本質的にユニーク

数学では、本質的に一意という語は、より弱い形式の一意性を説明するために使用されます。この場合、ある特性を満たすオブジェクトは、その特性を満たすすべてのオブジェクトが互いに同等であるという意味でのみ「一意」です。本質的な一意性の概念は、何らかの形式の「同一性」を前提としており、これは同値関係を使用して形式化されることがよくあります。

関連する概念として普遍的性質があり、これはオブジェクトが本質的に一意であるだけでなく、一意の同型性^{[1] （つまり、自明な}自己同型群を持つ）まで一意であることを意味します。一般に、本質的に一意なオブジェクトの例の間には、複数の同型性が存在する可能性があります。

最も基本的なレベルでは、要素にラベルを付ける場合でも、 のラベルを付ける場合でも、任意の濃度の本質的に一意な集合が存在します。この場合、同型性の非一意性 (たとえば、 に 1 を一致させるか、 に 1 を一致させるか) は対称群に反映されます。 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{a,b,c\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

一方、任意の有限濃度の本質的に一意な全順序集合が存在し、これは一意な同型を除いて一意です。つまり、および と書くと、順序を保存する同型は 1 を に、 2 を に、 3 を に写像する同型のみです。${\displaystyle \{1<2<3\}}$${\displaystyle \{a<b<c\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

算術の基本定理は、任意の正の整数を素数に因数分解すると、その因数分解は本質的に一意であり、つまり素因数の順序さえ違えば一意であることを証明している。^{[2] [3]}

群の分類の文脈では、ちょうど 2 つの要素を含む本質的に唯一の群が存在します。^[3]同様に、ちょうど 3 つの要素を含む本質的に唯一の群も存在します。それは、位数 3 の巡回群です。実際、3 つの要素をどのように書き、群演算をどのように表すかに関係なく、このような群はすべて互いに 同型であることが示され、したがって「同じ」です。

一方、厳密に4つの元を持つ本質的に唯一の群は存在しない。この場合には、合計で2つの非同型群、すなわち位数4の巡回群とクラインの4元群が存在するからである。^[4]

本質的に唯一の測度が存在します。これは、平行移動不変で、厳密に正で、実数直線上で局所的に有限です。実際、そのような測度はどれもルベーグ測度の定数倍でなければならず、解を一意に決定する前に、単位区間の測度が 1 でなければならないことを指定します。

本質的に一意な 2 次元のコンパクトな単連結 多様体、2次元球面が存在します。この場合、同相写像を除いて一意です。

結び目理論として知られる位相幾何学の分野には、算術の基本定理に類似したものが存在する。結び目を素結び目の和に分解することは本質的に一意である。^[5]

半単純リー群の最大コンパクト部分群は一意ではないかもしれないが、共役を除いて一意である。

与えられた図上の極限または余極限であるオブジェクトは、他の極限/余極限オブジェクトと一意に同型であるため、本質的に一意です。 ^[6]

24ビットワードを使用して12ビットの情報を保存し、4ビットエラーを検出し、3ビットエラーを訂正するというタスクを考えると、その解決策は本質的にユニークです。それは拡張バイナリゴレイコードです。^[7]

• 分類定理
• モジュロ、物体の等価性に関する数学用語
• 普遍的な財産
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