リー群

数学において、リー群（リーぐん、発音：/ l iː / LEE）は、群の乗法と逆元を取ることが両方とも微分可能であるような、 微分可能多様体でもある群です。

多様体は、局所的にユークリッド空間に類似した空間ですが、群は、抽象的な意味での「変換」として考えられるために必要な追加のプロパティとともに、 2 項演算の抽象概念を定義します。たとえば、乗算と逆数 (除算)、または同等の加算と逆数 (減算) の概念です。これら 2 つのアイデアを組み合わせると、乗算点とその逆数が連続する連続群が得られます。乗算と逆数が滑らか(微分可能) である場合も、リー群が得られます。

リー群は連続対称性の概念の自然なモデルを提供し、その有名な例は円群です。円の回転は連続対称性の例です。円の任意の回転に対して、同じ対称性が存在し、^[1]そのような回転を連結すると、リー群の典型的な例である円群になります。リー群は、現代の数学と物理学の多くの部分で広く使用されています。

リー群は、またはに含まれる行列部分群、または上の可逆行列の群を研究することによって最初に発見されました。概念がこれらの起源をはるかに超えて拡張されたため、これらは現在では古典群と呼ばれています。リー群は、連続変換群の理論の基礎を築いたノルウェーの数学者ソフス・リー(1842–1899) にちなんで名付けられました。リーがリー群を導入した当初の動機は、微分方程式の連続対称性をモデル化することでした。これは、ガロア理論で有限群を使用して代数方程式の離散対称性をモデル化するのとほぼ同じ方法です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ソフス・リーは、 1873年から1874年の冬を連続群の理論の誕生の日とみなした。^[2]しかしトーマス・ホーキンスは、理論の創造につながったのは「1869年秋から1873年秋までの4年間のリーの驚異的な研究活動」だったと示唆している。^{[2]リーの初期のアイデアのいくつかは、}フェリックス・クラインとの緊密な協力で発展した。リーは1869年10月から1872年まで毎日クラインと会った。1869年10月末から1870年2月末まではベルリンで、その後2年間はパリ、ゲッティンゲン、エアランゲンで会った。^[3]リーは、主要な結果はすべて1884年までに得られたと述べた。しかし1870年代には、彼のすべての論文（最初のノートを除く）がノルウェーの雑誌に掲載され、ヨーロッパ全土での研究の認知を妨げた。^[4] 1884年、ドイツの若き数学者フリードリヒ・エンゲルがリーと協力して連続群の理論を体系的にまとめた論文を執筆した。この成果は1888年、1890年、1893年に出版された3巻からなる『変換群の理論』である。フランス語で「リー群」という用語は、1893年にリーの弟子アーサー・トレセの論文で初めて登場した。^[5]

リーの考えは、数学の他の部分から孤立していたわけではない。実際、彼が微分方程式の幾何学に興味を持ったのは、カール・グスタフ・ヤコビの一階偏微分方程式の理論と古典力学の方程式に関する研究がきっかけだった。ヤコビの研究の多くは1860年代に死後に出版され、フランスとドイツで大きな関心を集めた。^[6]リーの固い考えは、エヴァリスト・ガロアが代数方程式に対して行ったこと、すなわち群論の観点から微分方程式を分類することと同じことを微分方程式に対して達成する、微分方程式の対称性の理論を展開することだった。リーと他の数学者は、特殊関数と直交多項式の最も重要な方程式は、群論的対称性から生じる傾向があることを示した。リーの初期の研究におけるアイデアは、連続群の理論を構築して、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレの手によってモジュラー形式理論で発展した離散群の理論を補完することであった。リーが念頭に置いていた最初の応用は、微分方程式の理論であった。ガロア理論と多項式方程式をモデルにして、対称性の研究によって常微分方程式の全領域を統一できる理論という概念が中心であった。しかし、リー理論が常微分方程式の全分野を統一するという希望は満たされなかった。常微分方程式の対称性手法は研究され続けているが、主題を支配するほどではない。微分ガロア理論は存在するが、それはピカールやヴェシオなど他の人によって開発され、解を表すために必要な求積法、つまり不定積分の理論を提供している。

連続群を検討するさらなる推進力は、幾何学の基礎に関するベルンハルト・リーマンの考えと、クラインの手によるそのさらなる発展から生まれました。このようにして、19 世紀の数学の 3 つの主要なテーマがリーによって統合され、新しい理論が生まれました。

• 対称性の考え方は、ガロアが群の代数的概念を通じて例示したものです。
• ポアソンとヤコビによって解明された幾何学理論と力学の微分方程式の明示的な解。
• プリュッカー、メビウス、グラスマンなどの著作で生まれた幾何学の新しい理解であり、リーマンの幾何学に対する革命的なビジョンに結実した。

