立方根

数学では、数 $xの$ 立方根とは、与えられた数を3 乗した数 $y$ のことです。つまり、 $\displaystyle y^{3}=x.}$ ある数の立方根の数は、考慮する数体系によって異なります。

すべての実数 $x$ には、ちょうど 1 つの実数立方根があり、それは次のように表されます。 $\textstyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ 実数立方根は、複素数を考慮しない文脈では、 $x$ の実数立方根、または単に $x$ の立方根と呼ばれます。たとえば、 $8$ と $-8$ の実数立方根は、それぞれ $2$ と $-2です。$ 整数または有理数の実数立方根は、一般に有理数でも、構成可能な数でもありません。

ゼロでない実数または複素数には、複素数である立方根がちょうど 3 つ存在します。数が実数の場合、立方根の 1 つは実数で、残りの 2 つは複素共役の非実数です。そうでない場合、3 つの立方根はすべて非実数です。たとえば、 $8$ の実数の立方根は $2$ であり、 $8$ の他の立方根は2です。 $-1+i{\sqrt {3}}$ そして $-1-i{\sqrt {3}}$ $-27iの 3 つの$ 立方根は $3i,{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i,$ そして $-{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i.$ 数ゼロには、ゼロ自身である唯一の立方根が存在する。

立方根は多価関数です。主立方根は、その主値、つまり一度だけ選択された唯一の立方根です。主立方根は、実部が最大の立方根です。負の実数の場合、実部が最大の立方根は2つの非実立方根で共有され、主立方根は正の虚部を持つものです。したがって、負の実数の場合、実立方根は主立方根ではありません。正の実数の場合、主立方根は実立方根です。

$y$ が複素数 $x$ の任意の立方根である場合、他の立方根は次のようになります。 $y\,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ そして $y\,{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$

標数が3 と異なる代数的に閉じた体では、すべての非零元はちょうど 3 つの立方根を持ち、それらの立方根のいずれかを多項式の根のいずれかで乗算することによって得られます。 $x^{2}+x+1.$ 標数3の代数的閉体においては、すべての要素はちょうど1つの立方根を持つ。

In other number systems or other algebraic structures, a number or element may have more than three cube roots. For example, in the quaternions, a real number has infinitely many cube roots.

Definition

The cube roots of a number $x$ are the numbers $y$ which satisfy the equation $\displaystyle y^{3}=x.\ }$

Properties

Real numbers

For any real number $x$ , there is exactly one real number $y$ such that $\displaystyle y^{3}=x}$ . Indeed, the cube function is increasing, so it does not give the same result for two different inputs, and covers all real numbers. In other words, it is a bijection or one-to-one correspondence.

That is, one can define the cube root of a real number as its unique cube root that is also real. With this definition, the cube root of a negative number is a negative number.

However this definition may be confusing when real numbers are considered as specific complex numbers, since, in this case the cube root is generally defined as the principal cube root, and the principal cube root of a negative real number is not real.

If $x$ and $y$ are allowed to be complex, then there are three solutions (if $x$ is non-zero) and so $x$ has three cube roots. A real number has one real cube root and two further cube roots which form a complex conjugate pair. For instance, the cube roots of 1 are:

1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.

The last two of these roots lead to a relationship between all roots of any real or complex number. If a number is one cube root of a particular real or complex number, the other two cube roots can be found by multiplying that cube root by one or the other of the two complex cube roots of 1.

Complex numbers

複素数の場合、主立方根は通常、実部が最大となる立方根、あるいは同等に、引数の絶対値が最小となる立方根として定義されます。これは、自然対数の主値と次の式で関係付けられます。

x^{1/3}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).

$x を$ 次のように書くと

x=r\exp(i\theta )\,

ここで、 $r$ は非負の実数であり、 $\theta$ 範囲内にある

-\pi <\theta \leq \pi

、

すると、主複素立方根は

\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}

これは、極座標では、半径の立方根を取り、極角を3で割って立方根を定義することを意味します。この定義では、負の数の主立方根は複素数であり、例えば $\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ −2ではなく、 $1+i{\sqrt {3}}.$

この困難は、立方根を多価関数として考えることによっても解決できます。つまり、元の複素数 $x を$ 3 つの同等の形式で記述すると、

x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}

これら３つの形式の主複素立方根はそれぞれ次のようになる。

{\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}

$x = 0$ でない限り、これら 3 つの複素数は、xの 3 つの表現が等価であっても、互いに異なります。たとえば、 $\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ 計算すると −2 となり、 $1+i{\sqrt {3}}$ 、または $1-i{\sqrt {3}}$ 。

これはモノドロミーの概念に関連しています。関数立方根をゼロの周りの閉じた経路に沿って連続的に追跡すると、曲がった後に立方根の値はで乗算（または除算）されます。 $e^{2i\pi /3}.$

コンパスと定規による作図の不可能性

立方根は、与えられた角度の3分の1の大きさの角度を求める問題（角の三等分）と、与えられた辺を持つ立方体の2倍の体積を持つ立方体の辺を求める問題（立方体の倍増）で現れます。1837年、ピエール・ワンツェルは、これらのどちらもコンパスと定規を使った作図ではできないことを証明しました。

数値計算法

ニュートン法は、立方根を計算するために使用できる反復法です。実浮動小数点数の場合、この方法は次の反復アルゴリズムに簡略化され、立方根のより良い近似値を順次生成し $ます$ 。

x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).

