ベール空間（集合論）

集合論において、ベール空間は、積位相と呼ばれる 特定の位相を持つ自然数の無限列全体の集合である。この空間は、その要素がしばしば「実数」と呼ばれるほど、記述的集合論でよく使用される。この空間は、 N ^N、または^ω ω 、または記号、あるいは ω ^{ωで表されることもある（}順序乗によって得られる可算順序数と混同しないように）。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

ベール空間は、自然数の集合の可算無限個のコピーの直積として定義され、積位相が与えられます（自然数の集合の各コピーには離散位相が与えられます）。ベール空間は、自然数の有限列の ツリーを使用して表現されることがよくあります。

(この空間は、ある種の位相空間である ベール 空間の概念と混同しないでください。)

ベール空間は、 2進数の無限列の集合であるカントール空間と対比することができます。

ベール空間を定義するために使用される積位相は、円筒集合からなる基底、またはツリーの基底 という 2 つの同等の方法のいずれかで記述できます。

積位相の基本的な開集合は円筒集合である。これらは次のように特徴付けられる。

自然数座標の任意の有限集合 I={ i } が選択され、各iに対して特定の自然数値v _iが選択されると、位置iで値v _{i を}持つ自然数のすべての無限列の集合は基本開集合になります。すべての開集合は、これらの集合の可算な和集合です。

より正式な表記法を用いると、個々のシリンダーを次のように定義できる。

${\displaystyle C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}$

固定された整数位置nと整数値vに対して、円筒は円筒集合の生成元となる。円筒集合は有限個の円筒のすべての交差から構成される。つまり、任意の有限の自然数座標集合と各 に対応する自然数が与えられたとき、円筒の有限の交差を考える。 ${\displaystyle I\subseteq \omega }$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]}$

この交差は円筒集合と呼ばれ、このような円筒集合すべての集合は積位相の基礎を提供します。すべての開集合は、このような円筒集合の可算な和集合です。

積位相の別の基礎は木の観点から与えることができる。基本的な開集合は次のように特徴付けられる。

自然数の有限列 { w _i  : i < n } を選択した場合、すべてのi < nに対して位置iに値w _iを持つ自然数の無限列のすべての集合 は基本開集合です。すべての開集合は、これらの集合の可算な和集合です。

したがって、ベール空間の基本開集合は、共通の有限初期線分σを延長する自然数の無限列すべての集合である。これにより、ベール空間は、延長によって順序付けられた自然数の有限列の完全な木 ω ^<ωを通過するすべての無限パスの集合として表現される。各有限初期線分σ は、有限列の木のノードである。各開集合は、その木のノードの可算な和集合Sによって決定される。ベール空間の点が開集合内にあるのは、そのパスがその決定和集合のノードの 1 つを通過する場合のみである。逆に、各開集合は、最大で可算数のノードで構成される 完全な木 ω ^{<ωのサブツリー}Sに対応します。

ベール空間を木を通る経路として表現すると、閉集合を開集合を定義する部分木の補集合として特徴付けることもできる。ベール空間のすべての点は、 ω ^<ωのノードのシーケンスを通過する。閉集合は開集合の補集合である。これにより、開集合を定義するSのノードが欠落している完全な木 ω ^{<ωの部分木}T が定義される。部分木T は、 Sにないω ^<ωのすべてのノードから構成される。この部分木T は、ベール空間の閉部分集合C を定義し、任意の点xがCに含まれるのは、 x がT を通る経路である場合のみである。逆に、ベール空間の任意の閉部分集合Cに対して、最大で可算数のノードが削除された ω ^<ωのすべてから構成される部分木Tが存在する。

完全な木 ω ^<ωはそれ自体が可算なので、これは閉集合が有限部分木を含む完全な木の任意の部分木に対応することを意味する。したがって、位相は閉開集合で構成される。これは、ベール空間が小さな帰納的次元に関してゼロ次元であることを意味する（基底が閉開集合で構成されるすべての空間がそうであるように）。

上記の開集合と閉集合の定義により、太字のボレル階層の最初の 2 つの集合とが提供されます。 ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$

デカルト積には、ボックス位相という別の位相もあります。この位相は、指標集合を有限に制限しないため、積位相よりもはるかに細かいものです。慣例的に、ベール空間はこの位相を参照せず、積位相のみを参照します。 ${\displaystyle I=\{i\in \omega \}}$