今日では、連続群の理論の創始者は当然ながらゾフス・リーであると認められているが、その後の数学の発展に多大な影響を与えることになる連続群の構造理論の発展における大きな進歩は、 1888年に「連続有限変換群の合成」と題する一連の論文の最初の論文を発表したヴィルヘルム・キリングによるものであった。^[7]後にエリ・カルタンによって洗練され一般化されたキリングの研究は、半単純リー代数の分類、カルタンの対称空間の理論、およびヘルマン・ワイルによる最高の重みを使ったコンパクトで半単純リー群の表現の記述につながった。

1900年、ダヴィト・ヒルベルトはパリの国際数学者会議で第五問題を提示し、リー理論家に挑戦した。

ワイルはリー群の理論の発展の初期段階を結実させた。半単純リー群の既約表現を分類し、群の理論を量子力学と結び付けただけでなく、リーの無限小群（すなわちリー代数）とリー群そのものとの区別を明確に表明することでリーの理論自体をより強固な基盤の上に置き、リー群の位相幾何学の研究を始めた。^{[8]リー群の理論は、}クロード・シュヴァレーのモノグラフの中で現代の数学用語で体系的に書き直された。

リー群は滑らかな 微分可能多様体であり、より一般的な位相群の場合とは対照的に、微分積分を使用して研究することができます。リー群の理論における重要なアイデアの 1 つは、グローバルオブジェクトである群を、そのローカルバージョンまたは線形バージョンに置き換えることです。リー自身はこれを「無限小群」と呼び、それ以来リー代数として知られるようになりました。

リー群は、現代幾何学において、いくつかの異なるレベルで非常に大きな役割を果たしている。フェリックス・クラインは、エアランゲン・プログラムにおいて、特定の幾何学的特性を不変にする適切な変換群を指定することによって、さまざまな「幾何学」を検討できると主張した。したがって、ユークリッド幾何学は、ユークリッド空間の距離保存変換の群E(3)の選択に対応し、共形幾何学は、群を共形群に拡大することに対応し、一方、射影幾何学では、射影群の下で不変な特性に関心がある。この考えは、後にG 構造の概念につながった。ここで、G は、多様体の「局所的」対称性のリー群である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

リー群（およびそれに関連するリー代数）は現代物理学で重要な役割を果たしており、リー群は典型的には物理システムの対称性の役割を果たしています。ここで、リー群（またはそのリー代数）の表現は特に重要です。表現論は素粒子物理学で広く使用されています。表現が特に重要な群には、回転群 SO(3)（またはその二重被覆 SU(2)）、 特殊ユニタリー群 SU(3)、およびポアンカレ群があります。

「グローバル」レベルでは、リー群がリーマン多様体やシンプレクティック多様体などの幾何学的オブジェクトに作用するときはいつでも、この作用は剛性の尺度を提供し、豊富な代数構造を生み出します。多様体へのリー群作用によって表現される連続対称性の存在は、その幾何学に強い制約を課し、多様体上の解析を容易にします。リー群の線型作用は特に重要であり、表現論で研究されています。

1940年代から1950年代にかけて、エリス・コルチン、アルマン・ボレル、クロード・シュヴァレーは、リー群に関する多くの基礎的結果が完全に代数的に展開できることに気づき、任意の体上で定義された代数群の理論を生み出した。この洞察は、ほとんどの有限単純群に統一的な構成を与えることで純粋代数学と代数幾何学に新たな可能性を開いた。現代数論の重要な一分野である保型形式の理論は、アデール環上のリー群の類似物を広範囲に扱っており、p進リー群は数論におけるガロア表現との関連を通じて重要な役割を果たしている。

実リー群は、有限次元の実滑らかな多様体でもある群であり、その中で乗算と反転の群演算は滑らかな写像となる。群の乗算の滑らかさ

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

は、 μ が積多様体 G × GからGへの滑らかな写像であることを意味する。この 2 つの要件は、写像

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

積多様体のGへの滑らかな写像とする。

• 2×2の実 可逆行列は乗法に関して群を形成し、2次の一般線型群と呼ばれ、または で表されます。${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

これは 4 次元の非コンパクトな実リー群で、 の開集合です。この群は不連続で、行列式の正の値と負の値に対応する 2 つの連結成分を持ちます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• 回転行列はのサブグループを形成し、 と表記されます。これはそれ自体がリー群です。具体的には、円に微分同相な1 次元コンパクト連結リー群です。回転角度をパラメータとして使用して、この群は次のようにパラメータ化できます。${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

角度の加算は の要素の乗算に対応し、反対の角度を取ることは反転に対応します。したがって、乗算と反転はどちらも微分可能なマップです。${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$

• 1次元のアフィン群は、2次元行列リー群であり、実数の上三角行列で構成され、最初の対角要素は正で、2番目の対角要素は1です。したがって、この群は次の形式の行列で構成されます。${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

