、${\displaystyle f(x)}$最大で1つのポイントで、${\displaystyle f}$単射または1対1です。

• 全単射、単射、全射– 数学関数の性質 
• 単射距離空間– 距離空間の種類 
• 単調関数– 順序を保持する数学関数 
• 単価関数– 数学的概念 

• バートル、ロバート・G. (1976)、『実解析の基礎』（第2 版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-05464-1 、 17ページ以降。
• ハルモス、ポール R. (1974)、単純集合理論、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-0-387-90092-6 、 38ページ以降。

• 数学用語の初期の使用例：単射、全射、全単射の項目では、単射および関連用語の歴史について説明しています。
• カーンアカデミー – 全射関数と単射関数：全射関数と単射関数の概要