この方法は、次のように選択された3つの要素を単純に平均化することです。

x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a

各反復処理において。

ハレーの手法は、反復ごとに収束速度が速くなるものの、反復ごとの作業量は増えるという点で、この手法を改良している。

x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).

これは3乗収束するため、2回の反復でニュートン法の3回の反復と同じ量の計算ができます。ニュートン法の各反復では、1/3 a が事前に計算されていると仮定すると、2回の乗算、1回の加算、1 $回の除算が必要になります。したがって、3回$ $の$ 反復と事前計算には、7回の乗算、3回の加算、3回の除算が必要です。

ハレー法の各反復には、3回の乗算、3回の加算、および1回の除算が必要です^{[ 1 ]。}したがって、2回の反復には、6回の乗算、6回の加算、および2回の除算が必要です。そのため、1回の除算が3回の加算よりもコストが高い場合、ハレー法はより高速になる可能性があります。

$どちらの方法でも、 x 0$ の初期近似が不適切だとアルゴリズムのパフォーマンスが非常に悪くなる可能性があり、適切な初期近似を見つけるのは一種の秘術です。一部の実装では、浮動小数点数の指数ビットを操作します。つまり、指数を 3 で割ることによって初期近似値を取得します。^{[ 1 ]}

また、 n乗根法に基づいた一般化連分数も有用です。

$xが$ $a$ の立方根の良い第一近似値である場合、 $\displaystyle y=ax^{3}}$ 、それから：

{\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}

=x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.

2番目の式は、最初の式における各分数のペアを1つの分数に結合することで、収束速度を2倍にする。

3次および4次方程式の解における出現

3次方程式（未知数の最高次数が3である3次多項式方程式）は、常に3つの解を立方根と平方根を用いて解くことができます（ただし、解のうち少なくとも1つが有理数であれば、3つの解すべてに対して平方根のみを用いたより簡単な式が存在します）。解のうち2つが複素数である場合、3つの解の式はすべて実数の立方根を含みますが、3つの解すべてが実数である場合は、複素数の立方根を用いて表すことができます。

4次方程式は、立方根や平方根を用いて解くこともできます。

歴史

立方根の計算は、紀元前1800年頃のバビロニアの数学者にまで遡ることができます。 ^{[ 2 ]}紀元前4世紀、プラトンは立方体の2倍の体積を持つ立方体の辺をコンパスと定規で作図するという問題を提起しました。これは、現在では不可能であることがわかっている長さの作図を必要としました。 $\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ 。

立方根を求める方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、紀元3世紀に劉徽によって注釈された中国の数学書『九章算術』に登場します。 ^[³^]ギリシャの数学者アレクサンドリアのヘロンは、紀元1世紀に立方根を計算する方法を考案しました。彼の公式は、エウトキオスがアルキメデスの注釈の中で再び言及しています。^[⁴^]紀元499年、インド数学とインド天文学の古典時代の数学者兼天文学者であるアーリヤバタは、『アーリヤバティーヤ』 （第2.5節）で、桁数の多い数の立方根を求める方法を示しました。^[⁵^]

参考文献

1 2 「高速な立方根を求めて」 . metamerist.com . 2008. 2013年12月27日にオリジナルからアーカイブされました。
↑サッグス、HWF（1989）。『ギリシャとローマ以前の文明』イェール大学出版局、227ページ。ISBN 978-0-300-05031-8。
↑クロスリー、ジョン；W.-C. ラン、アンソニー (1999)。『数学の技法に関する9つの章：解説と注釈』オックスフォード大学出版局、213ページ。ISBN 978-0-19-853936-0。
↑ Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena . 19 (42). Trinity College Dublin: 64– 67. JSTOR 23037103 .
↑ Aryabhatiya Deprecated link archive.todayで 2011 年 8 月 15 日にアーカイブされましたマラーティー語: आर्यभटीय、Mohan Apte、プネー、インド、Rajhans Publications、2009 年、p. 62、 ISBN 978-81-7434-480-9

外部リンク

立方根計算機は、任意の数を最も簡単な根号の形に変換します。
立方根の計算、ケン・ターコウスキー著、Appleテクニカルレポート#KT-32、1998年。C言語のソースコードが含まれています。
ワイススタイン、エリック W. 「立方根」 . MathWorld .

[metamerist-1] 1 2 「高速な立方根を求めて」 . metamerist.com . 2008. 2013年12月27日にオリジナルからアーカイブされました。

[cbgr-2] サッグス、HWF（1989）。『ギリシャとローマ以前の文明』イェール大学出版局、227ページ。ISBN 978-0-300-05031-8。

[oxf-3] クロスリー、ジョン；W.-C. ラン、アンソニー (1999)。『数学の技法に関する9つの章：解説と注釈』オックスフォード大学出版局、213ページ。ISBN 978-0-19-853936-0。

[4] Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena . 19 (42). Trinity College Dublin: 64– 67. JSTOR 23037103 .

[5] Aryabhatiya Deprecated link archive.todayで 2011 年 8 月 15 日にアーカイブされましたマラーティー語: आर्यभटीय、Mohan Apte、プネー、インド、Rajhans Publications、2009 年、p. 62、 ISBN 978-81-7434-480-9

[ 1 ]。

[ 2 ]

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[

[

立方根

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Properties

Real numbers

Complex numbers

コンパスと定規による作図の不可能性

数値計算法

3次および4次方程式の解における出現

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関連項目

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数体系によって異なります。

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