ここで、ある位相の下でリー群ではない、 無数個の元を持つ群の例を示します。

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

無理数を固定したは、トーラスの部分群であり、部分空間位相が与えられたときにリー群ではない。^[9]たとえば、内の点の任意の小さな近傍を取ると、内のの部分は不連続になります。 群は、螺旋の前の点に到達することなくトーラスの周りを繰り返し巻き、の稠密な部分群を形成します。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

しかし、群には異なる位相を与えることができ、その位相では 2 点間の距離はに結合する群の最短経路の長さとして定義されます。この位相では、 の各要素をの定義の数と同一視することにより、 は実数直線と同相的に同一視されます。この位相では、は加法の下での実数の群にすぎず、したがってリー群です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

この群は、閉じていないリー群の「リー部分群」の例です。基本概念のセクションのリー部分群に関する以下の説明を参照してください。 ${\displaystyle H}$

を要素とする可逆行列の群とします。の任意の閉部分群はリー群です。 ^{[10]この種のリー群は}行列リー群と呼ばれます。リー群の興味深い例のほとんどは行列リー群として実現できるため、ホール、^[11]、ロスマン、^[12]、スティルウェルの教科書など、一部の教科書ではこのクラスに限定して取り上げています。^[13] 行列リー群に限定すると、リー代数と指数写像の定義が簡単になります。 以下は、行列リー群の標準的な例です。 ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

• および、および上の特殊線型群は、行列式が 1 で要素が または である行列から構成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ユニタリ群と特殊ユニタリ群、およびは、を満たす複素行列から構成される（の場合も同様）。${\displaystyle U(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SU(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle SU(n)}$
• を満たす実数行列からなる直交群と特殊直交群、および（の場合も同様）${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$

前述の例はすべて、古典群の範疇に入ります。

複素リー群は、実多様体ではなく複素多様体(例: ) と正則写像を使用して、同じ方法で定義されます。同様に、の代替計量完備化を使用して、 p進数上のp進リー群を定義できます。これは、群演算が解析的であるような解析p進多様体でもある位相群です。特に、各点にはp進近傍があります。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ヒルベルトの第 5 の問題は、微分可能多様体を位相的または解析的な多様体に置き換えると新しい例が得られるか、というものでした。この質問に対する答えは否定的でした。1952 年に、グリーソン、モンゴメリー、ジッピンは、 G が連続群演算を伴う位相的多様体である場合、 G上にそれをリー群に変える解析構造が 1 つだけ存在することを示しました (ヒルベルト–スミス予想も参照)。基礎となる多様体が無限次元 (たとえば、ヒルベルト多様体) であることが許される場合、無限次元リー群の概念に到達します。有限体上の多くのリー群の類似物を定義することは可能であり、これらは有限単純群の例のほとんどを提供します。

圏論の言語は、リー群の簡潔な定義を提供します。リー群は、滑らかな多様体の圏における群オブジェクトです。これは、リー群の概念をリー超群に一般化できるため重要です。この圏論的な観点は、リー群の別の一般化、つまり、さらなる要件を伴う滑らかな多様体の圏における 群オブジェクトであるリー類群にもつながります。

リー群は、単位元の近くでは微分可能多様体を参照せずに変換群のように見える（ハウスドルフ）位相群として定義できます。 ^{[14]まず、}浸線形リー群を一般線型群Gの部分群として定義し、 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. Gの単位元eのある近傍Vに対して、 V上の位相はの部分空間位相であり、Vは で閉じている。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. G には最大で可算個数の連結成分が存在します。

(例えば、 の閉じた部分群、つまり行列リー群は上記の条件を満たします。) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

そして、リー群は、(1) 浸漬線型リー群の恒等式の近くで局所的に同型であり、(2) 連結成分が最大で可算個である位相群として定義されます。位相定義が通常の定義と同等であることを示すのは技術的ですが (初心者の読者は以下をスキップしてください)、おおよそ次のように行われます。

1. 通常の多様体の意味でのリー群Gが与えられると、リー群とリー代数との対応（またはリーの第 3 定理のバージョン）は、同じリー代数を共有する、つまり局所的に同型であるようなはめ込みリー部分群を構築します。したがって、G は上記の位相的な定義を満たします。${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$
2. 逆に、G を上記の位相的な意味でのリー群である位相群とし、Gに局所的に同型なはめ込み線形リー群を選ぶ。すると、閉部分群定理のバージョンにより、は実解析多様体となり、局所同型性により、G は単位元付近の多様体の構造を獲得する。すると、G上の群法則は形式的冪級数で与えられることが示される。^[a]そのため、群演算は実解析的であり、G自体は実解析多様体である。${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$

