完全な格子

完全束Lの部分束Mは、 Mの任意の部分集合Aに対して要素が次の条件を満たす場合、Lの完全部分束と呼ばれる。${\displaystyle \bigwedge A}$そして${\displaystyle \bigvee A}$Lで定義されているものは、実際にはMに含まれています。^{[ 1 ]}

上記の要件を緩和して、M内に空でない交わりと結合が存在することのみを要求する場合、部分格子MはLの閉じた部分格子と呼ばれます。

完全交点半格子または完全結合半格子という用語は、任意の交点を任意の結合で表現でき、またその逆も可能であるため、完全格子を指す別の方法です（詳細は完全性を参照）。

「完全交会半束」の別の用法としては、有界完全かつ完全半順序である交会半束を指すものがある。この概念は、まだ束ではない交会半束（実際には最上位要素のみが欠けている可能性がある）の最も「完全な」概念と言えるだろう。

両方の定義に関する詳細な議論については、半束の項を参照してください。

格子は、以下のいずれかまたは両方の性質を満たす場合、 「条件付き完全」であると言われます。 ^{[ 2 ]}

• 上に境界が設けられた空でない部分集合は、最小上界を持ちます。
• 下界を持つ空でない部分集合は、最大の下限を持つ。

• 空集合は完全束ではない。もし完全束であるならば、特に空集合には空集合の中に下限と上限が存在することになり、矛盾が生じる。
• 有理数​${\displaystyle \mathbb {Q} }$通常の順序 ≤ を持つものは完全格子ではありません。それは、${\displaystyle \bigwedge \{x,y\}=\min\{x,y\}}$そして${\displaystyle \bigvee \{x,y\}=\max\{x,y\}}$。 しかし、${\displaystyle \mathbb {Q} }$それ自体には下限も上限もありません。${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}}$。

さらに、すべての結合を保存する射は、一意のガロア接続の下側随伴部分として等価に特徴付けられます。任意の順序集合XとYに対して、ガロア接続は、 XからYへの単調関数fとgのペアによって与えられ、Xの要素xとYの要素yのペアごとに、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle f(x)\leq y\iff x\leq g(y)}$

ここで、 fは下随伴関数、gは上随伴関数と呼ばれます。随伴関数定理によれば、任意の完全束のペア間の単調写像は、それが下随伴関数である場合に限りすべての結合を保存し、それが上随伴関数である場合に限りすべての交点を保存します。

そのため、各結合保存射は、すべての交わりを保存する逆方向の一意な上随伴を決定します。したがって、完全な半束射（結合保存型または交わり保存型のいずれのタイプでも）を持つ完全な束を考えることは、ガロア接続を束射として考えることに帰着します。これにより、上で議論した 3 つのクラスの射は、基本的に 2 つの異なるカテゴリの完全な束を記述しているだけであるという洞察が得られます。1 つは完全な準同型を持つもの、もう 1 つは交わり保存関数（上随伴）とその双対の結合保存写像（下随伴）の両方を捉えるガロア接続を持つものです。

XとYの部分集合の格子、すなわち冪集合の間には、特に重要な特殊なケースのクラスが生じる。${\displaystyle P(X)}$そして​​${\displaystyle P(Y)}$関数が与えられた場合${\displaystyle f}$XからYへ。これらの場合、直接像と逆像は、${\displaystyle f}$冪集合間の関係は、それぞれ互いに上側および下側の随伴関係である。

自由オブジェクトの構成は、選択された射のクラスに依存します。すべての結合（つまり、ガロア接続の下側随伴）を保存する関数は、自由完全結合半束と呼ばれます。

普遍代数学の標準的な定義によれば、生成集合上の自由完備束は${\displaystyle S}$完全な格子である${\displaystyle L}$関数とともに${\displaystyle i:S\rightarrow L}$任意の関数${\displaystyle f}$から${\displaystyle S}$ある完全束の基礎となる集合へ${\displaystyle M}$射を通して一意に因数分解できる${\displaystyle f^{\circ }}$から${\displaystyle L}$に${\displaystyle M}$これはつまり${\displaystyle f(s)=f^{\circ }(i(s))}$すべての要素について${\displaystyle s}$の${\displaystyle S}$そして、${\displaystyle f^{\circ }}$この性質を持つ射は のみです。したがって、集合と関数の圏から完全束と結合保存関数の圏への関手が存在し、それは完全束からその基礎となる集合への忘却関手に左随伴します。

