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数学において、後続関数または後続演算は自然数を次の数に渡します。後続関数はSで表され、S ( n ) = n + 1 となります。たとえば、S (1) = 2、S (2) = 3 となります。後続関数は、原始再帰関数を構築するために使用される基本コンポーネントの 1 つです。
後続演算は、ゼロ次ハイパー演算H 0 ( a , b ) = 1 + bのコンテキストではゼロ化とも呼ばれます。このコンテキストでは、ゼロ化の拡張は加算であり、これは繰り返しの継続として定義されます。
概要
後継関数は、自然数の構造を形式化するペアノ公理を記述するために使用される形式言語の一部です。この形式化では、後継関数は自然数に対する基本的な演算であり、標準的な自然数と加算が定義されます。 [1]たとえば、1はS (0)と定義され、自然数の加算は次のように再帰的に定義されます。
これを使って、任意の 2 つの自然数の加算を計算できます。たとえば、5 + 2 = 5 + S (1) = S (5 + 1) = S (5 + S (0)) = S ( S (5 + 0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7 です。
集合論における自然数の構成法はいくつか提案されている。例えば、フォン・ノイマンは数 0 を空集合{} として、nの次数であるS ( n ) を集合n ∪ { n } として構成した。すると無限公理により、 0 を含みSに関して閉じた集合の存在が保証される。そのような最小の集合はNで表され、その要素は自然数と呼ばれる。[2]
後継関数は、加算、乗算、累乗、テトレーションなどを構築するために使用される、無限のグジェゴルチク階層のハイパーオペレーションのレベル0の基礎です。これは、ハイパーオペレーションのパターンの一般化を含む調査で1986年に研究されました。[3]
これは、再帰関数による計算可能性の特性評価に使用される基本関数の 1 つでもあります。
参照
参考文献
- ポール・R・ハルモス（1968年）。素朴集合論。ノストランド。