位相的定義は、2 つのリー群が位相群として同型である場合、それらはリー群としても同型であるという主張を暗示しています。実際、それは、リー群の位相と群法則が、大部分において群の幾何学を決定するという一般原則を述べています。

リー群は数学や物理学のあらゆる分野で数多く登場します。行列群または代数群は（大まかに言えば）行列の群（たとえば、直交群やシンプレクティック群）であり、これらはリー群のより一般的な例のほとんどを提供します。

次元が 1 である連結リー群は、実数直線(群の演算は加算) と絶対値が 1 である複素数の円群(群の演算は乗算) のみです。この群は、ユニタリ行列の群と表記されることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

2 次元では、単連結群にのみ注目すると、それらの群はリー代数によって分類されます。2 次元のリー代数は (同型を除いて) 2 つしかありません。関連する単連結リー群は(群演算がベクトル加算である) と、前のサブセクションの「最初の例」で説明した 1 次元のアフィン群です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• 群SU(2)は、行列式 を持つユニタリ行列の群です。位相的には、は-球面です。群としては、単位四元数の群と同一視できます。${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• ハイゼンベルク群は、次元の連結な冪零リー群であり、量子力学において重要な役割を果たしている。${\displaystyle 3}$
• ローレンツ群はミンコフスキー空間の線型等長写像の6次元リー群である。
• ポアンカレ群は、ミンコフスキー空間のアフィン等長変換の 10 次元リー群です。
• G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈タイプの例外リー群の次元は、14、52、78、133、および 248 です。 ABCD 系列の単純リー群とともに、例外群により単純リー群のリストが完成します。
• シンプレクティック群は、 上のシンプレクティック形式を保存するすべての行列で構成されます。これは次元 の連結リー群です。${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

古いリー群から新しいリー群を形成する標準的な方法がいくつかあります。

• 2 つのリー群の積はリー群です。
• リー群の位相的に閉じた部分群はいずれもリー群である。これは、閉じた部分群の定理またはカルタンの定理として知られている。
• リー群を閉じた正規部分群で割った商はリー群である。
• 連結リー群の普遍被覆はリー群である。例えば、群は円群の普遍被覆である。実際、微分可能多様体の任意の被覆も微分可能多様体であるが、普遍被覆を指定することにより、群構造（他の構造と互換性がある）が保証される。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

リー群ではない群の例をいくつか挙げる（ただし、最大で可算個数の元を持つ任意の群は、離散位相を持つ 0 次元リー群と見なせるという自明な意味では除く）。

• 無限次元群、例えば無限次元実ベクトル空間の加法群や、多様体からリー群への滑らかな関数の空間など。これらは有限次元多様体ではないのでリー群ではない。${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• 完全に分離した群には、体の無限拡大のガロア群やp進数の加法群などがあります。これらは、その基礎となる空間が実多様体ではないため、リー群ではありません。(これらの群の一部は「 p進リー群」です。) 一般に、ある正の整数nに対してR ⁿと同様の局所特性を持つ位相群のみがリー群になり得ます (もちろん、微分可能な構造も持たなければなりません)。

すべてのリー群には、その基底ベクトル空間が単位元におけるリー群の接空間であり、群の局所構造を完全に捉えるリー代数を関連付けることができます。非公式には、リー代数の要素は単位元に「無限小に近い」群の要素であると考えることができ、リー代数のリー括弧はそのような 2 つの無限小要素の交換子と関連しています。抽象的な定義を示す前に、いくつかの例を示します。

• ベクトル空間R ⁿのリー代数は、     [ A ,  B ] = 0で与えられるリー括弧を持つR ⁿです。(一般に、連結リー群のリー括弧は、リー群がアーベル群である場合にのみ常に 0 になります。)
  
  
• 可逆行列の一般線型群GL( n , C )のリー代数は、     [ A ,  B ]= AB  −  BAで与えられるリー括弧を持つ正方行列のベクトル空間M( n , C )です。
  
• G がGL( n , C )の閉部分群である場合、 Gのリー代数は非公式にはM( n , C ) の行列mであって 1 + ε mがGに含まれるものと考えることができます。ここで ε は ε ² = 0となる無限小の正数です (もちろん、そのような実数 ε は存在しません)。たとえば、直交群 O( n , R ) はAA ^T = 1となる行列Aから構成されるため、リー代数は(1 + ε m )(1 + ε m ) ^T = 1 となる 行列mから構成されます。 これは ε ^{2 = 0 であるため、} m  +  m ^T = 0 と同等です 。
• 前述の説明は次のようにより厳密に行うことができる。GL ( n , C )の閉部分群Gのリー代数は次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[16] [11]}ここでexp( tX )は指数行列を用いて定義される。するとGのリー代数は括弧演算の下で閉じた実ベクトル空間であることが示される。^[17]${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