したがって、ある集合によって生成される完全格子が${\displaystyle S}$パワーセット$2S$、 のすべての部分集合の集合${\displaystyle S}$部分集合の包含順で順序付けされています。必要な単位${\displaystyle i:S\rightarrow 2^{S}}$任意の要素をマッピングします${\displaystyle s}$の${\displaystyle S}$シングルトンセットへ${\displaystyle \{s\}}$マッピングが与えられた場合${\displaystyle f}$上記のように、関数${\displaystyle f^{\circ }:2^{S}\rightarrow M}$定義される

${\displaystyle f^{\circ }(X)=\bigvee \{f(s)|s\in X\}}$。

それから${\displaystyle f^{\circ }}$結合を至上関係に変換し、結合関係を維持する。

これらの考察から、結合ではなく交わりを保存する射（すなわちガロア接続の上随伴）の自由な構成も得られる。上記は双対化できる。自由オブジェクトは逆包含によって順序付けられた冪集合として与えられ、集合の和集合が交わり演算を提供し、関数は${\displaystyle f^{\circ }}$これは、結合ではなく交わりによって定義されます。この構成の結果は、自由完全交わり半束として知られています。これらの自由構成は、有限集合を考慮する必要がある自由半束を得るために使用される構成を拡張したものであることに注意してください。

完全準同型を持つ完全束の状況はより複雑です。実際、自由完全束は一般には存在しません。もちろん、束の場合と同様の単語問題を定式化することはできますが、この場合、すべての可能な単語（または「項」）の集合は適切なクラスになります。なぜなら、任意の交わりと結合は、すべての濃度の引数集合に対する操作を構成するからです。

この性質自体は問題ではありません。上記の自由完全半束の場合が示すように、語句問題の解が同値類の集合のみを残すことは十分にあり得ます。言い換えれば、すべての項の固有クラスが同じ意味を持ち、自由構成において同一視される可能性があるということです。しかし、完全束の語句問題の同値類は「小さすぎる」ため、自由完全束が依然として固有クラスになってしまい、これは許容されません。

さて、生成元の集合が十分に小さく、自由で完全な格子が存在するような有用なケースがいくつかあることを期待する人もいるかもしれない。残念ながら、サイズの限界は非常に小さく、次の定理がある。

3 つの生成元を持つ自由完全格子は存在しません。それは真のクラスです。

この主張の証明はジョンストンによって与えられている。^{[ 3 ]}元の議論はアルフレッド・W・ヘイルズによるものとされている。^{[ 4 ]}自由格子に関する記事も参照のこと。

与えられた半順序集合から、上記で考察した生成元集合の代わりに完全束が自由に生成される場合、半順序集合の完全化について述べる。この操作の結果の定義は、上記の自由オブジェクトの定義に似ており、「集合」と「関数」が「半順序集合」と「単調写像」に置き換えられている。同様に、完全化の過程は、単調関数を持つ半順序集合の圏から、逆方向の忘却関手に左随伴する適切な射を持つ完全束の圏への関手として記述することができる。

交わりや結合を保存する関数を射とみなす限り、これはデデキント・マクニール完備化と呼ばれる方法によって容易に実現できます。この過程では、半順序集合の要素が（デデキント）カットにマッピングされ、その後、上記の集合や自由完備（半）束の場合とほぼ同じ方法で、任意の完備束の基礎となる半順序集合にマッピングできます。

前述の完全自由束が存在しないという結果は、順序集合からそれに対応する自由構成も不可能であることを意味する。これは、各要素がそれ自身とのみ関係を持つ離散順序集合を考えることで容易に理解できる。これらはまさに、基底集合上の完全自由順序集合である。もし順序集合から完全束を自由に構成できるとすれば、両方の構成を合成できることになるが、これは上記の否定的な結果と矛盾する。