上記のベール空間の定義は、可算無限列の要素が濃度の集合から選択されるベール空間に一般化されます。このような空間は重み のベール空間と呼ばれ、 と表記されます。^{[1]この定義では、有限重みのベール空間は}カントール空間に対応します。したがって、無限重みの最初のベール空間は であり、上で定義した と同相です。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$${\displaystyle D(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle B(\kappa )}$${\displaystyle B(\aleph _{0})}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

2 つのシーケンスとが与えられた場合、メトリックは と定義されます。ここで、 はとなる最小の整数です。このメトリックでは、ツリー基底の基本的な開集合は、半径 の球体です。 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots )}$${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$${\displaystyle \rho (x,y)=1/k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}.}$${\displaystyle 1/k}$

距離空間 がベール空間に埋め込まれるのは、 が閉開集合の基底を持ち、 の濃度がより小さいか等しい場合に限られる。^{[2] [3]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(\kappa )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \kappa}$

ベール空間には以下の特性があります。

1. これは完全 ポーランド空間であり、孤立点のない完全に距離化可能な 第2可算空間であることを意味します。そのため、実数直線と同じ濃度を持ち、位相的な意味でのベール空間です。
2. それはゼロ次元であり、完全に分離されています。
3. 局所的にコンパクトではありません。
4. これは、任意の空でないポーランド空間に連続的にマッピングできるという意味で、ポーランド空間に対して普遍的です。さらに、任意のポーランド空間には、ベール空間の G _δ部分空間に同相な稠密な G _δ部分空間があります。
5. ベール空間は、それ自身の有限個または可算個のコピーの積に同相です。
6. これは、ある完全な理論の可算無限飽和モデルの自己同型群です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

ベール空間は、無理数の集合に実数直線から継承された部分空間位相が与えられたとき、その集合に同相である。ベール空間と無理数との間の同相は、連分数を使って構築することができる。つまり、自然数の列が与えられたとき、1より大きい対応する無理数を割り当てることができる 。 ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }}$

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\cdots }}}}}$

を使用すると、開単位区間内の無理数への別の同相写像が得られ 、負の無理数に対しても同じことが行えます。無理数は、ベール空間に同相な 4 つの空間の位相和であり、したがってベール空間にも同相であることがわかります。 ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle (0,1)}$

記述的集合論の観点から見ると、ベール空間は実数直線よりも次の意味で柔軟である。実数直線は経路連結であるため、実数直線のすべての連続像も経路連結である。対照的に、すべてのポーランド空間はベール空間の連続像である。この違いにより、記述的集合論は実数の集合に焦点を合わせているにもかかわらず、実数直線は「やや使いにくい」ものとなっている。代わりに、これらの特性がベール空間に当てはまり、連続関数によって保存されることを示すことによって、任意のポーランド空間に関する結果を証明できることが多い。^[4]

ω ^{ω は}実解析においても独立ではあるがあまり重要ではなく、そこでは一様空間として考えられている。しかし、 ω ^ωとIr (無理数)の一様構造は異なっており、 ω ^{ω は}通常の計量において完全であるのに対し、 Ir はそうではない (ただし、これらの空間は同相である)。

ベール空間上のシフト演算子は、実数の単位区間に写像されると、ガウス・クズミン・ウィルシング演算子になります。つまり、シーケンスが与えられた場合、シフト演算子T はを返します。同様に、連分数 が与えられた場合、ガウス写像は を返します。ベール空間から複素平面への関数に対応する演算子は、ガウス・クズミン・ウィルシング演算子です。これは、ガウス写像の転送演算子です。 ^[5] つまり、ベール空間から複素平面への写像を考えます。この写像の空間は、ベール空間上の積位相から位相を継承します。たとえば、一様収束を持つ関数を考えることができます。この関数の空間に作用するシフト写像は、GKW 演算子です。 ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots )}$${\displaystyle T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )}$${\displaystyle x=[a_{1},a_{2},\cdots ]}$${\displaystyle h(x)=[a_{2},\cdots ]}$${\displaystyle \omega ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

シフト演算子のハール測度、すなわちシフトに対して不変な関数は、ミンコフスキー測度 によって与えられる。すなわち、 が成り立ち、ここでTはシフト^[6]であり、E はω ^ωの任意の測定可能な部分集合である。 ${\displaystyle (...)'}$${\displaystyle (TE)'=E'}$

• ベール空間 – 位相幾何学の概念
• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト

• Kechris, Alexander S. (1994).古典的記述集合論. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9。
• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980)。記述的集合論。ノースホランド。ISBN 0-444-70199-0。