行列群に対する上記の具体的な定義は扱いやすいが、いくつか小さな問題がある。それを使用するには、まずリー群を行列の群として表現する必要があるが、すべてのリー群をこのように表現できるわけではなく、リー代数が使用する表現から独立していることも明らかではない。^[18]これらの問題を回避するために、リー群のリー代数の一般的な定義を与える（4つのステップ）。

1. 任意の滑らかな多様体M上のベクトル場は、その多様体上の滑らかな関数の環の微分 Xとして考えることができ、したがって、任意の 2 つの微分に対するリー括弧は微分であるため、リー括弧 [ X ,  Y ] =  XY  −  YXの下でリー代数を形成します。
2. Gが多様体M上で滑らかに作用する任意の群である場合、それはベクトル場に対して作用し、群によって固定されたベクトル場のベクトル空間はリー括弧の下で閉じており、したがってリー代数も形成します。
3. この構成を、多様体M がリー群Gの基礎空間であり 、Gが左変換L _g ( h ) =  ghによってG  =  Mに作用する場合に適用します。これは、リー群上の左不変ベクトル場（G内のすべてのhに対してL _{g *} X _h =  X _{gh を}満たすベクトル場。ここでL _{g *は}L _gの微分を表す）の空間が、ベクトル場のリー括弧の下のリー代数であることを示しています。
4. リー群の恒等点における任意の接ベクトルは、その接ベクトルを多様体の他の点に左平行移動することによって、左不変ベクトル場へと拡張できる。具体的には、恒等点における接空間の元vの左不変拡張は、 v ^ _g  =  L _{g *} vで定義されるベクトル場である。これにより、恒等点における接空間 T _e G は左不変ベクトル場の空間と同一視され、したがって恒等点における接空間はリー代数になる。これはGのリー代数と呼ばれ、通常はフラクトゥール で表される。したがって、上のリー括弧は[ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _eで明示的に与えられる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

このリー代数は有​​限次元であり、多様体Gと同じ次元を持ちます。 Gのリー代数は、 G を「局所同型」まで決定します。ここで、2 つのリー群は、単位元の近くで同じに見える場合、局所同型と呼ばれます。リー群に関する問題は、多くの場合、最初にリー代数の対応する問題を解くことによって解決され、その後、グループの結果は通常簡単に得られます。たとえば、単純なリー群は通常、最初に対応するリー代数を分類することによって分類されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

左不変ベクトル場の代わりに右不変ベクトル場を使ってT _e上のリー代数構造を定義することもできます。これは同じリー代数につながります。なぜなら、 G上の逆写像は左不変ベクトル場を右不変ベクトル場と同一視するのに使うことができ、接空間T _e上で −1 として作用するからです。

T _e上のリー代数構造は次のようにも記述できる。交換子演算

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

G × G上の は( e ,  e ) をeに送るので、その導関数はT _e G上の双線型演算になります。この双線型演算は実際にはゼロ写像ですが、接空間の適切な識別の下での 2 番目の導関数は、リー括弧の公理を満たす演算になり、左不変ベクトル場を通じて定義されるものの 2 倍に等しくなります。

GとH がリー群である場合、リー群準同型f  : G → H は滑らかな群準同型である。複素リー群の場合、そのような準同型は正則写像であることが要求される。しかし、これらの要件は少し厳格であり、実リー群間の連続準同型はすべて（実）解析的であることが分かる。^{[19] [b]}

2 つのリー準同型の合成もまた準同型であり、すべてのリー群のクラスはこれらの射とともにカテゴリ を形成します。さらに、すべてのリー群準同型は、対応するリー代数間の準同型を誘導します。をリー群準同型とし、 をその恒等元での導関数とします。GとHのリー代数を恒等元での接空間と同一視すると、 は対応するリー代数間の写像となります。 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

これはリー代数準同型であることがわかります（つまり、リー括弧を保存する線型写像です）。圏論の言語では、リー群の圏からリー代数の圏への共変関手があり、これはリー群をそのリー代数に送り、リー群準同型を恒等関数でのその導関数に送ります。

2 つのリー群の間に全単射準同型が存在し、その逆もリー群準同型である場合、それらの群は同型であると呼ばれます。同様に、それは微分同型であり、群準同型でもあります。上記により、リー群からリー群への連続準同型は、それが全単射である場合に限り、リー群の同型であることに注意してください。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

同型リー群は必然的に同型リー代数を持ちます。したがって、リー群の同型類がリー代数の同型類とどのように関係するかを問うのは合理的です。

この方向での最初の結果はリーの第3定理であり、これはすべての有限次元実リー代数は何らかの（線型）リー群のリー代数であるということを述べている。リーの第3定理を証明する1つの方法は、すべての有限次元実リー代数は行列リー代数と同型であるというアドーの定理を使用することである。一方、すべての有限次元行列リー代数に対して、この代数をリー代数とする線型群（行列リー群）が存在する。^[20]

一方、同型リー代数を持つリー群は、同型である必要はありません。さらに、この結果は、群が連結であると仮定しても当てはまります。言い換えると、リー群のグローバル構造はそのリー代数によって決定されません。たとえば、Z がGの中心の任意の離散部分群である場合、GとG / Z は同じリー代数を持ちます (例については、リー群の表を参照してください)。物理学で重要な例として、群SU(2)とSO(3)があります。これら 2 つの群は同型リー代数を持ちますが、^[21]群自体は同型ではありません。SU(2) は単連結ですが、SO(3) はそうではありません。^[22]

一方、リー群が単連結であることを要求すると、大域構造はそのリー代数によって決定される。つまり、同型リー代数を持つ2つの単連結リー群は同型である。^[23]（単連結リー群の詳細については、次のサブセクションを参照してください。）リーの第3定理に照らして、有限次元実リー代数の同型類と単連結リー群の同型類の間には1対1の対応があると言うことができます。

リー群は、 内のすべてのループが内の点まで連続的に縮小できる場合、単連結であると言われます。この概念は、単純連結性を仮定とする次の結果のために重要です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

定理: ^[24]およびがリー代数およびリー代数準同型を持つリー群であるとする。 が単連結である場合、となる唯一のリー群準同型が存在する。ここで は恒等関数におけるの微分である。${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

リーの第 3 定理は、すべての有限次元実リー代数はリー群のリー代数であると述べています。リーの第 3 定理と前の結果から、すべての有限次元実リー代数は、一意の単連結リー群のリー代数であることがわかります。

単連結群の例としては、特殊ユニタリー群SU(2)があり、これは多様体としては 3 次元球面である。一方、回転群 SO(3) は単連結ではない。( SO(3) のトポロジーを参照。) SO(3) が単連結でないことは、量子力学における整数スピンと半整数スピンの区別と密接に関係している。単連結リー群の他の例としては、特殊ユニタリー群SU(n)、 に対するスピン群 (回転群の二重被覆) Spin(n)、コンパクトシンプレクティック群Sp(n)などがある。^[25]${\displaystyle n\geq 3}$

リー群が単連結かどうかを判断する方法については、リー群の基本群に関する記事で説明します。

一般線型群のリー代数からへの指数写像は、通常のべき級数で与えられる行列 指数によって定義されます。${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

行列 に対して。が の閉部分群である場合、指数写像は のリー代数を に写すので、すべての行列群に対して指数写像が得られます。 の任意の要素のうち単位元に十分近いものは、リー代数における行列の指数です。^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

上記の定義は使いやすいですが、行列群ではないリー群に対しては定義されておらず、リー群の指数写像が行列群としての表現に依存しないことは明らかではありません。次のように、すべてのリー群に当てはまる指数写像のより抽象的な定義を使用して、両方の問題を解決できます。

のリー代数（すなわち恒等関数におけるへの接空間）の各ベクトルに対して、となる一意の1パラメータ部分群が存在することが証明される。 が1パラメータ部分群であると言うことは、 が への滑らかな写像であり、 であること を意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

とに対して成り立つ。右辺の演算は における群乗法である。この式は指数関数に有効な式と形式的に類似しているため、定義は ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

これは指数写像と呼ばれ、リー代数をリー群 に写します。これは、における 0 の近傍とにおけるの近傍との間の微分同相写像を提供します。この指数写像は、実数 (は乗算を伴う正の実数のリー群のリー代数であるため)、複素数 (は乗算を伴う非ゼロ複素数のリー群のリー代数であるため)、および行列(正則交換子により はすべての可逆行列のリー群のリー代数であるため) に対する指数関数の一般化です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

指数写像はの近傍上で射影的であるため、リー代数の元を群 の無限小生成元と呼ぶのが一般的です。によって生成される の部分群はの恒等成分です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

指数写像とリー代数は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式により、連結されたすべてのリー群の局所群構造を決定する。つまり、 の零元の近傍が存在し、 に対して次式が 成り立つ。${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

ここで省略された項は既知であり、4つ以上の要素のリー括弧を含む。と が交換可能な場合、この式はよく知られた指数法則に帰着する。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

指数写像はリー群準同型を関連付ける。つまり、がリー群準同型であり、対応するリー代数上の誘導写像である場合、すべてのに対して ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

言い換えれば、次の図は可換である、^[27]

(簡単に言えば、exp は、Lie 関数から Lie 群のカテゴリ上の恒等関数への 自然な変換です。)

リー代数からリー群への指数写像は、群が連結であっても、常に上になるわけではありません (ただし、コンパクトまたは冪零である連結群の場合は、リー群上に写像されます)。たとえば、 SL(2, R )の指数写像は全射ではありません。また、指数写像は、 C ^∞ フレシェ空間上にモデル化された無限次元 (以下を参照) リー群に対して、任意の小さな 0 近傍から対応する 1 近傍への場合でも、全射でも単射でもありません。

リー群のリー部分群は、およびの 部分集合であるリー群であり、からへの包含写像は、単射浸漬および群準同型である。カルタンの定理によれば、の閉部分群は、 の埋め込みリー部分群、つまり、包含写像が滑らかな埋め込みとなるようなリー部分群となる一意の滑らかな構造を許容する。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

閉じていない部分群の例は豊富にあります。たとえば、 を2 次元以上のトーラスとし、 を無理数傾斜の1 パラメータ部分群、つまりG内で巻き付く部分群とします。すると、を伴うリー群準同型が存在します。の閉包はの部分トーラスになります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

指数写像は、連結リー群の連結リー部分群とリー代数のサブ代数との間の一対一対応を与える。^[28] 通常、サブ代数に対応するサブグループは閉じたサブグループではない。どのサブ代数が閉じたサブグループに対応するかを決定する構造のみに基づいた基準は存在しない。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

リー群の研究における重要な側面の 1 つは、その表現、つまり、リー群がベクトル空間に対して (線形に) 作用する方法です。物理学では、リー群は物理システムの対称性をエンコードすることがよくあります。この対称性を利用してシステムを解析する方法は、多くの場合、表現論を通じて行われます。たとえば、量子力学における時間に依存しないシュレーディンガー方程式を考えてみましょう。問題のシステムが対称性として回転群 SO(3)を持っていると仮定します。これは、ハミルトニアン演算子が波動関数 に対する SO(3) の作用と可換であることを意味します。(このようなシステムの重要な例の 1 つは、単一の球状軌道を持つ水素原子です。) この仮定は、解が回転不変関数であることを必ずしも意味するものではありません。むしろ、の解の空間は回転に対して不変であることを意味します( の各固定値に対して)。したがって、この空間は SO(3) の表現を構成します。これらの表現は分類されており、分類によって問題が大幅に簡素化され、本質的には 3 次元の偏微分方程式が 1 次元の常微分方程式に変換されます。 ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

連結コンパクトリー群Kの場合（先ほど述べたSO(3)の場合を含む）は特に扱いやすい。^{[29]その場合、} Kのすべての有限次元表現は、既約表現の直和として分解される。既約表現は、ヘルマン・ワイルによって分類された。分類は、表現の「最高の重み」に基づいている。分類は、半単純リー代数の表現の分類と密接に関連している。

任意のリー群（必ずしもコンパクトではない）の（一般に無限次元の）ユニタリ表現を研究することもできます。たとえば、群 SL(2,R) の表現とポアンカレ群の表現を比較的簡単に明示的に記述することができます。

リー群は、滑らかに変化する対称性の族と考えることができます。対称性の例としては、軸の周りの回転があります。理解しなければならないのは、近くの変換をリンクする、小さな角度による回転などの「小さな」変換の性質です。この構造を捉える数学的対象は、リー代数と呼ばれます (リー自身はこれを「無限小群」と呼んでいました)。リー群は滑らかな多様体であるため、各点に 接空間があるため、これを定義できます。

コンパクト リー群 (非常に大まかに言うと、対称性が有界集合を形成するもの) のリー代数は、アーベル リー代数といくつかの単純なリー代数の直和として分解できます。アーベル リー代数の構造は数学的には興味深いものではありません (リー括弧が常に 0 であるため)。興味深いのは単純な和数です。したがって、次のような疑問が生じます。コンパクト群の単純なリー代数とは何か? ほとんどの場合、それらは 4 つの無限族、つまり「古典的なリー代数」A _n、B _n、C _{n 、}および D _nに分類されます。これらは、ユークリッド空間の対称性に関して簡単に記述できます。ただし、これらの族のいずれにも分類されない「例外的なリー代数」も 5 つだけあります。E _{8 は}、これらの中で最大のものです。

リー群は、代数的性質 (単純、半単純、可解、冪零、アーベル)、連結性(連結または単連結)、コンパクト性によって分類されます。

最初の重要な結果はレヴィ分解であり、これはすべての単連結リー群が解ける正規部分群と半単純部分群の半直積であることを示しています。

• 連結コンパクトリー群はすべて既知である。それらは、円群S ^{1のコピーと単純コンパクトリー群（連結}ディンキン図に対応する）の積の有限中心商である。
• 任意の単連結な可解リー群は、ある階数の可逆上三角行列の群の閉じた部分群と同型であり、そのような群の任意の有限次元既約表現は 1 次元です。可解群は、いくつかの小さな次元を除いて分類するには複雑すぎます。
• 任意の単連結な冪零リー群は、ある階数の対角線上に 1 がある可逆な上三角行列の群の閉じた部分群と同型であり、そのような群の任意の有限次元既約表現は 1 次元です。可解群と同様に、冪零群は、いくつかの小さな次元を除いて分類するには複雑すぎます。
• 単純リー群は、抽象群として単純なものとして定義される場合もあれば、単純リー代数を持つ連結リー群として定義される場合もあります。たとえば、SL(2, R ) は2 番目の定義によれば単純ですが、最初の定義によれば単純ではありません。これらはすべて分類されています(どちらの定義でも)。
• 半単純リー群は、そのリー代数が単純リー代数の積であるリー群である。^[30]それらは単純リー群の積の中心的拡張である。

任意のリー群の恒等成分は開いた正規部分群であり、商群は離散群である。任意の連結リー群の普遍被覆は単連結リー群であり、逆に任意の連結リー群は単連結リー群を中心の離散正規部分群で割った商である。任意のリー群Gは、次のように標準的な方法で離散群、単純群、およびアーベル群に分解できる。

恒等式の連結成分のG _con

最大の連結正規可解部分群のG _sol

最大の連結正規冪零部分群の場合、G _nil

正規部分群の列が得られる。

1 ⊆ G_ゼロ⊆ G_ソル⊆ G_コン⊆ G .

それから

G / G _{con は}離散的である

G _con / G _{sol は、}単純連結リー群の積の中心拡張です。

G _sol / G _nilはアーベル群です。連結アーベルリー群は、Rと円群 S ¹のコピーの積に同型です 。

G _nil /1 は冪零なので、その上昇中心級数のすべての商はアーベルです。

これを使用すると、リー群に関するいくつかの問題 (ユニタリ表現の発見など) を、連結された単純群と、より小さい次元の冪零かつ可解な部分群に関する同じ問題に簡約することができます。

• リー群の微分同相群はリー群に対して推移的に作用する。
• すべてのリー群は平行化可能であり、したがって向き付け可能な多様体である（その接バンドルと、恒等関数における接空間との積との間にバンドル同型性がある）

リー群は有限次元として定義されることが多いが、無限次元であることを除いてリー群に似た群も多数存在する。無限次元リー群を定義する最も簡単な方法は、それらをバナッハ空間（有限次元の場合のユークリッド空間とは対照的）上で局所的にモデル化することであり、この場合、基本理論の多くは有限次元リー群の理論に類似している。しかし、これは多くの応用には不十分である。なぜなら、無限次元リー群の自然な例の多くはバナッハ多様体ではないからである。代わりに、より一般的な局所凸位相ベクトル空間上でモデル化されたリー群を定義する必要がある。この場合、リー代数とリー群の関係はかなり微妙になり、有限次元リー群に関するいくつかの結果はもはや成り立たなくなる。

無限次元群のどの特性がリー群におけるリー接頭辞の資格を群に与えるかについては、文献の用語が完全に統一されているわけではありません。リー代数側では、リー代数におけるリー接頭辞の資格基準は純粋に代数的なので、物事はより単純です。たとえば、無限次元リー代数は、対応するリー群を持つ場合と持たない場合があります。つまり、リー代数に対応する群は存在するかもしれませんが、リー群と呼ぶには十分に適切ではないか、群とリー代数の間の接続が十分に適切ではない可能性があります (たとえば、指数写像が恒等写像の近傍上に存在しないなど)。「十分に適切」かどうかは普遍的に定義されていません。

研究された例には次のようなものがあります。

• 多様体の微分同相写像群。円の微分同相写像群については多くのことが分かっています。そのリー代数は（多かれ少なかれ）ウィット代数であり、その中心的な拡張であるヴィラソロ代数（この事実の導出については、ウィット代数のヴィラソロ代数を参照）は、 2次元共形場理論の対称代数です。より大きな次元のコンパクト多様体の微分同相写像群は、正則フレシェ・リー群です。その構造についてはほとんど分かっていません。
• 時空の微分同相群は、重力を量子化する試みの中で時々現れます。
• 多様体から有限次元リー群への滑らかな写像の群は、ゲージ群（点ごとの乗算の演算を含む）の例であり、量子場の理論とドナルドソン理論で使用されます。多様体が円の場合、これらはループ群と呼ばれ、リー代数が（多かれ少なかれ）カッツ-ムーディ代数である中心拡大を持ちます。
• 一般線型群、直交群などには無限次元の類似物がある。^[31]重要な点の1つは、これらがより単純な位相的性質を持つ可能性があることである。例えばカイパーの定理を参照。例えばM理論では、Nが無限大になると、10次元のSU( N )ゲージ理論は11次元の理論になる。

• ウィキメディア・コモンズのリー群に関連するメディア
• 嘘理論ジャーナル